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【最新精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编(第3期)专题13 选修部分



【精选+详解】2013 届高三数学名校试题汇编(第 3 期)专题 13 选修 部分
一.基础题 1.【深圳市南山区 2013 届高三上学期期末考试】(坐标系与参数方程选讲选做题) 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ =6sinθ , 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 的正半轴,

? x ? 2t ? 1 ? 建立平面直角坐标系,直线 l 的

参数方程是 ? (t 为参数)上,则直线 l 与曲线 C 相 2 t ?y ? ? 2
交所得的弦的弦长为_______.

2、 【深圳市南山区 2013 届高三上学期期末考试】(几何证明选讲选做题) 如右图,O 是半圆的圆心,直径 AB ? 2 6 ,PB 是圆的 一条切线,割线 PA 与半圆交于点 C,AC=4,则 PB=____. 【解析】连结 BC,在 Rt△ABC 中, AB ? 2 6 , AC=4,由勾股定理得, BC ? 2 2 , 2 由射影定理 BC =AC·CP,得 CP=2, 再由切割线定理 PB =PC·PA=2×6=12,即 PB ? 2 3 .
2

P C

A

O 第15题图

B P C

A

O 第15题图

B

3.【广东省华附、省实、广雅、深中 2013 届高三上学期期末四校联考】 (坐标系与参数方 程 ) 在 极 坐 标 中 , 圆 ? ? 4 cos ? 的 圆 心 C 到 直 线 ? sin(? ? 为 .
2 2

?
4

)?2 2 的 距 离

【解析】在直角坐标系中,圆: x ? y ? 4 x ,圆心 C (2,0) ,直线: x ? y ? 4 ,所以,所 求为 2

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5.【汕头市 2013 届高三上学期期末】如图,AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上, CD ? AB 于点 D,且 AD=3DB,设 ?COD ? ? ,则 tan 2 【答案】

?
2

=________.

1 . 3
3 1 由 r , BD ? r , CD 2 ? AD ? BD 2 2

【解析】 设半径为 r, AD ? 则 得 CD ?

??

?
3

3 r ,从而 2

,故 tan 2

?

1 ? . 2 3

6.【广东省肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第一学期统一检测题】 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ? ? , ? ? ( ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

)中,曲线 ? ? 2sin ? 与

? ? 2 cos ? 的交点的极坐标为_____

7. 【广东省肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第一学期统一检测题】 (几何证 明选讲选做题) 如 图 3,△ABC 的外角平分 线 AD 交外接圆 于 D, BD ? 4 , 则 CD ? .

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【答案】4 【解析】 ∵A、B、C、D 共圆,∴∠DAE=∠BCD.又∵ = ,∴∠DAC=∠DBC.

而∠DAE=∠DAC,∴∠DBC=∠DCB.∴CD= BD ? 4 . 8.【2012-2013 学年四川省成都市高新区高三(上)统一检测】选做题(请在以下两题中任选 一题作答,若两题都做,只计(1)题分) (1)在平面直角坐标系 xoy 中, ,则直线倾斜角的余弦值为 . .

(2)已知函数 f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|,则 f(x)的取值范围是

9.【广州市 2013 届高三年级 1 月调研测试】 (几何证明选讲选做题) 如图 3,已知 AB 是⊙ O 的一条弦,点 P 为 AB 上一点, PC ? OP , PC 交⊙ O 于 C ,若 AP ? 4 , PB ? 2 , 则 PC 的长是
B C A P O

B P C O A D

图3

【答案】 2 2 【解析】如图,因为 PC ? OP ,所以 P 是弦 CD 中点,

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由相交弦定理知 PA?PB ? PC 2 , 即 PC 2 ? 8 ,故 PC ? 2 2 10. 【广州市 2013 届高三年级 1 月调研测试】 (坐标系与参数方程选讲选做题)

已知圆 C 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ,

(? 为参数), 以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴 ? y ? sin ? ? 2,

建立极坐标系,直线的极坐标方程为 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 , 则直线截圆 C 所得的弦长 是 .

11.【 2013 安徽省省级示范高中名校高三联考】极坐标方程 ? ? 2sin ? ? 2 3 cos ? 表示的图 形的面积是____

12.【惠州市2013届高三第三次调研考试】 (几何证明选讲选做题)如图, PA 切 ? O 于点 A , 割线 PBC 经过圆心 O , OB ? PB ? 1 , OA 绕点 O 逆时针旋转 60? 到 OD ,则 PD 的长 为 【答案】D 【解析】∵PA切 ? O 于点A,B为PO中点,∴AB=OB=OA, .

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∴ ?AOB ? 60 ,∴ ?POD ? 120 ,在△POD中由余弦定理,
? ?

得: PD ? PO ? DO ? 2 PO ? DO cos ?POD
2 2 2

1 4 ? 1 ? 4 ? (? ) ? 7 2 = .
解析2:过点D作DE⊥PC垂足为E,∵ ?POD ? 120 ,
?

∴ ?DOB ? 60 ,
?

OE ?
可得

3 1 DE ? 2 ,在 Rt ?PED 中, 2,

PD ? PE 2 ? DE 2 ?


25 3 ? ? 7 4 4 .答案: 7 .

13. 【惠州市2013届高三第三次调研考试】 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知

(3 , ) (4 , ) 3 , 6 , 则 △ AOB ( 其 中 O 为 极 点 ) 的 面 积 两点 A 、 B 的极坐标分别为
为 .

?

?

二.能力题 1..[2012-2013 学年河南省平顶山许昌新乡三市高三(上)第一次调研考试](10 分)如图 所示四边形 ABCD 内接于 E、 AC 交 BD 于点 E, O, 圆的切线 DF 交 BC 的延长线于 F, 平分∠BDF CD (Ⅰ)求证:AB?AD=AC?AE (Ⅱ)若圆的半径为 2,弦 BD 长为 2 ,求切线 DF 的长.

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(Ⅰ)证明:由弦切角定理可知∠CDF=∠CAD ∵∠CDB=∠CAB,∠FDC=∠BDC ∴∠CAD=∠EAB ∵∠ACD=∠ABD ∴△CDA∽△BEA ∴ ∴AB?AD=AC?AE;

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2.[2012-2013 学年河南省平顶山许昌新乡三市高三(上)第一次调研考试]以直角坐标系 的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点 P 的极坐标为( , ) ,直线

l 过点 P,且倾斜角为

,方程

=1 所对应的曲线经过伸缩变换

后的图形为

曲线 C. (Ⅰ)求直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标系方程. (Ⅱ)直线 l 与曲线 C 相交于两点 A,B,求|PA|?|PB|的值. 解: (Ⅰ)P 的直角坐标为(1,1)

∵直线 l 过点 P,且倾斜角为

,∴直线 l 的参数方程为

(t 为参数)

∵伸缩变换

,∴

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代入

=1,可得
2 2

,即 x′ +y′ =4

2

2

∴曲线 C 的直角坐标系方程为 x +y =4;

(Ⅱ)直线 l 的参数方程为

,代入曲线 C 可得 t +(

2

)t﹣2=0

设方程的根为 t1,t2,则 t1+t2= ∴|PA|?|PB|=|t1||t2|=2

;t1t2=﹣2

3.[2012-2013 学年河南省平顶山许昌新乡三市高三(上)第一次调研考试]已知实数 a>0 且 2 2 函数 f(x)=|x﹣2a|﹣|x+a|的值域为 P={y|﹣3a ≤y≤3a }. (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若至少存在一个实数 m,使得 f(m)﹣f(1﹣m)≤n 成立,求实数 n 的取值范围.

4[2012-2013 学年河南省中原名校高三(上)第三次联考]选做题:几何证明选讲 如图,ABCD 是边长为 a 的正方形,以 D 为圆心,DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交 于点 F,延长 CF 交 AB 于 E. (1)求证:E 是 AB 的中点; (2)求线段 BF 的长.

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5. [2012-2013 学年河南省中原名校高三 (上) 第三次联考]已知圆锥曲线 是参数)和定点 ,F1、F2 是圆锥曲线的左、右焦点.

(1)求经过点 F2 且垂直地于直线 AF1 的直线 l 的参数方程; (2)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AF2 的极坐标方程.

解: (1)圆锥曲线

化为普通方程



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所以 F1(﹣1,0) 2(1,0) ,F ,则直线 AF1 的斜率 于是经过点 F2 垂直于直线 AF1 的直线 l 的斜率 所以直线 l 的参数方程是

, ,直线 l 的倾斜角是 120°,

(t 为参数) ,



(t 为参数)(6 分) .

(2)直线 AF2 的斜率

,倾斜角是 150°, ,ρ sin(150°

设 P(ρ ,θ )是直线 AF2 上任一点,则 ﹣θ )=sin30°, 分) (8 所以直线 AF2 的极坐标方程:

(10 分)

6.[2012-2013 学年河南省中原名校高三(上)第三次联考](10 分)设 f(x)=|x|+2|x﹣a| (a>0) . (1)当 a=1 时,解不等式 f(x)≤8. (2)若 f(x)≥6 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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7.【2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】如图,AB 是 直线 CE 和 切于点 C, AD 丄 CE,垂足为 D. (I) 求证:AC 平分 ; (II) 若 AB=4AD,求 的大小. (Ⅰ)连接 BC ,∵ AB 是 ? O 的直径,∴ ?ACB ? 90? . ∴ ?B ? ?CAB ? 90? ∵ AD ? CE ,∴ ?ACD ? ?DAC ? 90? , ∵ AC 是弦,且直线 CE 和 ? O 切于点 C , ∴ ?ACD ? ?B ∴ ?DAC ? ?CAB ,即 AC 平分

的直径,AC 是弦,

?BAD ;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ?ABC ? ?ACD ,∴

…5 分

AC AD ,由此得 ? AB AC

AC 2 ? AB ? AD .
∵ AB ? 4 AD ,∴ AC 2 ? 4 AD ? AD = 4 AD 2 ? AC ? 2 AD ,于是 ?DAC ? 60? , 故 ?BAD 的大小为 120? . …10 分

8.【2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】(本题满分 10 分)选修 4 - 4 :坐标系与参数方程将圆 上各点的纵坐标压缩至原来的 ,所得曲线记作 C;将直

线 3x-2y-8=0 绕原点逆时针旋转 90°所得直线记作 l.(I)求直线 l 与曲线 C 的方程; (II)求 C 上的点到直线 l 的最大距离.

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(Ⅱ)设曲线 C 上任一点为 M ? 2 cos ? ,sin ? ? , 它到直线 l 的距离为 d ? 其中 ? 0 满足: cos ? 0 ?

4 cos ? ? 3sin ? ? 8 22 ? 32

?

5cos ?? ? ? 0 ? ? 8 13



4 3 ,sin ? 0 ? . 5 5
…10 分

∴当 ? ? ? 0 ? ? 时, d max ? 13 .

9.【2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】设函数, .(I)求证 ;(II)若 成立,求 x 的取值范围.

10.【河南省三门峡市 2013 届高三第一次大练习】请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如 果多做,则按所做的第 1 题积分。作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。 22. (本小题满分 10 分)(选修 4—4:极坐标系与参数方程) 在极坐标系中,求圆 ? ?

2 上的点到直线 ? cos(? ?

?
3

) ? 1 的距离的取值范围.

2 3. (本小题满分 10 分)(选修 4—5:不等式选件)已知函数 f ( x) = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 | . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ≤6 的解集;

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(Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) <| a ? 1 |的解集非空,求实数 a 的取值范围.

11.【河北省唐山市 2012—201 3 学年度高三年级期末考试】 )选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,D 是 ? 的中点,BD 交 AC 于点 E. AC (I)求证:CD =DE =AE×EC; (II)若 CD 的长等于⊙O 的半径,求∠ACD 的大小.
2 2

选修 4-4:坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 D 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,

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曲线 Cl 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ,曲线 C2 的参数方程为 ? (I)当 ? ?

? x ? t cos ? , 。 (t 为参数) ? y ? t sin ?

?
4

时,求曲线 Cl 与 C2 公共点的直角坐标; ,当 ? 变化时,设曲线 C1 与 C2 的公共点为 A,B,试求 AB 中点 M 轨迹的极

(II)若 ? ?

?
2

坐标方程,并指出它表示什么曲线. 2 2 (Ⅰ)曲线 C1 的直角坐标方程为 x +y -2x=0. ? 当α = 时,曲线 C2 的普通方程为 y=x. 4 由①,②得曲线 C1 与 C2 公共点的直角坐标方程为(0,0),(1,1). (Ⅱ)C1 是过极点的圆,C2 是过极点的直线. 设 M (ρ ,θ ),不妨取 A (0,θ ),B (2ρ ,θ ),则 2ρ =2cos θ . …7 分 ? 故点 M 轨迹的极坐标方程为 ρ =cos θ (θ ≠ ) . 2 1 1 它表示以( ,0)为圆心,以 为半径的圆,去掉点(0,0). 2 2 选修 4-5:不等式选讲 设 f ( x) ?| x ? a |, a ? R. (I)当 ?1 ? x ? 3时, f ( x) ? 3 ,求 a 的取值范围;

① ② …4 分

…10 分

(II)若对任意 x∈R, f ( x ? a ) ? f ( x ? a ) ? 1 ? 2a 恒成立,求实数 a 的最小值.

12.【2013 年河南省开封市高考数学一模试卷(文科)(10 分)选做题:几何证明选讲 】 如图,ABCD 是边长为 a 的正方形,以 D 为圆心,DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交 于点 F,延长 CF 交 AB 于 E. (1)求证:E 是 AB 的中点; (2)求线段 BF 的长.

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13.【2013 年河南省开封市高考数学一模试卷(文科) 】平面直角坐标系中,将曲线 (a 为参数)上的每~点横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍得到曲线 C1.以坐 标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线 C2 的方程为 p=4sinθ . (I)求 Cl 和 C2 的普通方程. (Ⅱ)求 Cl 和 C2 公共弦的垂直平分线的极坐标方程. 【解析】 (1)若将曲线 原来的 2 倍得到曲线 C1: (a 为参数)上的每一点横坐标不变,纵坐标变为 ,[故曲线 C1: (x﹣2) +y =4
2 2 2 2

又由曲线 C2 的方程为 ρ =4sinθ ,故曲线 C2:x +y =4y. (2)由于 Cl 和 C2 公共弦的垂直平分线经过两圆心,
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则 Cl 和 C2 公共弦的垂直平分线的方程是:x+y=2, 故其极坐标方程为: .

14.(10 分)设函数 f(x)=|2x﹣m|+4x. (I)当 m=2 时,解不等式:f(x)≤1; (Ⅱ)若不等式 f(x)≤2 的解集为{x|x≤﹣2},求 m 的值.

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