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1、3集合复习讲义(较难版)



集合的概念与运算
知识要点
1、元素与集合的关系:用 ? 或 ? 表示; 2、集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 3、集合的分类: ①按元素个数分:有限集,无限集; ②按元素特征分;数集,点集. 如:数集{y|y=x2},表示非负实数集,点集{(x,y)|y=x2}表示开口向上,以 y 轴为对称轴 的抛物线; 4、集合的表示法: ①列举法:用来表示有限集或

具有显著规律的无限集,如 N={0,1,2,3,…}; ②描述法(文字语言和数学符号语言) ③字母表示法:常用数集的符号:自然数集 N;正整数集 N *或N? ;整数集 Z;有理数 集 Q;实数集 R; 5、集合与集合的关系:用 ? , ? ? ,=表示; A 是 B 的子集记为 A ? B;A 是 B 的真子集记为 A ? ? B。 ①任何一个集合是它本身的子集,记为 A ? ②空集是任何集合的子集,记为 ?

A;

? A ;空集是任何非空集合的真子集;

那么A ? C ; ③如果 A ? B ,同时 B ? A ,那么 A = B;如果 A ? B, B ? C,
6、交集 A∩B={x|x∈A 且 x∈B}; 并集 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}; 补集 CUA={x|x∈U,且 x ? A} ,集合 U 表示全集. 7、集合运算中常用结论: ① A? B ? A

B ? A ; A? B ? A B ? B ;

② card ( A B) ? card ( A) ? card ( B) ? card ( A B) ;

一个性质 注意应用 A?B、A∩B=A、A∪B=B、?UA??UB、A∩(?UB)=?这五个关系式的等价性. 两种方法 韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法 要特别注意端点是实心还是空心.

三个防范 (1)空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻 关注对空集的讨论,防止漏解. (2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形). (3)在解决含参数的集合问题时,要检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满 足“互异性”而导致结论错误.

典型例题
一、集合的概念 例 1、已知集合 A={m+2,2m2+m},若 3∈A,求 m 的值;

例 2、设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+2},A∩B={3},求实数 a 的值;

2 例 3、设 A ? ?4, 2a ? 1, a , B ? ?9, a ? 5,1 ? a? ,已知 A

?

?

B ? ?9? ,求实数 a 的值.

例 4、已知全集 U={2,4,1-a} ,A={2,a2-a+2} ,A?U 求 a 的值.

王新敞
奎屯

新疆

如果 CU A ? ??1 ?,

二、集合的基本运算 例 5、 已知集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7? ,B ? ?x | 2 ? x ? 10? , 求 CR ( A

B) ,CR ( A B) ,

(CR A) B , A (CR B) .

2 变式 1: 已知全集 U ? R, 且 A ? x | x ? 1 ? 2 , B ? x | x ? 6 x ? 8 ? 0 , 则 (CU A)

?

?

?

?

B

等于

( A. [?1, 4)

) B (2,3) C (2,3] D (?1, 4)

2 变式 2:设集合 A ? x x ? 2 ? 2, x ? R , B ? y | y ? ? x , ?1 ? x ? 2 ,则

?

?

?

?

CR ? A B? 等于(
A. R

) B. x x ? R , x ? 0

?

?

C. ?0?

D. ?

2 变式 3:已知集合 P ? ?x ? N |1 ? x ? 10? , 集合 Q ? x ? R | x ? x ? 6 ? 0 , 则 P

?

?

Q

等于



) (B) ?2,3? (C) ?1, 2? (D) ?2?

(1) ?1, 2,3?

例 6、若集合 A={x|-1≤2x+1≤3},B=?x?
? ?

? ?

?,则 A∩B=( ? x ≤0 ? ?

x-2

? ?

).

A.{x|-1≤x<0}

B.{x|0<x≤1}

C.{x|0≤x≤2}

D.{x|0≤x≤1}

例 7、若 A ? {( x,y) | y ? x ? 1 }, B ? {( x,y) | y ? x ? 1} ,则 A
2

B ? _____.

例 8、已知集合 M ? { y | y ? x2 ? 1 ,x ? R},N ? {y | y ? x ? 1 ,x ? R} ,求 M

N.

三、集合间的基本关系 例 9、已知集合 A ? ?1, 2? ,集合 B 满足 A 变式 1:已知集合 A ? ?1, 2? ,集合 B 满足 A 系是? 变式 2: 已知集合 A 有 n 个元素, 则集合 A 的子集个数有 变式 3:满足条件 ?1,2?

B ? ?1,2? ,则集合 B 有

个.

B ? A ,集合 B 与集合 A 之间满足的关

个, 真子集个数有

个.

A ? ?1,2,3? 的所有集合 A 的个数是

个.

例 10、已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B?A,求实数 m 的取 值范围.

例 11、设集合 A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足 S?A 且 S∩B= ? 的集合 S 的个 数为 个.

随堂检测
1、设集合 A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则 A∪B 等于( A.{x|3≤x<4} C.{x|x>2} B.{x|x≥3} D.{x|x≥2} ).

2、若 P={x|x<1},Q={x|x>-1},则(

).

A.P?Q B.Q?P C.?RP?Q D.Q??RP 3、已知集合 P={x|x2≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是( A.(-∞,-1] C.[-1,1] B. [1,+∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞) ).

4、已知集合 A={1,3,m},B={3,4},A∪B={1,2,3,4},则 m=________. 5、设集合 A={x|x∈Z 且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z,且|x|≤5},则 A∪B 中的元素个数是 ( ) (A)11 (B)1 (C)16 (D)15 ). 6、设集合 M={x|x2+x-6<0},N={x|1≤x≤3},则 M∩N 等于( A.[1,2) B.[1,2] C.(2,3] D.[2,3]

课后作业
2, 4} , B ? {2 , 4, 6} ,则 A 1、已知集合 A ? {1,

B?



2、已知集合 A ={ x ︱ x 是平行四边形}, B ={ x ︱ x 是矩形}, C ={ x ︱ x 是正方形},

D { x ︱ x 是菱形},则【
A. A ? B B. C ? B

】 C. D ? C D. A ? D

3、已知集合 A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则【 (A)A ? B (B)B ? A (C)A=B



(D)A∩B=?

4、设集合 A ? {x ?3 ? 2x ?1 ? 3} ,集合 B 是函数 y ? lg( x ? 1) 的定义域;则 A 【 】

B?

( A) (1, 2)
5、 已知全集

( B ) [1, 2]

(C ) [?, ?)

( D) (?, ?]
B 为【 】

={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3,},B={2,4} ,则(CuA) C {0,2,4} D {0,2,3,4}

A {1,2,4} B {2,3,4}

6、若全集 U ? {x ? R | x2 ? 4} , A ? {x ? R | x ? 1 ? 1}的补集 CuA 为【 A C



?x ? R

|0<x< 2? | 0<x ? 2?

B D

?x ? R
?x ? R

| 0 ? x<2? | 0 ? x ? 2?

?x ? R

7、设全集 U={1,2,3,4,5,6} ,设集合 P={1,2,3,4} ,Q{3,4,5},则 P∩(CUQ)=【 A.{1,2,3,4,6} 】 B.{1,2,3,4,5} C.{1,2, 5} D.{1,2}

8、已知集合 M={1,2,3,4},N={-2,2},下列结论成立的是【 A.N?M B.M∪N=M C.M∩N=N



D.M∩N={2}

9、若集合 A ? x 2 x ? 1 ? 0 , B ? x x ? 1 ,则 A ? B = 10、设 a, b ? R ,集合 {1, a ? b, a} ? {0, A.1 B. ?1

?

?

?

?

b , b} ,则 b ? a ? ( a
C.2

) D. ?2

11、已知全集 U ? Z , A ? {?1,0,1, 2}, B ? {x | x2 ? x} ,则 A A. {?1, 2} B. {?1, 0} C. {0,1}

CU B 为(
D. {1, 2} )



12、 U ? ?1,2,3,4,5? , A ? ?1,2,3?, B ? ?2,3,4? ,则 CU ( A ? B) ? ( A

?2,3?

B ?1, 4,5?

C

?4,5?
C {1, 2}
2

D ?1,5? )

13、 集合 U ? {x ? N | 0 ? x ? 8} ,S ? {1, 2, 4,5} , 则 S ? (CU T ) ?( T ? {3,5,7} , A {1,2,4} B {1, 2,3, 4,5, 7} D {1, 2, 4,5, 6,8}

14、 已知全集 U ? {1 集合 A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} , , 2, 3, 4, 5} , B ? {x | x ? 2a,a ? A} , 则集合 CU ( A ? B) 中元素的个数为( A.1 B.2 C.3 ) D.4 ( N? )

15、 设集合 M ? {m ? Z | ?3 ? m ? 2} ,N ? {n ? Z | ?1≤ n ≤3} ,则M A. ?0, 1? B. ??1 , 01 , ? C. ?0, 1, 2? D. ??1 , 01 , , 2? )

16、设集合 M ? ??1, 0, 1?,N ? x | x 2 ? x ,则 M ∩ N =( A.

?

?

?0?

B.

?0, 1?

C.

??1, 1?

D.

??1,

0, 1?
则实数 a = B ? {2} , .

17、 若集合 A ? x | x ≤ 2 ,B ? x | x ≥ a 满足 A

?

?

?

?

18、若集合 A ? {?1,1} , B ? {0, 2} ,则集合 {z | z ? x ? y, x ? A, y ? B} 中的元素的个 数为【 A.5 】 B.4 C.3 D.2 】 D.1 或 3

,m? , A 19、已知集合 A ? 1,3, m , B ? ?1
A.0 或 3 B.0 或 3

?

?

B ? A ,则 m ? 【
C.1 或 3

2 20、已知集合 A ? x | x ? 3 x ? 2 ? 0, x ? R

?

?

, B ? ?x | 0 ? x ? 5, x ? N? ,则满足条

件 A ? C ? B 的集合 C 的个数为【 A1 B2 C 3 D4





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