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1.3弧度制PPT



1.3弧度制

问题一:弧度的概念
问题1:在平面几何中,1度的角是怎样 定义的?
?规定周角的1/360为1度的角, ?这种用度做单位来度量角的制度叫角度制。
90°

60°

提出问题
在日常生活中,度量长度和重量时, 根据不同的需要可以用不同的单位来表示。 从而我们知道

不同的单位制能给我们解决 问题带来方便,那么角的度量是否也能用 不同单位制呢?

探究问题
B?


A?
A

B



1、在同一个圆中,圆心角的大小与它所对的

弧长一一对应. 2、当半径不同时,同样大的圆心角所对的弧 长不相等.

因此,可用半径度量弧长的方法定义角 的大小.

探究问题
观察下表, 思考同样的圆心角所对的弧长 与半径有怎样的关系?
弧长/cm 半径/cm 弧长与半径之 比 0.80 0.93 0.86 0.86 1.00 0.86 1.21 1.40 0.86 2.35 2.71 0.86

得出结论:当圆的半径不同时,同样的圆心 角所对的弧长与半径之比是常数。我们称这个 常数为该角的弧度数。

问题2:在平面几何中,1弧度的角是怎样 定义的?
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫

做1弧度的角。“弧度”常用“rad”表示。

设弧AB的长为L, 若L=r, L = 1 弧度 则∠AOB=

B O L=r 1弧度 A r

r

L = 2 弧度 若L=2r,则∠AOB = r

3r

L = 3 弧度 若L=3r,则∠AOB = r
若圆心角∠AOB表示一个负角,且 它所对的弧的长为3r,则∠AOB的弧 L 度数的绝对值是

3rad

r

r L = -3弧度 即∠AOB=- r B

= 3,

O

r

A

-3弧度
L=3r

正角的弧度数 负角的弧度数 零角的弧度数
正角 负角 零角 正数 负数 0

正数 负数 零

任意角的集合

实数集R

任一已知角α的弧度数的绝对值

l ? ? r
其中 l 为以角 作为圆心角时所对圆弧的 长,r为圆的半径.

α

l

= |α| r

(弧长计算公式)

问题二:度与弧度的换算
若l=2 π r,则∠AOB=
此角为周角 即为360°

l = 2π弧度 r
l=2 π r

360°= 2π 弧度
180°= π 弧度

O

r

(B) A

由180°= π 弧度 可得:
π 1°= —— 弧度 ≈ 0.01745弧度 180 180 1弧度 =(——)°≈ 57.30°= 57°18′ π

小问题2:根据度与弧度的换算关系,下表中各特 殊角对应的弧度数分别是多少?

角 o 0 度

30

o

45

o

60

o

90

o

120
2? 3

o

弧 0 度

? 6

? 4

? 3

? 2
270
3? 2
o

角 o o o 135 150 180 度 弧 度
3? 4

360

o

5? 6

?

2?

注意:
1、用弧度为单位表示角的大小时, “弧度” 二字通常省略不写,而只写该角所对应的弧度 数.如α=2表示α是2rad的角,但用“度”(°)为 单位不能省略。

2、用弧度为单位表示角时,通常写 成“多少 π”的形式。如无特别要求,不用将π化成小数。

角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度,角度制 是以“度”为单位度量角的制度;

②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)
的大小,而 1 是圆的
?

1 360

所对的圆心角(或该弧)

的大小;
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都 是一 个与圆的半径大小无关的定值.

练习:请用弧度制表示下列角度的范围。
锐角:{θ|0°<θ<90°}, 直角: {θ|θ=90°} 钝角: {θ|90°<θ<180°} 平角: {θ|θ=180°} 周角: {θ|θ=360°} 0°到90°的角:{θ|0°≤θ<90°}; 小于90°角:{θ|θ<90°} 0°到180°的角:{θ|0°≤θ<180°} 0°到360°的角:{θ|0°≤θ<360°}
? ?? ? 0,
?

? ?
? 2?

? ?

?

? ??

2 ??

? ,? ? ?2 ?

? ??
? ? 2?
? ? [0, ?
2 )

? ? ( ?? ,

?

2 ? ?[0, ? )

)

? ? [0,2? )

三、例题
例1:把67°30′化成弧度。
? 1? 解:67 30' ? ? 67 ? ? 2?
? ?

1 3 67 30' ? rad ? 67 ? ?rad 180 2 8
?

?

3 例2:把 —π 弧度化成度。 5

3 3 ? ? ? rad ? ? 180 ? 108 解: 5 5

例3

计算:

? (1)sin ;(2) tan1.5 . 4
解:(1)∵
?
4 ? 45? ∴ sin

?

2 ? sin 45 ? 4 2
?

(2)∵ ∴

57.30 ?1.5 ? 85.95 ? 85 57?
? ? ?

tan1.5 ? tan 85 57? ? 14.12
?

1 例4利用弧度制证明扇形面积公式 S ? lR , 2 其中 l 是扇形的弧长,R是圆的半径。

弧长公式: l ? ? ? r 即弧长等于弧所 对的圆心角的弧度数的绝对值与半径的乘积。

例5
把下列各角化成 2k? ? ??0 ? ? ? 2?,k ? Ζ? 的形式:

16? 11? ? (1 ) ;(2)? 315 ;(3) ? . 3 7

四、课堂小结:
1.弧度制定义 2.角度与弧度的互化 3.特殊角的弧度数
150° 度 0° 30 °45 ° 60 ° 90 ° 120 °135° 弧 0 度

?
6

?
4

? 3

?
2

2? 3

3? 4

5? 6

思考与作业:
用弧度制表示 (1)终边落在45°角的终边上的所有角的集合

(2)第Ⅱ象限角的集合



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