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义乌市2016年高考适应性考试理科数学试卷及答案5.4



义乌市普通高中 2016 年高考适应性考试 数学(理科)试题卷
一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分, )

1. “ab<0”是“|a-b|=|a|+|b|”的(
A.充分不必要条件 C.充分必要条件

) B.必要不充分条件 D.既不是充分条件,也不是必要条件

2.已知三

个平面α ,β ,γ ,若β ⊥γ ,α 与γ 相交但不垂直,a,b 分别为α ,β 内的直线,则
下列结论正确的是( A. ? a ? α ,a⊥γ ) B. ? a ? α ,a∥γ D. ? b ? β ,b∥γ

C. ? b ? β ,b⊥γ ? 3.已知函数 f(x)=2sin(2x- ) -1,则下列结论中错误 的是( ) .. 6 A.函数 f(x)的最小正周期为π C.函数 f(x)在区间[0,

B.函数 f(x)的图象关于直线 x=

? 对称 3

? ]上是增函数 4
? 个单位得到 6
| 3x 0 ? 4y 0 ? 12 | =1 5

D.函数 f(x)的图象可由 g(x)=2sin2x-1 的图象向右平移

4.关于 x,y 的不等式组 ? ?x ? m ? 0

?2x ? y ? 1 ? 0 ?y ? m ? 0 ?

表示的平面区域内存在点 P(x0,y0)满足

则实数 m 的取值范围是( A.(??,

)

17 ] 7

B.[

17 , ??) 7

??) C.[1,

D.[1,

17 ] 7
)

5.若 a,b,c>0,且 a(a+b+c)+bc=16,则 2a+b+c 的最小值为( A.2 B.4 C.6 D.8

2 6.设向量 a , b , c 满足| a |=2,| b |= a · b =3,若(c -2 a )( c - b )=0,则| b -c |的最小值是( ) 3

A.2+ 3
2

B.2- 3

C.1

D.2
2

x y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左焦点, 7.若抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,其准线经过双曲线 2 a b2
点 M 为这两条曲线的一个交点,且|MF|=p,则双曲线的离心率为 ( )

2? 2 1? 2 B.2+ 2 C.1+ 2 D. 2 2 8.已知 a 为实数,函数 f(x)=x2-|x2-ax-2|在区间(-∞,-1)和(2,+∞)上单调递增,则 a 的
A.
取值范围为( )

A.[1,8]

B.[3,8]

C.[1,3]

D.[-1,8]

二.填空题(共 7 小题,9~12 每小题 6 分,13~15 每小题 4 分,共 36 分)

9.设全集 U=R,集合 A={x|x>2},B={x| x2-4x+3<0},则①A∩B=

;②?U B=

? | x ? 1 | ?2a ,x ? 0 10.已知函数 f(x)= ? .①当 a=0 时,若 f(x)=0,则 x= ,x ? 0 ?log 3 x
②若 f(x)有三个不同零点,则实数 a 的取值范围为

11.若某多面体的三视图如右图所示(单位:cm) :则此多面体的
①体积是 cm3;②外接球的表面积是 cm2
第11题图

12.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a8>0,a8+a9<0,
则 Sn>0 的最大 n 是 ;数列{

Sn }(1<n<15)中最大的项为第 an



13.如图,边长为 2 的正△ABC 顶点 A 在平面α 上,B、C 在平面α 的
同侧,M 为 BC 的中点,若△ABC 在平面α 上的射影是以 A 为直角顶 点的△AB1C1,则 M 到平面α 的距离的取值范围是

14.在直角坐标平面内,点 A、B 的坐标分别为(2,-2) ,(2, 2)
不等式|x|+|y|≤2 表示的平面区域记为 M,设点 P 是线段 AB 上 的动点,点 Q 是区域 M 上的动点,则线段 PQ 的中点的运动区域的面积是

15.设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过 F 的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点,M 为抛物线的准线与 x 轴的交点,若|AB|=8,则 tan∠AMB=
三.解答题(本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算过程)

16. (本题满分 15 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,且满足 c(bcosA-

a 1 129 )=b2-a2 . ⑴求角 B 的大小;⑵若 BD 为 AC 边上的中线,cosA= ,BD= 2 7 2



求△ABC 的面积.

17. (本题满分 15 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 3 的菱形,∠ABC=60°, PA⊥面 ABCD,F 在棱 PA 上,且 AF=1,E 在棱 PD 上. ⑴若 CE∥面 BDF,求 PE:ED 的值
⑵求二面角 B-DF-A 的余弦值

P E F D
O

A

B

C

18. (本题满分 15 分)已知椭圆 C:

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 ( a >0,b>0)的右焦点为 F(1,0),离心率 e= , 2 a b 2

⑴求椭圆 C 的方程;⑵若过点 M(2,0)作直线与椭圆 C 相交于两点 G,H,设 P 为椭圆 C 上动点, 且满足 OG ? OH ? t OP (O 为坐标原点),当 t≥1 时,求△OGH 面积 S 的取值范围

19. (本题满分 15 分)已知 a∈R,设函数 f(x)=x|x-a|-x.⑴当 a=3 时,求函数 f(x)的单调区间;
⑵若 a≤0,对任意的 x∈[0,t],不等式-1≤f(x)≤6 恒成立,求 t 的最大值及此时 a 的值.

20. (本题满分 14 分)已知数列{ an }满足

1 1 1 ? ? (n∈N*),且 a1 =4. an?1 2an 2

2 ⑴求数列{ an }的通项公式;⑵设 bn= an - an ,Sn 且为{bn}的前项和,证明:12≤Sn<15

2016 年义乌市高考适应性考试 数学(理科)参考答案(2016.5) (给分有理,扣分有据,标准统一,适度从宽,另法酌情给分) 一、选择题:本大题有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

A

B

D

C

D

B

C
1 2

A

二、填空题:共 7 小题,9-12 每小题 6 分,13-15 每小题 4 分,共 36 分. 9.① (2,3) , ② (??, 1? ? ?3,??? 11.① 10.① ? 1 ② 0 ? a ? 13. ? 2 ,

5 ② 3? 6

12.① 15 ② 8

? ?

3? ? 2?

14. 6 ②0 ? a ?

15. 2 2

注: 10 题答案写成:① 1 给 2 分 或① ? 1 给 2 分 注: 13 题答案写成:数值 2 ,

1 给2分 2

3 只一个正确的给 2 分. 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算过程. 16.解: (Ⅰ)? c(b cos A ? ) ? b 2 ? a 2 即 2bc cos A ? ac ? 2(b 2 ? a 2 )

a 2

? b 2 ? c 2 ? a 2 ? ac ? 2(b 2 ? a 2 )
? a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac

???????????????3 分

?????????????????????????4 分

cos B ?
B?

1 2

??????????????????????????????6 分 ???????????????????????????????7 分

?
3

(Ⅱ) 法一:在三角形 ABD 中,由余弦定理得
2 ? 129 ? b ?b? 2 ? ? ? 2c ? cos A ? 2 ? ? ? c ?? 2 ?2? ? ? 2

所以

129 b2 1 ? c 2 ? ? bc ??(1) 4 4 7
c b , ? sin C sin B

???????9 分

在三角形 ABC 中,由正弦定理得 由已知得 sin A ?

4 3 7

所以 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 所以 c ?

5 3 , 14

???????11 分

5 b ??(2) 7

?????????12 分

由(1) , (2)解得 ? 所以 S? ABC ?

?b ? 7 ?c ? 5
????????15 分

1 bc sin A ? 10 3 2

法二: 延长 BD 到 E , DE ? BD ,连接 AE ,

?ABE 中, ?BAE ?

2? , 3

BE 2 ? AB2 ? AE 2 ? 2 ? AB ? AE ? cos ?BAE
因为 AE ? BC ,

129 ? c 2 ? a 2 ? a ? c (1)
由已知得, sin A ?

???????9 分

4 3 , 7

所以 sin C ? sin( A ? B) ?

5 3 , 14

???????11 分

c sin ?ACB 5 ? ? a sin ?BAC 8

(2)

???????12 分

由(1) (2)解得 c ? 5, a ? 8 ,

1 S?ABC ? c ? a ? sin ?ABC ? 10 3 2
17. (Ⅰ)法一:过 E 作 EG / / FD 交 AP 于 G ,连接 CG , 连接 AC 交 BD 于 O ,连接 FO . ∵ EG / / FD , EG ? 面 BDF , FD ? 面 BDF ,

???????15 分
P G F A O B C D E

G ? C E E? ∴ EG / / 面 BDF , 又E

, CE // 面 BDF ,EG , CE ? 面 CGE ,

∴面 CGE / / 面 BDF , 又 CG ? 面 CGE ,∴ CG / / 面 BDF ,????????????5 分 又面 BDF ? 面 PAC ? FO , CG ? 面 PAC , ∴ FO / /CG . 又 O 为 AC 中点,∴ F 为 AG 中点,∴ FG ? GP ? 1, ∴ E 为 PD 中点, PE : ED ? 1:1 . ???????8 分 法二: 取 BC 中点 G ,连接 AG ,∵ ABCD 是 ?ABC ? 60 的菱形,
?

z P E F A D y

B

G

x

C

∴ AG ?

???? ???? ??? ? AD ,又 PA ? 面 ABCD ,∴分别以 AG 、 AD 、 AP

为 x 、 y 、 z 轴正方向建立空间直角坐标系 A ? xyz 如图所示.

则 D(0,3,0), B(

3 3 3 3 3 3 , ? ,0), C ( , ,0), F (0,0,1), P(0,0,3), 2 2 2 2 ??? ? 3 3 9 , ? , 0) ,???????????????????4 分 2 2

∴ DF ? (0, ?3,1), DB ? (

????

设面 BDF 的一个法向量 n ? ( x, y, z ) ,

?

? ???? ? ?3 y ? z ? 0 ? ?n ? DF ? 0 ? 则由 ? ? ??? 可得 ? 3 3 ,不妨令 z ? 3 ,则解得 x ? 3, y ? 1 , ? 9 x ? y ? 0 n ? DB ? 0 ? ? ? ? 2 2
∴ n ? ( 3,1,3) . ?????????????????????????????6 分 设 PE ? ? PD ? (0,3?, ?3? ) ,则 CE ? CP ? PE ? (? ∵ CE // 面 BDF ,∴ n ? CE ? 0 ,即 ?

?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

3 3 3 , ? ? 3? ,3 ? 3? ) , 2 2

? ? ???

1 9 3 ? ? 3? ? 9 ? 9? ? 0 ,解得 ? ? . 2 2 2

∴ PE : ED ? 1:1 .?????????????????????????????8 分 (Ⅱ) DF 法 一 : 过 点 B 作 BH ? 直 线 DA 交 DA 延 长 线 于 H , 过 点 H 作 HI ? 直 线 DF 交 于 I, ?????????????????9 分 P ∵ PA ? 面 ABCD ,∴面 PAD ? 面 ABCD , ∴ BH ? 面 PAD ,由三垂线定理可得 DI ? IB , I F ∴ ?BIH 是二面角 B ? DF ? A 的平面角. ?????????11 分

3 3 3 9 由题易得 AH ? , BH ? , HD ? , 2 2 2
B

H

A

D

HI AF 1 9 10 且 ,∴ HI ? , ? ? HD DF 20 10
∴ tan ?BIH ?

C

3 3 20 30 , ???????????????????14 分 ? ? 2 9 10 3

∴二面角 B ? DF ? A 的余弦值为

39 . 13

?????????????????15 分

法二: 接(Ⅰ)法二,显然面 PAD 的一个法向量 m ? (1, 0, 0) ,

?

?????????11 分

? ? m?n 39 ? ? ∴ cos ? m, n ?? ? .?????????????????????14 分 ? ? | m | ? | n | 13
∴二面角 B ? DF ? A 的余弦值为

39 . 13
2 2

????????????????15 分

18.解: (Ⅰ) 由右焦点为 F ?1,0 ? , e ?

? c ?1 ? ?e ? c ? 2 ? a 2 ?
2 2

解得 a ?

2, c ? 1,

所以 b ? a ? c ? 1, b ? 1 . ?????????????????????3 分
2

所以椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ?????????????????????5 分 2

(Ⅱ) 设过点 M 的直线方程为 x ? my ? 2 ??????????????????6 分

G , H 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,

? x2 ? ? y 2 ? 1, 2 2 2 2 联立方程 ? 2 得 (m ? 2) y ?4 my ?2 ? 0 , ? ? 8m ? 16 ? 0 ? m ? 2 , ? x ? my ? 2, ?
因为 y1 ? y2 ? ? 所以 | y1 ? y2 | ?

4m 2 , y1 y2 ? 2 ??????????????????8 分 2 m ?2 m ?2
( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2

?4m 2 8 2 2 m2 ? 2 ) ? ? , 2 ? m2 2 ? m2 2 ? m2 ???? ???? ??? ? x ? x2 y1 ? y2 因为 OG ? OH ? tOP ,所以点 P( 1 , ), t t 因为点 P 在椭圆 C 上, x ? x2 2 y ? y2 2 ) ? 2( 1 ) ?2, 所以有 ( 1 t t ? (
化简得 [m( y1 ? y2 ) ? 4]2 ? 2( y1 ? y2 )2 ? 2t 2 , 因为 y1 ? y2 ? ?

4m ,所以得 m2 ? 2 4m 2 2 4m 16 (? 2 ) (m ? 2) ? 8m(? 2 ) ? 16 ? 2t 2 ? 0 ,化简 m2 ? 2 ? 2 ,?????11 分 m ?2 m ?2 t

2 因为 t ? 1,所以 2 ? m ? 14 ,

因为 S?OGH ?

2 2 m2 ? 2 1 , ? 2? | y1 ? y2 | ? 2 ? m2 2
2 2 ?t 2 2 , ? 4 t2 ? 4 t? t

??????????12 分

2 令 m ? 2 ? t (t ? (0, 2 3]) ,所以 S ?OGH ?

令 g (t ) ? t ?

4 ,因为 g (t ) 在 t ? (0, 2] 上单调递减,在 t ?[2, 2 3] 上单调递增, t
2 . 2
??????????????????15 分

所以 0 ? S ?OGH ?

19.解:(Ⅰ)当 a ? 3 时, f ( x ) ? ?

?? x 2 ? 2 x ? ?( x ? 1) 2 ? 1, x ? 3 2 2 ? x ? 4 x ? ( x ? 2) ? 4, x ? 3

??????3 分 ???5 分

函数 f ( x) 的单调递增区间为 ?? ?,1?, ?3,??? ,单调递减区间为 ?1,3?
2 ? ?? x ? (a ? 1) x, x ? a, (Ⅱ) f ( x) ? ? 2 ? ? x ? (a ? 1) x, x ? a.

①当 a ? ?1 时, a ?

a ?1 a ?1 ? ? 0 , f ( x) 在 [0, t ] 单调递增, f ( x) min ? f (0) ? 0 2 2
??????????7 分

f ( x) max ? f (t ) ? t 2 ? (a ? 1)t
由题意得 f ( x) max ? 6 ,即 t 2 ? (a ? 1)t ? 6 , 解得 0 ? t ?

(a ? 1) ? (a ? 1) 2 ? 24 . 2
m 2 ? 24 ? m ? 2 12

??????????8 分

令 m ? ?(a ? 1) ? 0 , h(m) ? 所以 h(m) max ? h(0) ? ②当 ?1 ? a ? 0 时,

m 2 ? 24 ? m

在 [0, ??) 单调递减,

6 ,即当 a ? ?1 时, tmax ? 6 ?????????10 分

a ?1 a ?1 a ?1 , f ( x) 在 [0, ?a?0? ] 单调递减, 2 2 2

在[

a ?1 (a ? 1) 2 1 a ?1 )?? ? [? , 0) , , ??) 单调递增, f ( x) min ? f ( 2 2 4 4

满足 f ( x) min ? ?1 , f ( x) max ? f (t ) ? t 2 ? (a ? 1)t , 由题意得 f ( x) max ? 6 即 t 2 ? (a ? 1)t ? 6 ,解得 0 ? t ? 令 m ? a ? 1 ? 0 , h ( m) ? ?????12 分

(a ? 1) ? (a ? 1) 2 ? 24 , 2

m ? m 2 ? 24 在 (0,1] 单调递增, 2

所以 h(m) max ? h(1) ? 3 ,即当 a ? 0 时, tmax ? 3 . ???????????14 分

综上所述, tmax ? 3 ,此时 a ? 0 . 20.证:(Ⅰ)由

?????????????????15 分 由 a1 ? 4 得

1 a n ?1

?

1 1 1 1 1 ? 得, ? 1 ? ( ? 1) 2a n 2 a n ?1 2 an

1 3 ?1 ? ? a1 4
……………………………4 分

所以数列 {

1 1 3 ? 1} 是首项为 ? ,公比为 的等比数列 an 2 4

2 n ?1 1 1 1 n?1 3 1 n?1 a ? , 即 ………………………………6 分 ( ? 1) ? ( ? 1)( ) ? ? ( ) n 2 n ?1 ? 3 an a1 2 4 2
( Ⅱ ) 故 bn ? an ? an ?
2

3 ? 2 n?1 (2 n?1 ? 3) 2

………………………………7 分



S n?1 ? S n ? bn?1 ?

3 ? 2 n?2 ? 0 ,故 S n 是关于 n 的递增数列 (2 n?2 ? 3) 2
2

故 S n ? S1 ? b1 ? a1 ? a1 ? 12 . 当 k ? 2 时, bk ? ak ? ak ?
2

…………………………9 分

3 ? 2 k ?1 3 ? 2 k ?1 3 ? 2k ? ? (2 k ?1 ? 3) 2 (2 k ?1 ? 3)(2 k ?1 ? 4) (2 k ?1 ? 3)(2 k ? 2)
…………………………12 分

?

3 ? 2k 1 1 ? 3( k ? k ?1 ) k ?1 k (2 ? 3)(2 ? 3) 2 ?3 2 ?3

故 S n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 12 ? b2 ? b3 ? ? ?b n

? 12 ? 3(

1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 3 ? 4 ?? ? n ? n ?1 2 ?3 2 ?3 2 ?3 2 ?3 2 ?3 2 ?3 3 ? 15 ? n ?1 ? 15 2 ?3
2

综上有 12 ? S n ? 15 .

……………………14 分



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