9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

两角和与差的正弦、余弦和正切公式



第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 cos αsin β sin(α± β)= sin αcos β± ; sin αsin β cos(α?β)= cos αcos β± ;

r />tan α± tan β tan(α± β)= 1?tan αtan β

.

数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α= 2sin αcos α ;
2 2 2 2 cos α - sin α 2cos α - 1 1 - 2sin α cos 2α= = = 2tan α 1-tan2α tan 2α= .



1 .在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易 错.

2 2.在(0,π)范围内,sin(α+β)= 所对应的角 α+β 不是 2 唯一的.
数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

[试一试]
1.sin 68° sin 67° -sin 23° cos 68° 的值为 2 A.- 2 3 C. 2 2 B. 2 D.1 ( )

答案:B

数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

α 3 2.(2013· 江西高考)若sin = ,则cos α= 2 3 2 A.- 3 1 C. 3 1 B.- 3 2 D. 3

(

)

? 3? α 3 ? 2 α 解析:因为 sin = ,所以 cos α=1-2sin =1-2×? ? 3 ? 2 3 2 ? ?
2

1 = . 3

答案:C
数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

1.公式的常用变形

(1)tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan αtan β);
1+cos 2α 1-cos 2α 2 (2)cos α= ,sin α= ; 2 2
2

(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2, 1-sin 2α=(sin α-cos α)2, sin α± cos α=
? π? ?. 2sin?α± 4 ? ?

数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

2.角的变换技巧
2α=(α+β)+(α-β);

α+β α-β α=(α+β)-β;β= - ; 2 2
? α-β ? β? ?α =?α+2?-?2+β?. 2 ? ? ? ?

3.三角公式关系

数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

[练一练]
1.已知
? ?π ? 2 π? 3 tan?α-6 ?= ,tan?6+β?= ,则 ? ? 7 ? ? 5

tan(α+β)的值为 (

)

29 A. 41

1 B. 29

1 C. 41

D.1

答案:D

数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

? π? 2 2? 2.(2013· 全国卷Ⅱ)已知 sin 2α= ,则 cos α+4?= 3 ? ?

(

)

1 A. 6

1 B. 3
2?

1 C. 2

2 D. 3

π? 解析:法一:cos α+4? ? ?
? π?? 1 1? 1 ? ? ? ? = 1+cos 2α+2 = (1-sin 2α)= . 2? 6 ? ?? 2 ? π? 法二: cos?α+4 ?= ? ?
2

?

? π? 1 2 2 2? cos α- sin α, 所以 cos α+4?= (cos α 2 2 ? ? 2

1 1 1 -sin α) = (1-2sin αcos α)= (1-sin 2α)= . 2 2 6 答案:A
数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

?π ? 3 1.已知sin α= ,α∈?2,π?,则 5 ? ?

=________. ? π? 2sin?α+4? ? ?

cos 2α

cos2α-sin2α 解析: = ? =cos α-sin α, ? ? π? 2 ? 2 2sin?α+4 ? 2? sin α+ cos α? ? ? ? 2 ? 2 ? cos 2α
?π ? 3 4 7 ? ? ∵sin α= ,α∈ 2,π ,∴cos α=- .∴原式=- . 5 5 5 ? ? 7 答案:- 5
数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

2.(2013· 四川高考)设sin 2α=-sin 的值是________.

?π ? α,α∈?2,π?,则tan ? ?



1 解析:∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α,∴cos α=- ,又 2
?π ? α∈ ?2,π? ,∴sin ? ?

3 α= ,tan α=- 3 ,∴tan 2α= 2

-2 3 2tan α 2 = 2= 3. 1-tan α 1-?- 3?

答案: 3

数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

?1 π? ? 3.已知函数 f(x)=2sin 3x-6?,x∈R. ? ? ?5π? (1)求 f ? 4 ?的值; ? ?

? ? π? π? 10 6 ? ? ? ? (2)设 α,β∈ 0,2 ,f 3α+2 = ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. 5 ? ? ? ? 13 ?1 ?5π? ?5π π? π? π 解:(1)∵f(x)=2sin?3x-6 ?,∴f ? 4 ?=2sin?12-6?=2sin = 2. 4 ? ? ? ? ? ?
? π? ? (2)∵α,β∈ 0,2 ?,f ? ? ? π? 10 6 ?3α+ ?= ,f(3β+2π)= , 2 ? 13 5 ?

? π? 6 10 5 3 ∴2sin α= ,2sin?β+2 ?= .即sin α= ,cos β= . 13 13 5 ? ? 5

12 4 ∴cos α= ,sin β= .∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 13 5 12 3 5 4 16 = × - × = . 13 5 13 5 65
数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

[类题通法]
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广, 可用 α、β 的三角函数表示 α± β 的三角函数,在使用两角和与 差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成 统一角和角与角转换的目的.

数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

[典例]

(1)(2013· 长春二模)在△ABC 中,若 tan A· tan B= ( 1 D.- 2 )

tan A+tan B+1,则 cos C 的值是 2 A.- 2 2 B. 2 1 C. 2

能否求出tan(A+B)?

提醒:C=π-(A+B)

[解析] (1)由 tan A tan B = tan A + tan B +1,可得 tan A +tan B =-1,即 tan(A +B )=-1, 1-tan A tan B 3π π 2 所以 A +B = ,则 C= ,cos C= .故选 B. 4 4 2
数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

[典例] 1 A.- 2
统 一 角

sin 110°sin 20° (2) 2 的值为 2 cos 155°-sin 155° 1 3 B. C. 2 2
110° 155° 70° 310° 20° 50°

(

) D.- 3 2

统一为40°

sin 110°sin 20° sin 70°sin 20° [解析] = cos 310° cos2155°-sin 2155° 1 cos 20°sin 20° 2sin 40° 1 = = = . 故选 B. [答案] (1)B (2)B cos 50° sin 40° 2
数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

[类题通法]
运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确, 而且要熟悉公式的逆用及变形, 如 tan α+tan β=tan(α+β)· (1 -tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.

数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

[针对训练] ? ? π? π? 4 3 1.(2014· 赣州模拟)已知 sin?α+6 ?+cos α= ,则 sin?α+3 ?的 5 ? ? ? ?
值为 4 A. 5 3 B. 5 3 C. 2 ( 3 D. 5 )

3 3 4 3 解析:由条件得 sin α+ cos α= , 2 2 5 1 3 4 即 sin α+ cos α= . 2 2 5
? π? 4 ∴sin?α+3 ?= . ? ? 5

答案:A
数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

3π 2.若α+β= ,则(1-tan α)(1-tan β)的值是________. 4 tan α+tan β 3π 解析:-1=tan =tan(α+β)= , 4 1-tan αtan β
∴tan αtan β-1=tan α+tan β. ∴1-tan α-tan β+tan αtan β=2, 即(1-tan α)(1-tan β)=2.

答案:2

数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

3 [典例] (2014·常州一模)已知α ,β均为锐角,且 sin α = , 5 1 tan(α -β)=- . β与α、(α-β)有什么关系 3 (1)求 sin(α -β)的值;(2)求 cos β的值.
确定α-β的范围,进而求sin(α-β).
π π π (1)∵α, β∈(0, ),从而- <α -β< . 2 2 2 1 又∵tan(α -β )=- <0 , 3 π 10 ∴- <α -β<0. ∴sin(α -β )=- . 2 10 [解]
数学

β=α-(α-β)

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

3 10 (2)由(1)可得,cos(α -β )= . 10 3 4 ∵α 为锐角,且 sin α= ,∴cos α = . 5 5 ∴cos β=cos[α -(α -β)] =cos αcos( α- β)+sin α sin(α -β ) 10 4 3 10 3 - 9 10 = × + × . 10 = 5 10 5 50

数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

在本例条件下,求sin(α-2β)的值.
10 3 10 解:∵sin(α-β)=- ,cos(α-β)= , 10 10 9 10 13 10 cos β= ,sin β= . 50 50 ∴ sin(α- 2β)=sin[(α-β)-β]=sin(α- β)cos β- 24 cos(α-β)sin β=- . 25

数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

[类题通法]
1.当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为两个 “已知角”的和或差的形式;

2 .当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与 “已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角” 变成“已知角”;
3.注意角变换技巧.

数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

[针对训练] ? ? 1 ? ? π π 2 ? ? 1.设 tan??α+β??= ,tan?β-4 ?= ,则 tan?α+4 ?= 5 ? ? 4 ? ?
13 A. 18 3 C. 22 13 B. 22 1 D. 6

(

)

? ? π? π? 解析:tan?α+4?=tan(α+β)-?β-4 ? ? ? ? ? ? π? tan?α+β?-tan?β- 4? 3 ? ? = = . ? π? 22 1+tan?α+β?tan?β- 4? ? ?

答案:C
数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

2. 设 α 为锐角, 若
解析:因为 α 所以 cos

? π? 4 cos?α+6 ?= , 则 5 ? ?

? π? sin?2α+12?的值为________. ? ?

? π? 4 为锐角,cos?α+6 ?= , ? ? 5 ? π? 24 2?α+6 ?= , ? ? 25

? π? 3 sin?α+6 ?= ,sin ? ? 5

? π? 7 2?α+6 ?= , ? ? 25 ? ? ? π? π ? π? ? sin?2α+12?=sin?2?α+ 6 ?-4 ? ? ? ? ? ? ? ?

所以

24 2 7 2 17 2 = × - × = . 25 2 25 2 50
数学

17 2 答案: 50
下一页 末页

首页

上一页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

[课堂练通考点]
?π ? 3 1.(2014· 青岛高三期末)已知sin?4 +x?= ,则sin ? ? 5

2x的值为 ( )

7 C.- 25 ? ? π? π ? ? ? 解析: sin 2x=sin?2 x+4?-2 ? ? ? ? ? ?

24 A.- 25

24 B. 25

7 D. 25

? ? ? ? π? ? π? ? 7 2 ? ? ? ? ? ? ? ? =-cos 2 x+4 =- 1-2sin x+4 =- . 25 ? ? ?? ? ? ??

答案:C
数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

? π? 2.已知cos?x-6 ?=- ? ?

? π? 3 ,则cos x+cos?x-3 ?的值是 3 ? ?

(

)

2 3 A.- 3 C.-1
解析: cos

2 3 B. ± 3 D.± 1
? π? x+cos?x-3 ?=cos ? ?

1 3 3 x+ cos x+ sin x= cos x+ 2 2 2

? 3 ? ? π? 3 1 ? ? sin x= 3? cos x+ sin x?= 3cos?x-6 ?=-1. 2 2 ? ? ? 2 ?

答案:C
数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

2sin -1 ?π? 2 3.若f(α)=2tan α- α α ,则f ?12?=________. ? ? sin cos 2 2
-cos α 2sin α 2cos α 4 解析:∵f(α)=2tan α- = + = , 1 cos α sin α sin 2α sin α 2
?π? ∴f?12?= ? ?



4

π sin 6

=8.

答案:8

数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

1 1 4.已知cos(α+β)= ,cos(α-β)= ,则tan αtan β的值为______. 6 3 1 解析:因为 cos(α+β)= , 6
1 所以 cos αcos β-sin αsin β= . 6 1 1 因为 cos(α-β)= ,所以 cos αcos β+sin αsin β= . 3 3 1 ①+②得 cos αcosβ= . 4 1 sin αsin β 1 ②-①得 sin αsin β= . 所以 tan αtan β= = . 12 cos αcos β 3
首页

① ②

1 答案: 3
数学

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

5.已知

?π ? α∈?2,π?,且 ? ?

α α 6 sin +cos = . 2 2 2

(1)求 cos α 的值;
?π ? 3 (2)若 sin(α-β)=- ,β∈?2,π?,求 cos β 的值. 5 ? ?

α α 6 解:(1)因为 sin +cos = , 2 2 2 1 两边同时平方,得 sin α= . 2 π 3 又 <α<π,所以 cos α=- . 2 2

数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

π π π (2)因为 <α<π, <β<π,所以-π<-β<- , 2 2 2 π π 3 4 故- <α-β< .又sin(α-β)=- ,得cos(α-β)= . 2 2 5 5 cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 3 4 1 ? 3? =- × + ×?-5? 2 5 2 ? ? 4 3+3 =- . 10

数学

首页

上一页

下一页

末页

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

结束

“课下提升考能”见“课 时跟踪检测(二十 二)”(进入电子文档)

数学

首页

上一页

下一页

末页

结束

谢谢观看

数学

首页

上一页

下一页

末页



更多相关文章:
两角和与差的正弦余弦和正切
www.xinghuo100.com 第5讲 [考纲] 两角和与差的正弦余弦和正切 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、...
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。两角和差的正弦余弦正切公式练习题一、选择题 1.给出如下四个命题 ①对于任意的实数α ...
两角和与差的正弦,余弦和正切公式练习题
两角和与差的正弦,余弦和正切公式练习题_高一数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 两角和与差的正弦,余弦和正切公式练习题_高一数学...
两角和差正弦余弦正切练习题标准题
让更多的孩子得到更好的教育 3.1 两角和与差的正弦余弦正切公式 1.sin 25 π 11π 11π 5π cos -cos sin 的值是( ) 6 12 6 12 2 2 A.- 答案...
两角和与差的正弦余弦正切公式教案
两角和与差的正弦余弦正切公式教案_学习总结_总结/汇报_实用文档。高一数学必修四第三章两角和与差的正弦余弦正切公式教案设计学科...
两角和与差的正弦余弦和正切公式及二倍角公式专题复习
两角和与差的正弦余弦和正切公式及二倍角公式专题复习_数学_高中教育_教育专区。两角和与差的正弦余弦和正切公式及二倍角公式专题复习一、知识要点: 1.两角...
两角和与差的正弦余弦和正切公式
两角和与差的正弦余弦和正切公式_数学_高中教育_教育专区。两角和与差的正弦余弦和正切公式 导学目标: 1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用...
两角和与差的正弦余弦正切公式》教学设计
来源教学反思网:http://www.fw77.com/fansi/shuxue/ 《两角和与差的正弦余弦正切公式》教学设计课题 《两角和与差的正弦余弦正切公式》 高一数学组 王...
两角和与差的正弦余弦正切公式-田应海
数学公开课教案贵州省余庆中学(省级二类示范高中)授课班级:高一(16)班授课人:田应海 课题:两角和与差的正弦余弦正切公式 时间:2014 年 3 月 20 日第 4 ...
两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
§3.1.2 两角和与差的正弦余弦正切公式(一)学习目标:⒈掌握两角和与差的正弦余弦正切公式及其推导过程.⒉能灵活应用公式进行简单三角函数式的化简. 教学...
更多相关标签:
两角和公式    辅助角公式    诱导公式    两角和与差的正弦公式    两角和与差    正弦定理    两角差的余弦公式    两角和与差的余弦    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图