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2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测高三数学(文科含答案)



2012 年石家庄市高中毕业班教学质量检测

高三数学(文科)
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第 I 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 5.考虑到各校的复习进度,本试卷考试内容不包含选修系列 4. 第 I 卷(选择题 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 第 I 卷(选择题 60 分) 一、选择题:本大题共 l2 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 A={1,2,3,5},B={2,4,5,6},则 A ? B = A.{1,2} B.{2,3} C.{2,5} D.{4,6} 2.下列函数中与函数 y=x 相等的是 A.y=|x|
3

B.y=

1 x

C.y= x 2

D.y= x3

3

3.曲线 y=x 在点(1,1)处的切线方程是 A.x+y-2=0 B.3x+y-2=0 C.3x-y-2=0 D.x-y+2=0 4.下列函数中,周期是 ? ,又是偶函数的是 A.y=sinx B.y=cosx C.y=sin2x D.y=cos2x 5.双曲线

x2 ? y 2 =1 的离心率是 4
B.

A.

1 2

3 2

C.

5 2

D. 3

6.将长方体截去一个四棱锥后,得到的几何体的直观图如右图所示,则该几何体的俯 视图为

7.已知抛物线 y2=2px,直线 l 经过其焦点且与 x 轴垂直,并交抛物线于 A、B 两点,若 |AB|=10,P 为抛物线的准线上一点,则△ABP 的面积为 A.20 B.25 C.30 D.50 8.阅读如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A.0 C. 1 ? B. 1? 2

2 2

D. 2 ? 1

9.已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1 · a9 =16,则 a2 · a5 · a8 的值 A.16 C.48 B.32 D.64

x 10.已知函数 f ( x) ? ( ) ? sin x ,则 f (x) 在[0,2 ? ]上的零点个数为

1 2

A.1 C.3

B.2 D.4

11.△ABC 中,∠C=90°,且 CA=CB=3,点 M 满足 BM ? 2 AM ,则 CM · CA = A.18 C.15 B.3 D.12

1 1 12 . 设 集 合 A ? [0, ), B ? [ ,1] , 函 数 f (x) ? 2 2

?

1 x ? , ( x ? A), x0 ? A, 且 2 2(1 ? x ), ( x ? B ),

f [ f ( x0 )]? A,

则 x0 的取值范围是

A.( 0,

1 1 1 1 1 3 ] B.( , ] C.( , ) D.[0, ] 4 8 4 2 4 2

第 II 卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.复数 z ? 1 ? i ,则

2 ? z2 = z



14.经调查某地若干户家庭的年收入 x (万元)和年饮食支出 y (万元)具有线性相关

? 关系,并得到 y 关于 x 的线性回归直线方程: y =0.245 x +0.321,由回归直线方程可
知,家庭年收入每增加 l 万元,年饮食支出平均增加 万元. .

?y ? x ? 1 ? 15.设实数 x,y 满足不等式组 ? y ? x ? 2 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值是 ?y ? 0 ?

16.圆心在抛物线 x2=2y 上,与直线 2x+2y+3=0 相切的圆中,面积最小的圆的方程 为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知等差数列{ an }, Sn 为其前 n 项的和, a2 =0, a5 =6,n∈N*. (I)求数列{ an }的通项公式; (II)若 bn =3 an ,求数列{ bn }的前 n 项的和. 18.(本小题满分 12 分) 某城市有一块不规则的绿地如图所示, 城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形 的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD,经测量 AD=BD=14, BC=10,AC=16,∠C=∠D. (I)求 AB 的长度; (Ⅱ)若建造环境标志的费用与用地面积成正比,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计 使建造费用最低,请说明理由.

19.(本小题满分 12 分) 某工科院校对 A,B 两个专业的男女生人数进行调查,得到如下的列联表:

(I) 从 B 专业的女生中随机抽取 2 名女生参加某项活动, 其中女生甲被选到的概率是多 少? (II)能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为工科院校中“性别”与“专业” 有关系呢? 注: K 2 ?

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

20.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥平面 A1B1C1,∠B1A1C1=90°,D、E 分别为 CC1 和 A1B1 的中点,且 A1A=AC=2AB=2. (I)求证:C1E∥平面 A1BD; (Ⅱ)求点 C1 到平面 A1BD 的距离.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? 2ax ? 3(a ? 0). (I)设 a =-1,求函数 f (x) 的极值;

1 3 x ? x 2 f ?( x) ? m] (其中 f ?(x) 为 f (x) 的导 3 数)在区间(1,3)上不是单调函数,求实数 m 的取值范围.
(II)在(I)的条件下,若函数 g ( x) ? 22.(本小题满分 12 分)

3 y2 x2 已知焦点在 y 轴上的椭圆 C1: 2 ? 2 =1 经过 A(1,0)点,且离心率为 . a b 2
(I)求椭圆 C1 的方程;

(Ⅱ)过抛物线 C2: y ? x ? h (h∈R)上 P 点的切线与椭圆 C1 交于两点 M、N,记线段 MN 与
2

PA 的中点分别为 G、H,当 GH 与 y 轴平行时,求 h 的最小值.

2011-2012 年度高三复习质量检测数学(文科答案)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1-5 CDCDC 二、 13. 6-10 CBBDB 11-12 AC

填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

1? i

14.0.245

7 15. ? 2

1? 1 ? 16.? x ? 1? ? ? y ? ? ? 2? 2 ?
2

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)依题意 ? 解得 ?

?a1 ? d ? 0, ??????2 分 ?a1 ? 4d ? 6.

?a1 ? ?2, ?d ? 2.
?????5 分 ,

an ? 2n ? 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 bn ? 32n?4

bn ?1 1 ? 9 ,所以数列 ?bn ? 是首项为 ,公比为 9 的等比数列,?????7 分 9 bn 1 (1 ? 9n ) 1 9 ? (9n ? 1) . 1? 9 72 1 n (9 ? 1) .??????10 分 所以数列 ?bn ? 的前 n 项的和 72
18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)在 ?ABC 中,由余弦定理得

AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos C ? 162 ? 102 ? 2 ?16 ?10cos C



在 ?ABD 中,由余弦定理及 ?C ? ?D 整理得

AB2 ? AD2 ? BD2 ? 2 AD ? BD cos D ? 142 ? 142 ? 2 ?142 cos C
由①②得: 14 ? 14 ? 2 ?14 cos C ? 16 ? 10 ? 2 ?16 ?10cos C
2 2 2 2 2

②???2 分

整理可得 cos C ?

1 ,?????4 分 2
?

又 ?C 为三角形的内角,所以 C ? 60 , 又 ?C ? ?D , AD ? BD ,所以 ?ABD 是等边三角形, 故 AB ? 14 ,即 A、B 两点的距离为 14.?????6 分 (Ⅱ)小李的设计符合要求. 理由如下:

1 AD ? BD sin D 2 1 S?ABC ? AC ? BC sin C 2 因为 AD ? BD ? AC ? BC ????10 分 S?ABD ?
所以 S?ABD ? S?ABC 由已知建造费用与用地面积成正比,故选择 ?ABC 建造环境标志费用较低。 即小李的设计符合要求.????12 分 19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)设 B 专业的 4 名女生为甲、乙、丙、丁,随机选取两个共有(甲,乙)(甲,丙)(甲, , , 丁)(乙,丙)(乙,丁)(丙,丁)6 种可能,?????2 分 , , , 其中选到甲的共有 3 种可能,?????4 分 则女生甲被选到的概率是 P ?

3 1 ? .?????6 分 6 2
2

100 ? (12 ? 46 ? 4 ? 38)2 ? 4.762 ,???9 分 (Ⅱ)根据列联表中的数据 K ? 16 ? 84 ? 50 ? 50
由于 4.762 ? 3.841 ,因此在犯错误的概率不超过 0.05 的前提 下认为工科院校中“性别”与“专业”有关系.????12 分 20. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:取 A B 中点 F,连结 EF,FD. 1

1 1 B1 B , ,又 B1B ? C1C , C1 D ? C1C , 2 2 1 ∴ EF 平行且等于 C1 D , 2 所以 C1 EFD 为平行四边形,?????4 分 ∴ C1E // DF ,又 DF ? 平面 A DB , 1
∵ EF ? ∴ C1E // 平面 A DB .?????6 分 1 (Ⅱ) A B ? AD ? 5 , BD ? 6 ,?????8 分 1

所以 S?A1BD ?

1 1 1 1 3 1 6? 5? ? 21 , VB ? A1C1 D ? ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 3 2 3 2 2 2

VB? A1C1D ? VC1 ? A1BD ,??????10 分


1 1 1 ? ? 21 d ? , 3 2 3 2 21 . d? 21

所以点 C1 到平面 A BD 的距离为 1 21.(本小题满分 12 分)

2 21 .??????12 分 21
( x ? 0) ,

解: (Ⅰ)当 a ? ?1 , f ( x) ? ? ln x ? 2 x ? 3

?1 ? 2 ,??????2 分 x 1 1 ???4 分 ? f ( x) 的单调递减区间为(0, ),单调递增区间为( , ? ?) 2 2 1 1 1 f ( x)的极小值是( ) ? ln ? 2 ? ? 3 ? ln 2 ? 4. . ??????6 分 f ? 2 2 2 1 3 1 2 (Ⅱ) g ( x ) ? x ? ( ? ? 2 ? m) x , 3 x f ' ( x) ?

? g ' ( x) ? x 2 ? (4 ? 2m) x ? 1 ,

??????8 分

? g ( x)在区间(, 1 3)上不是单调函数,且 ' (0) ? ?1 , g
? g ' (1) ? 0 ? ?? ' ? g (3) ? 0 ?
????????10 分

?4 ? 2m ? 0 10 ? m ? ?2 即: ? ?? 3 ?20 ? 6m ? 0

.

m 的取值范围 (?

10 , ?2) 3 ??????12 分

22. (本小题满分 12 分)

?1 ? b 2 ? 1, ? 3 ?c 解: (Ⅰ)由题意可得 ? ? ,?????2 分 , a 2 ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ? ?
解得 a ? 2, b ? 1 ,

所以椭圆 C1 的方程为 x ?
2

y2 ? 1.??????4 分 4

2 (Ⅱ)设 P t , t ? h ,由 y? ? 2 x ,

?

?

抛物线 C2 在点 P 处的切线的斜率为 k ? y?

x ?t

? 2t ,

所以 MN 的方程为 y ? 2tx ? t 2 ? h ,?????5 分 代入椭圆方程得 4 x ? 2tx ? t ? h
2 2

?

?

2

?4? 0,
2

化简得 4 1 ? t

?

2

?x

2

? 4t ? t 2 ? h ? x ? ? t 2 ? h ? ? 4 ? 0

又 MN 与椭圆 C1 有两个交点,故

? ? 16 ? ?t 4 ? 2 ? h ? 2 ? t 2 ? h 2 ? 4 ? ? 0 ? ?



设 M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ? , MN 中点横坐标为 x0 ,则
2 x1 ? x2 t ? t ? h ? x0 ? ? , 2 2 ?1 ? t 2 ?

???????8 分

设线段 PA 的中点横坐标为 x3 ? 由已知得 x0 ? x3 即

t ?t 2 ? h ? 2 ?1 ? t
2

1? t , 2

?

?

1? t , ②??????10 分 2

显然 t ? 0 , h ? ? ? t ? ? 1?

? ?

1 t

? ?



当 t ? 0 时, t ? ? 2 ,当且仅当 t ? 1 时取得等号,此时 h ? ?3 不符合①式,故舍去; 当 t ? 0 时, ? ?t ? ? ? ? ? ? 2 ,当且仅当 t ? ?1 时取得等号,此时 h ? 1 ,满足①式。 综上, h 的最小值为 1.??????12 分

1 t

? 1? ? t?



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