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指数型复合函数的单调性


指数型复合函数的单调性 学习目标:1.理解复合函数的定义。 2.会判断指数型复合函数的单调性。(主要是两种类型 y= a 重难点:指数型复合函数的单调性。 内容要点: 1.复合函数的定义。 设 y=f(u)的定义域为 Du,值域为 Mu,函数 u=g(x)的定义域为 Dx,值域为 Mx,那么对于 Dx 内的任意一个 x 经过 u;有唯一确定的 y 值与之对应,因此变量 x 与 y 之间通过变量 u 形成的一种函数关系,记为:y=f[g(x)],这种函数称为复合函数,其中 x 称为自变量,u 为
f (x)

和 y=f( a ))

x

?1? ? ? 中间变量(内函数) ,y 为因变量(外函数) 。例如 y= ? 2 ?
数,因为含有指数函数,叫指数型复合函数。 2.接下来,我们回顾一下一些初等函数的单调性。 (1)f(x)= x ? 4 x 增区间[-2,+∞), 减区间(-∞,-2)
2

x2 ?4 x

这样的函数我们称为复合函

(2)f(x)= x ? 2 x ? 3 增区间[1,+∞), 减区间(-∞,1)
2

3.那么指数型复合函数单调性如何判断? 例 1.

?1? ? ? 判断 y= ? 2 ?

x2 ? 4 x

单调性。

解:判断函数 y 的定义域,易知定义域为 R

?1? ? ? 2 设 u= x ? 4 x ,y= ? 2 ?

u

(将原函数分解为内函数和外函数)
2

2 由 u= x ? 4 x = (x ? 2) ? 4 知 u 在(-∞,-2]上为减函数,(-2,+∞)在上为增函数,

?1? ? ? y= ? 2 ? 为减函数
∴原函数的增区间为(-∞,-2],减区间为(-2,+∞) 小结:求指数型复合函数单调性步骤:

u

(分别判断内外函数的单调性) (根据“同增异减”得出单调区间)

第一步, 确定复合函数的定义域, 即看内外函数对自变量 x 的限制, 然后解不等式, 求并集。 第二步,将原函数分解为初等函数 y=f(u),g(x)的形式, 第三步,分别 y=f(u),g(x)的单调区间 第四步,根据“同增异减”给出原函数的单调区间。

?1? ? ? 练习 1.(1)函数 y= ? 2 ?
A,(-∞,0] (2 ) 函数 y= 2
(x ?3) 2

x 2 ?1

的单调递增区间为(A) C(-∞,-1] D[1,+∞)

B[0,+∞) 的单调递增区间[-3,+∞)

(3) 函数 f(x)= 2 A 增函数 例 2 求函数 y= a

3? x

在(-∞,0]上的单调性是(B) B 减函数 C 常函数 D 不具有单调性

? x2 ?3 x ? 2

(a ? 1)

解:复合函数定义域为 R

3 ? 17 ? 3 3 x? ? ? ? 2 2 4 ? 设 u(x)=- x +3x+2=- ? ,易知 u(x)在(-∞, 2 ]上是增函数,在( 2 +∞上是减
函数. 当 a>1 时,y 为增函数

2

3 3 ∴原函数在(-∞, 2 ]是增函数,在( 2 ,+∞)上是减函数。

练习 2.求 y= 2

? x 2 ? 2 x ?3

的单调区间

在[-1,1)上单调递增,在[1,3]上是单调递减。 总结 y= a
f (x)

(t=f(x) )的单调性的一般规律
t

当 a>1 时,y= a 是单调递增的 f(x)的增区间就是原函数的增区间, f(x)的减区间就是原函数的减区间 (2)当 0<a<1,y= a 是单调递减的 f(x)的增区间就是原函数的减区间
t

f(x)的减区间就是原函数的增区间。 4.下面来看函数 y= f (a ) 的单调性.
x

例 3.求函数 y= 2 ? 2
2x

x ?1

? 3 的单调区间

解:y= 2 ? 2
2x

x ?1

2 2 ? 3= (2x) ? 2 ? 2x ? 3 ? (2x -1) ?2

设 t= 2 则 t>0 当 t≥1 时,y= (t ?1) ? 2 在[1,+∞)上为增函数。
2

x

2 x ≥1,即 x≥0 ,而 2 x 在[0,+∞)上为增函数
由复合函数的单调性的判定方法知原函数在[0,+∞)上为增函数, 同理原函数在(-∞,0]上为减函数。

?1? ?1? ? ? ?? ? ?2 练习 3.求函数 y= ? 4 ? ? 2 ? 的单调性

x

x

?? 1 ? x ? ? 1 ? x ?? 1 ? x 1 ? 9 ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 2? ? ? 4 2 ? ? ?2? ?? 2 ? 2 ? ? 4 ? ? ? ? ? 解:y= = =?
x x

2

2

?1? ? ? 设 t= ? 2 ? ,则 t>0

x

?? 1 ? x 1 ? 9 1 1 ?? ? ? ? ? 2 2 4 ? ? ? ? ? 当 t≥ 2 时,y= ? 在[ 2 ,+∞)上为增函数,
?1? ?1? 1 ? ? ? ? ? 2 ? ≥ 2 即 x≤1, ? 2 ? 在(-∞,1]上减函数
由复合函数的单调性判定方法知原函数在(-∞,1]上为减函数。 同理 原函数在(1,+∞)上为增函数。 课后习题: 判断下列指数型复合函数的单调性
x x

2

?1? ? ? 1.y= ? 3 ?

x 2 ? 2 x ?3

?1? ? ? 2.y= ? 2 ?
3.y= 7

x?2

2 x ? x2

?1? ? ? 4.y= ? 2 ?
5.y= a 6.y= 2
2x

x 2 ? 4 x ?1

? 2a ?1 (a>0,a≠1)
(-2≤x≤2)
x x

x

x2 ? 2 x ? a

7.y= 12 ? 2 ? 4


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