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分类汇编16:坐标系与参数方程



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【精品推荐】新课标全国统考区(山西、河南、河北)2013 届高三名校文 科最新试题精选(30 套)分类汇编 16:坐标系与参数方程
一、填空题 1 . (河南省郑州市盛同学校 2013 届高三 4 月模拟考试数学(文)试题)已知圆 C 的参数方程

ì ? x

= cos q 为? (q 为参数),以原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, í ? ? ? y = sin q + 2
直线的极坐标方程为 2r cos q + r sin q = 1 , 则直线被圆所截得的弦长是________.
【答案】

4 5 5

二、解答题 2 . (山西省忻州市 2013 届高三第一次联考数学(文)试题)(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标

系与参数方程 π ).[来源:] 4 (Ⅰ)求以 OB 为直径的圆 C 的极坐标方程,然后化成直角坐标方程; (Ⅱ)以极点 O 为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程 在极坐标系中,已知两点 O(0,0),B(2 2, 为?

? x=t , (t 为参数).若直线 l 与圆 C 相交于 M,N 两点,圆 C 的圆心为 C,求?MNC 的 ? y=1+2t ,

面积.

【答案】解: (Ⅰ)设 P(?,?)为圆上任意一点,则|OP|=?,?POx=?-

π , 4

π π ? 在 Rt?POB 中,cos(?- )= ,即?=2 2cos(?- ). 4 2 2 4 2 2 +2 2? sin?? , 2 2 2 2 ∴圆 C 的直角坐标方程为(x-1) +(y-1) =2 [来源:] ∴? =2 2? cos??
2

2 5 (Ⅱ)作 CD?MN 于 D,C 到直线 l 的距离为 d= , 5 30 2 2 在 Rt?CDA 中,|MN|=2 2-d = , [ 5 1 2 30 2 5 2 6 ∴S= × × = 2 5 5 5
3 . (山西省太原市 2013 届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题)选修 4-4:坐标系与参

数方程 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

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2 t, 2 (t 为参数)与曲 2 t 2

? ? x ? ?2 ? ? 2 C : p sin ? ? 2a cos ? (a ? 0) 过点 P(-2,-4)的直线 l : ? ? y ? ?4 ? ? ?
线 C 相交于点 M,N 两点. (I)求曲线 C 和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若|PM|l,| MN|,|PN |成等比数列,求实数 a 的值
【答案】

4 . (山西省太原市 2013 届高三调研考试数学(文)试题)选修 4-4:坐标系与参数方程

已知曲线 C:y = 4x,直线 l 过点 P(-1,-2),倾斜角为 30 ,直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两 点. (Ⅰ)求直线 l 的参数方程; (Ⅱ)求|PA |·|PB|的值.
【答案】

2

o

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5 . (山西省山大附中 2013 届高三 3 月月考数学 (文) 试题) 在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C1

? x ? a cos ? 的参数方程为 ? ( a ? b ? 0 , ? 为参数),在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴 ? y ? b sin ? 的 极 坐 标 系 中 , 曲 线 C 2 是 圆 心 在 极 轴 上 , 且 经 过 极 点 的 圆 . 已 知 曲 线 C1 上 的 点

3 ? ? ? ) 对应的参数 ? ? ,射线 ? ? 与曲线 C 2 交于点 D (1, ) . [来源: ] 2 3 3 3 (I)求曲线 C1 , C 2 的方程; 1 1 ? (II)若点 A( ?1 ,? ) , B( ? 2 ,? ? ) 在曲线 C1 上,求 2 ? 2 的值. 2 ?1 ? 2 M (1,

【答案】

? ? 1 ? a cos ? ? 3 ,即 ? a ? 2 , 得? ? ?b ? 1 ? 3 ? b sin ? ? 3 ? 2
所以曲线 C1 的方程为 ?

? x ? 2 cos? x2 ? y2 ? 1. ( ? 为参数),或 4 ? y ? sin ?
2 2 2

设圆 C 2 的半径为 R ,由题意,圆 C 2 的方程为 ? ? 2R cos? ,(或 ( x ? R) ? y ? R ). 将点 D (1,

?
3

) 代入 ? ? 2R cos? , 得 1 ? 2 R cos

?
3

,即 R ? 1 .

(或由 D (1,

?

1 3 ) ,得 D( , ) ,代入 ( x ? R) 2 ? y 2 ? R 2 ,得 R ? 1), 2 2 3
2 2

所以曲线 C 2 的方程为 ? ? 2 cos? ,或 ( x ? 1) ? y ? 1 . (II)因为点 A( ?1 ,? ) , B( ? 2 ,? ?
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?
2

) 在在曲线 C1 上,

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所以

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2 ?2 sin 2 ? 2 ? ?2 cos2 ? ? 1 ,

?12 cos2 ?
4
1 ? 1
2 ?2

? ?12 sin 2 ? ? 1 ,
?(

4

所以

?12

cos2 ? sin 2 ? 5 ? sin 2 ? ) ? ( ? cos2 ? ) ? 4 4 4

6 . (山西省山大附中 2013 届高三 1 月月考数学(文) 试题)选修 4-4:坐标系与参数方程 [来

在直角坐标系 xOy 中, 过点 P( 交于不同的两点 M , N . (1) 写出直线 l 的参数方程; (2) 求

3 3 , ) 作倾斜角为 ? 的直线 l 与曲线 C : x 2 ? y 2 ? 1 相 2 2

1 1 ? PM PN

的取值范围.

? 3 x ? ? t cos? ? ? 2 【答案】(Ⅰ) ? ? y ? 3 ? t sin ? ? 2 ?
入 x ? y ? 1 ,得
2 2

? 3 x ? ? t cos? ? ? 2 (t 为参数) (Ⅱ) ? ? y ? 3 ? t sin ? ? 2 ?

(t 为参数)代

t 2 ? ( 3 cos? ? 3 sin ? )t ? 2 ? 0 , ? ? 0 ? sin(? ?

?
6

)?

6 3

1 1 1 1 t ?t ( 3 cos? ? 3 sin ? ) ? ? ? ? ? 1 2 ? ? 3 sin(? ? ) ? PM PN t1 t 2 t1t 2 2 6
试题)选修 4-4:坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为

?

2, 3

?

7 . (山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中 2013 届高三第三次四校联考数学(文)

极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1) 试 分 别 将 曲 线 C1 的 极 坐 标 方 程 ? ? s i n ? ?c o? s 和 曲 线 C2 的 参 数 方 程

? x ? sin t ? cos t ( t 为参数)化为直角坐标方程和普通方程; ? ? y ? sin t ? cos t
(2)若红蚂蚁和黑蚂蚁分别在曲线 C1 和曲线 C2 上爬行,求红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大 距离(视蚂蚁为点).
【答案】选修 4-4 坐标系与参数方程

解:(1)曲线 Cl: x ? y ? x ? y ? 0
2 2

曲线 C2: x ? y ? 2
2 2

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(2)曲线 Cl 与曲线 C2 内切时最大距离为 2 2
8 .(山西省 2013 届高三高考真题演练考试(一)数学(文)试题)选修 4-4:坐标系与参数

方程 已知曲线 C 1 的 参 数 方 程 为 ’ (θ 为 参 数 ),曲 线C 2 的极坐标方程为

(1) 将曲线 C 1 的参数方程化为普通方程,将曲线 C 2 的极坐标方程化为直角坐标方程; ⑵试问曲线 C1,C2 是 否 相 交 ?若 相 交 ,请 求 出 公 共 弦 的 长 ,若 不 相 交 ,请 说 明 理 由 .

【答案】

9 . (山西省 2013 届高三 4 月高考考前适应性训练考试文科数学(A 卷) )选修 4——4:坐标系

与参数方程

? x ? 2 ? 3 sin ? , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 ? (其中 ? 为参 ? y ? 3 cos ? ? 2,
数, ? ? R ).在极坐标系(以坐标原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中,曲线 C 2 的极 坐标方程为 ? cos(? ?

?
4

)?a.

(1)把曲线 C1 和 C 2 的方程化为直角坐标方程; (2)若曲线 C1 上恰有三个点到曲线 C 2 的距离为

3 ,求曲线 C 2 的直角坐标方程. 2

【答案】

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10. (河南省中原名校 2012-2013 高三下学期第二次联考数学(文)试题 )选修 4-4:坐标系与

参数方程 已知⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别是 ? =2cos ? 和 ? =2a sin ? (a 是非零常数). (1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若两圆的圆心距为 5 ,求 a 的值.

【答案】解:(1)由 ? ? 2cos ? , 得? ? 2 ? cos ?
2

所以⊙O1 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 x
2 2

即( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 由? ? 2a sin ? , 得? 2 ? 2a ? sin ?
所以⊙O2 的直角坐标方程为 x ? y ? 2ay, 即x ? ( y ? a) ? a
2 2 2 2 2

(2)⊙O1 与⊙O2 的圆心距为 1 ? a ?
2 2

5 ,解得 a ? ?2

11. (河南省郑州四中 2013 届高三第七次调考数学 (文) 试题) 直线 l: ?

? x=a+4t (t为参数) , ? y=-1-2t

圆 C:ρ =2 2 cos(θ +

? ) 4

(极轴与 x 轴的非负半轴重合,且单位长度相同). (Ⅰ)求圆心 C 到直线 l 的距离; (Ⅱ)若直线 l 被圆 C 截得的弦长为
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6 5 ,求 a 的值. 5

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【答案】

(Ⅱ)由题意知圆心 C 到直线 l 的距离 d ?

( 2) 2 ? (

3 5 2 5 ) ? . 5 5

由(Ⅰ)知

5 5 ? |1 ? a | ,得 a ? 0或a ? 2 . 5 5

12. (河南省郑州四中 2013 届高三第六次调考数学(文)试题) 【选修 4 ? 4 :坐标系与参数方

程】 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 ? cos(? ?
2

?
6

) ?5 ? 0.

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程; (2)若点 P( x, y ) 在曲线 C 上,求使 3x ? y ? a ? 0 恒成立的实数 a 的取值范围. 24.【选修4—5:不等式选讲】) 已知函数 f ( x) ? log 2 (| x ? 1 | ? | x ? 2 | ? m) . (1)当 m ? 7 时,求函数 f ( x) 的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 的解集是 R ,求 m 的取值范围. [来源: ] 【答案】 【选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分) (1)∵ x ? ? cos? , y ? ? sin ? x ∴ 普 通 方 程 是

?x ? 3 ?

2

? ? y ? 1? ? 9
2

? x ? 3 ? 3 cos? ??为参数? ? ? y ? ?1 ? 3 sin ?
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(2) a ? [8, ? ?)

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【D】24.

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13. (河南省郑州市 2013 年高中毕业年级第二次质量预测数学(文)试题)选修 4 一 4:坐标

系与参数方程
已知直线C1: ? (I)当a=

? x ? 1 ? t cos a ? x ? cos? (t 为参数),曲线C2: ? (θ 为参数). ? y ? t sin a ? y ? sin ?

? 时,求C1与C2的交点坐标; 3

(II)过坐标原点0作C1的垂线,垂足为A,P为OA 中点,当a 变化时,求 P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.

【 答 案 】 解 :(Ⅰ) 当 a ?

?
3

时 ,C1 的 普 通 方 程 为 y ? 3 ( x ? 1) ,C

2

的普通方程为

x 2 ? y 2 ? 1,
联立方程组 ? 分 (Ⅱ)C 1 的普通方程为 x sin ? ? y cos? ? sin ? ? 0 ,A 点坐标为 (sin ? ,? sin ? cos? ) ,
2

? 1 3 ? y ? 3 ( x ? 1) ) .――――5 ,解得 C 1 与 C 2 的交点坐标为(1,0), ( ,? 2 2 2 2 ? ?x ? y ? 1

1 2 ? ? x ? 2 sin ? , 故当 ? 变化时,P 点轨迹的参数方程为 ? ( ? 为参数) 1 ? y ? ? sin ? cos? , 2 ?
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1 4

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1 . 16

P 点轨迹的普通方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ?
故 P 点轨迹是圆心为 ( ,0) ,半径为

1 4

1 的圆.――――10 4

14. (河南省伊川一高 2013 届高三下学期第一次月考数学(文)试题) 《选修 4-4:坐标系与参

数方程》 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 1 : x ? y ? 1 ,以平面直角坐标系 xOy 的原点 O
2 2

为 极 点 ,x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 , 取 相 同 的 单 位 长 度 建 立 极 坐 标 系 , 已 知 直 线

l : ?(2 cos ? ? sin?) ? 6 .[
(Ⅰ)将曲线 C 1 上的所有点的横坐标、 纵坐标分别伸长为原来的 3 、 2 倍后得到曲线 C 2 , 试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 2 的参数方程; (Ⅱ)在曲线 C 2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值.

【答案】

15. (河南省十所名校 2013 届高三第三次联考数学(文)试题)选修 4—4:坐标系与参数方程

已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ cos(θ cos(θ -

? ).以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系. 4

? )=-1,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2 2 3

(Ⅰ)求曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线 C2 上的动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值.

【答案】解:(Ⅰ) ? ? 2 2 cos ? ? ?
2

? ?

π? ? ? 2 ? cos ? ? sin ? ? , 4?

2 2 即 ? ? 2 ? ? cos ? ? ? sin ? ? ,可得 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0 ,

故 C2 的直角坐标方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 .
2 2

(Ⅱ) C1 的直角坐标方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,
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由 (Ⅰ) 知 曲 线 C2 是 以 ( 1 , 1 为 ) 圆 心 的 圆 , 且 圆 心 到 直 线 C1 的 距 离

d?

1?

3? 2 3 ? 3 ? , 2 2 2 1 ? 3

? ?

所以动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值为

3? 3 ? 2 2 . 2

16. (河南省洛阳市 2013 届高三二练考试数学(文)试题)(本题满分 10 分)选修 4 一 4 :

极坐标与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 p = 1 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建立平面

1 ? x ? 1? , ? 2 ? (t 为参数),设曲线 C 经过伸缩变换 直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ? y ? 2 ? 3 t. ? ? 2

3x ? x' ? ? 1, ? ? 2 得到曲线 C ' ,试判断 l 与 C’的位置关系. ? 3 ? y ' ? y ? 1. ? ? 2

【答案】

17. (河南省六市 2013 届高中毕业班第一次联合考试数学(文)试题)选修 4—4:坐标系与参

数方程 以直角坐标系原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单

? 1 ? x= +t cos ? , 位.已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数,0<α <π ).曲线 C 的极 2 ? ? y=t sin ?,
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坐标方程为 ρ =

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2cos ? . sin 2 ?

(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程;[来源: ] (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,当 α 变化时,求|AB|的最小值.

【答案】

18. (河南省开封市 2013 届高三第二次质量检测数学(文)试题)选修 4—4:坐标系与参数方

程 已知极点与坐标原点重合,极轴与 x 轴非负半轴重合,两个坐标系单位长度相同,己知直 线

l: ?

? x ? ?1 ? t cos ? (t 为参数),曲线 C 的极坐标方程: ? ? 4 cos ? . ? y ? 1 ? t sin ?

(I)若直线 l 的斜率为-1,求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标; (Ⅱ)设曲线 C 与直线 l 相交于 A、B 两点,且 | AB |? 2 3 ,求直线 l 的参数方程.

【答案】

19. (河南省焦作市 2013 届高三第一次模拟考试数学(文)试题)选修 4-4,坐标系与参数方程

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? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数),在极坐标系(与 ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2
直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的 方程为 ? ? 5 sin ? . (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B,若点 P 的坐标为(3, 5 ),求|PA|+|PB|.

【答案】

20. (河南省 2013 年新课程高考适应性考试(一)数学(文)试题)选修 4~4:坐标系与参数方

程 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? t cos ? , (t 为参数)在极坐标系(与 ? y ? 2 ? t sin ?

直角坐标系 xOy 取相同的长度单位.且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 6sin ? . (I)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(1,2),求 | PA | ? | PB | 的最小值.
【 答 案 】 解 :(Ⅰ) 由



,化为直角坐标方程为

,即

(Ⅱ)将 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得
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,故可设 是上述方程的两根,

所以 =

,又直线 过点

,故结合 t 的几何意义得

[ 所以 .
极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴. 己知曲线 C 1

的最小值为

21. (河北省唐山市 2013 届高三第一次模拟考试数学(文)试题)选修 4-4 :坐标系与参数方程

的极坐标方程为 p=4cos θ 曲线 C 2 的参数方程是

? x ? m ? t cos a ? ? y ? t sin a

(t 为参数, 0 ? a ? ? ),射 线

? ? ? ,? ? ? ?

?
4

,? ? ? ?

?
4 与曲线 C 1 交于极点 O 外的三点 A,B, C.
2 | OA | ;

(I ) 求证: | OB | ? | OC |?

??
(II )当

?
12 时,B, C 两点在曲线 C 2 上,求 m 与 a 的值.

【答案】解:

(Ⅰ)依题意,[来源: ] |OA|=4cos φ ,|OB|=4cos(φ + 则|OB|+|OC|=4cos(φ + ? ? ),|OC|=4cos(φ ), 4 4

? ? )+4cos(φ ) 4 4

=2 2(cos φ -sin φ )+2 2(cos φ +sin φ )=4 2cos φ , = 2|OA| ? ? ? (Ⅱ)当 φ = 时,B,C 两点的极坐标分别为(2, ),(2 3,). 12 3 6 化为直角坐标为 B (1, 3),C (3,- 3) C2 是经过点(m,0),倾斜角为 α 的直线, 又经过点 B,C 的直线方程为 y=- 3(x-2), [来源: ] 2? 所以 m=2,α = 3
22.(河北省石家庄市 2013 届高三一模数学(文)试题)选修 4-4:坐标系与参数方程
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在平面直角坐标系.x0y 中 ,以 原 点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为: ? sin 2 ? ? cos?

(I)求曲线l的直角坐标方程;
? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 (II)若直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数),直线 L 与曲线 C 相交于 A、B 两点 2 ?y ? t ? 2 ?
求|AB|的值
【答案】解:(Ⅰ)依题意

? 2 sin 2 ? ? ? cos ?

得: y ? x
2 2 ?曲线 C1 直角坐标方程为: y ? x

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 ? ?y ? 2 t 2 ? 2 (Ⅱ)把 ? 代入 y ? x 整理得:

t 2 ? 2t ? 4 ? 0

? ? 0 总成立,
t1 ? t 2 ? ? 2 , t1t 2 ? ?4

AB ? t1 ? t 2 ? ( ? 2 ) 2 ? 4 ? ( ?4) ? 3 2
另解: (Ⅱ)直线 l 的直角坐标方程为 y ? 2 ? x ,把 y ? 2 ? x 代入 y ? x 得:
2

x 2 ? 5x ? 4 ? 0

? ? 0 总成立, x1 ? x2 ? 5 , x1 x2 ? 4
AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 2 (5 2 ? 4 ? 4) ? 3 2
23. (河北省石家庄市 2013 届高三下学期第二次质量检测数学(文)试题)选修 4-4:坐标系与

参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲
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线 C1 的极坐标方程为: 3? 2 ? 12 ? cos ? ? 10( ? ? 0) (I)求曲线 C1 的普通方程; (II)曲线 C2 的方程为 的最小值.
【答案】选修 4-4:坐标系与参数方程

x2 y2 Q 分别为曲线 C1 与曲线 C2 上的任意一点,求|PQ| ? ? 1 , 设 P、 16 4

解:(Ⅰ)原式可化为 ( 3 x ? y ) ? 12 x - 10 ,
2 2

即 ( x - 2) 2 ? y 2 ?

2 . 3

(Ⅱ)依题意可设 Q (4 cos ? ,2 sin ? ), 由(Ⅰ)知圆 C 圆心坐标(2,0).

QC ? (4 cos ? -2) 2 ? 4sin 2 ? ? 12 cos 2 ? -16 cos ? ? 8
2 2 ? 2 3( cos ? - ) 2 ? , 3 3
QC min ? 2 6 , 3 6 3

所以 PQ min ?

24. (河北省衡水中学 2013 届高三第六次模拟考试数学(文)试题)在直角坐标系 xOy 中,曲

线 C 的参数方程为 ?

?x ? 2 ? t (t 为参数),曲线 P 在以该直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴 ? y ? t ?1
2

的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为 ? ? 4 ? cos? ? 3 ? 0 . (1)求曲线 C 的普通方程和曲线 P 的直角坐标方程; (2)设曲线 C 和曲线 P 的交点为 A、B,求|AB|.
【答案】 【解析】

(Ⅰ) 曲 线 C 的 普 通 方 程 为 x ? y ? 1 ? 0 , 曲 线 P 的 直 角 坐 标 方 程 为

x2 ? y 2 ? 4x ? 3 ? 0
(Ⅱ)曲线 P 可化为 ( x ? 2) ? y ? 1 ,表示圆心在 (2,0) ,半径 r ? 1 的圆,
2 2

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则圆心到直线 C 的距离为 d ?

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1 2 ? 2 2 2 ,所以 AB ? 2 r ? d ? 2 2

25.(河北省邯郸市 2013 届高三下学期第一次(3 月)模拟考试数学(文)试题)选修 4-4:坐

标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直

1 ? ? x ? ? t cos a 线 I 的参数方程为 ? (t 为参数,O < a < ? ),曲线 C 的极坐标方程为 2 ? ? y ? tsiina

??

2 cos? sin 2 ?

(I )求曲线 C 的直角坐标方程; (II)设直线 l 与曲线 C 相交于 A ,B 两点,当 a 变化时,求| AB | 的最小值.
【答案】

解:(1)由 ? ?

2 cos? 2 ,得 ( ? sin? ) ? 2 ? cos? 2 sin ?

?曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 2 x
(2)将直线 l 的参数方程代入 y ? 2 x ,得 t
2

2

sin 2 ? ? 2t cos? ? 1 ? 0
2 cos? 1 , t1t2 ? ? 2 , 2 sin ? sin ?

设 A、B 两点对应的参数分别为 t1 , t 2 , 则 t1 ? t2 ?

| AB |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ?
当? ?

4 cos2 ? 4 2 ? ? , 4 2 sin ? sin ? sin 2 ?

?
2

时,|AB|的最小值为 2

26. (河北省保定市 2013 届高三第一次模拟数学文试题(WORD 版) )选修 4-4:坐标系与参数方



1 ? x? t ? 2 ? 已知:直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数),曲线 C 的参数方程为 ? y ? 3 t ?1 ? ? 2
? x ? 2 ? cos ? ( ? 为参数). ? ? y ? sin ?
(1)若在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x
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?
3 学科网 ),判断点 P 与直线 l 的位置关系;

轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求点 Q 到直线 l 的距离的最大值与最小值的差.
【答案】

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