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物理:2.1《怎样描述圆周运动》教案(沪科版必修2)



《怎样描述圆周运动》习题课教案
教学目标:1、圆周运动的临界问题 2、 “质点做匀速圆周运动”与“物体绕固定轴做匀速转动”的区别与联系 3、求解范围类极值问题,应注意分析两个极端状态,以确定变化范围 重 点: 圆周运动的临界问题 难 点:求解范围类极值问题,应注意分析两个极端状态,以确定变化范围
知识简析 一、圆周运动的临界问题 1.圆周运动中的临界问题的分析

方法 首先明确物理过程,对研究对象进行正确的受力分析,然后确定向心力,根据向心力公 式列出方程,由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系,从而分析找到临界值. 2.特例(1)如图所示,没有物体支撑的小球,在竖直平面 做圆周运动过最高点的情况: 注意:绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力 ①临界条件:绳子或轨道对小球没有力的作用:mg=mv2/R →v 临界= Rg (可理解为恰好转过或恰好转不过的速度) 注意:如果小球带电,且空间存在电、磁场时,临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力 的合力作为向心力,此时临界速度 V 临≠ Rg ②能过最高点的条件:v≥ Rg ,当 V> Rg 时,绳对球产生拉力,轨道对球产生压力. ③不能过最高点的条件:V<V 临界(实际上球还没到最高点时就脱离了轨道) (2)如图(a)的球过最高点时,轻质杆(管)对球产生的弹力情况: 注意:杆与绳不同,杆对球既能产生拉力,也能对球产生支持力. ①当 v=0 时,N=mg(N 为支持力) ②当 0<v< Rg 时, N 随 v 增大而减小,且 mg>N>0,N 为支持力. ③当 v= Rg 时,N=0 ① 当 v> Rg 时, 为拉力, 随 v 的增大而增大 N N (此时 N 为拉力,方向指向圆心) 注意:管壁支撑情况与杆子一样 若是图(b)的小球,此时将脱离轨道做平抛运动.因为轨道对小球不能产生拉力. 注意:如果小球带电,且空间存在电场或磁场时,临界条件应是小球所受重力、电场力 和洛仑兹力的合力等于向心力,此时临界速度 V0 ?

gR 。要具体问题具体分析,但分析

方法是相同的。 二.“质点做匀速圆周运动”与“物体绕固定轴做匀速转动”的区别与联系 (1)质点做匀速圆周运动是在外力作用下的运动, 所以质点在做变速运动, 处于非平衡状态。 (2) 物体绕固定轴做匀速转动是指物体处于力矩平衡的转动状态。 对于物体上不在转动轴上 的任意微小质量团(可说成质点) ,则均在做匀速圆周运动。

规律方法 1.圃周运动中临界问题分析,应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态,然 后分析该状态下物体的受力特点.结合圆周运动的知识,列出相应的动力学方程 / 【例 1】在图中,一粗糙水平圆盘可绕过中心轴 OO 旋转,现将轻质弹簧的一端固定在圆盘 中心,另一端系住一个质量为 m 的物块 A,设弹簧劲度系数为 k,弹簧原长为 L。将物 块置于离圆心 R 处,R>L,圆盘不动,物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动,并使 转速ω 逐渐增大,物块 A 相对圆盘始终未惰动。当ω 增大到 ? ?
5k ? R ? l ? 4mR

O R

时,物块 A O
/

是否受到圆盘的静摩擦力,如果受到静摩擦力,试确定其方向。 【解析]对物块 A,设其所受静摩擦力为零时的临界角度为ω0,此时向心力仅为弹簧弹 力;若ω>ω0,则需要较大的向心力,故需添加指向圆心的静摩擦力;若ω<ω0,则需要 较小的向心力,物体受到的静摩擦力必背离圆心。 依向心力公式有 mω0 R=k(R-L),所以 ? ?
2
0

k ?R ?l? mR

,故 ? ?

5k ? R ? l ? 4mR

时,得ω>ω0。

可见物块所受静摩擦力指向圆心。
【例 2】如图 16 所示,游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为 L,圆形轨道半径为 R, 远大于一节车 (R 厢的高度 h 和长度 l,但 L>2π R).已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不 能脱轨。试问:列车在水平轨道上应具有多大初速度 V0,才能使列车通过圆形轨道? 分析与解:列车开上圆轨道时速度开始减慢,当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时,列车速度达到最小 值 V,此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道,然后列车开始加速。由于轨道光滑,列车机械能 守恒,设单位长列车的质量为 m,则有:

1 1 mLV02 ? mLV 2 ? m.2? R.gR 2 2
要使列车能通过圆形轨道,则必有 V>0,解得 V0

R V0

? 2R

?g
L



【例 3】如图所示,细绳长为 L,一端固定在 O 点,另一端系一质量为 m、电荷量 为+q 的小球, 置于电场强度为 E 的匀强电场中, 欲使小球在竖直平面内做圆周运动, 小球至最高点时速度应该是多大? 解析:小球至最高点时能以 L 为半径做圆周运动,所需向心力最小时绳子无拉力, 则 Mg+Eq=mv0 /L,得 v0 ?
2

m,q L ·O

?mg ? Eq?L / m ,故小球在竖直平面内能够做圆周运 ?mg ? Eq?L / m
E

动时,小球至最高点的速度 v ?

拓展:该题中物理最高点与几何最高点是重合的,物理最高点是在竖直平面内做圆 周运动的物体在该点势能最大,动能最小,若把该题中的电场变为水平向右.如图,当金 属球在环内做圆周运动时,则物理最高点为 A 点,物理最低点为 B 点,而几何最高点为 C 点,几何最低点为 D 点(这种情况下,两个最高点已不再重合,两个最低点也不再重合) . A 处速度的最小值(临界速度)应满足: mv A / R ? F合 ?
2

?mg ?2 ? ?Eq ?2

思考:物体恰能到达几何最高点时,绳的拉力为多少? 【例 4】 一内壁光滑的环形细圆管, 位于竖直平面内, 环的半径为 R (比细管的半径大得多) , 圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点) 球的质量为 m1,B 球的质量为 。A m2。它们沿环形圆管顺时针运动,经过最低点时的速度都为 v0。设 A 球运动到最低点 时,球恰好运动到最高点,若要此时两球作用于圆管的合力为零,那么 m1,m2,R 与

v0 应满足怎样的关系式? 解析:首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图,如图所示。A 球在圆管最低点必受 向上弹力 N1,此时两球对圆管的合力为零,m2 必受圆管向下的弹力 N2,且 N1=N2。 据牛顿第二定律 A 球在圆管的最低点有 N1 ? m1 g ? m1
2 v0 ?? ① R

同理 m2 在最高点有 m2 g ? N 2 ? m2

v12 ?? ② R
1 1 2 m2 v12 ? m2 v0 ? ③又 N1=N2……④ 2 2

m2 球由最高点到最低点机械能守恒 m2 g 2 R ?

【小结】 比较复杂的物理过程,如能依照题意画出草图,确定好研究对象,逐一分析就会 变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。 【例 5】如图所示,赛车在水平赛道上作 900 转弯,其内、外车道转弯处的半径分别为 r1 和 r2,车与路面间的动摩擦因数和静摩擦因数都是μ .试问:竞赛中车手应选图中的内道转弯 还是外道转弯?在上述两条弯转路径中, 车手做正确选择较错误选择所赢得的时间是多少? 分析:赛车在平直道路上行驶时,其速度值为其所能达到的最大值,设为 vm。转弯时,车做 圆周运动,其向心力由地面的静摩擦力提供,则车速受到轨道半径和向心加速度的限制, 只能达到一定的大小.为此,车在进入弯道前必须有一段减速过程,以使其速度大小减小 到车在弯道上运行时所允许的速度的最大值,走完弯路后,又要加速直至达到 vm。车道的 选择,正是要根据内外道上的这些对应过程所历时间的比较来确定. 对于外车道,设其走弯路时所允许的最大车速为 v2 ,则应有 mv2 /r2=μmg 解得 v2= ? r2 g
2

如图所示,设车自 M 点开始减速,至 N 点其速度减为 v2,且刚 好由此点进入弯道,此减速过程中加速度的大小为 a=μmg/m=μg 此减速过程中行驶的路径长度(即 MN 的长度)为 x2=
2 2 vm ? v2 v2 r = m - 2 2a 2 ?g 2

车沿弯道到达 A 点后,由对称关系不难看出,它又要在一段长为 x2 的路程上加速,才能达 到速度 vm。上述过程所用的总时间为 t2=t 减速+t 圆弧+t 加速=
2v ?r r vm ? v2 v ?v ? + 2 + m 2 = m -(2- ) 2 ?g 2v 2 ?g 2 a a 2v m r ? -(2- ) 1 ?g ?g 2

同样的道理可以推得车走内车道所用的总时间为 t1=

另一方面,对内车道和外车道所历路程的直线部分进行比较,由图可见,车往内车道多 走了长度 ΔL= r2- rl 同时,在直线道上车用于加速和减速的行程中,车往内道也多走了长度 Δx=2x1-2x2= r2- rl 由于上述的ΔL 和Δx 刚好相等,可见车在直道上以 vm 匀速行驶的路程长度对于内外两道来

说是相等的.这样,为决定对内外道的选择,只需比较上述的 t1 和 t2 即可由于 t2<t1,显 然,车手应选择走外道,由此赢得的时间为

? r ? r1 Δt=t1 一 t2= (2 ? ) 2 2 ?g
2.求解范围类极值问题,应注意分析两个极端状态,以确定变化范围 【例 6】如图,直杆上 0102 两点间距为 L,细线 O1A 长为 3L ,O2A 长为 L,A 端小球质量为 m,要使两根细线均被拉直,杆应以多大的角速度ω 转动? 解析:当ω较小时线 O1A 拉直,O2A 松弛,而当ω太大时 O2A 拉直, O1A 将松弛. 0 设 O2A 刚好拉直,但 FO2A 仍为零时角速度为ω1,此时∠O2O1A =30 ,对小球: 0 在竖直方向 FO1A〃cos30 =mg……① 在水平方向:FO1A〃sin30 = m?
0
2 1

3L ? sin 30 ……②
0

由①②得 ? ? 2 g 3L
1

设 O1A 由拉紧转到刚被拉直,FO1A 变为零时角速度为ω2 0 对小球:FO2A〃cos60 =mg……③ 0 2 0 FO2A〃sin60 =mω2 L〃sin60 ………④ B O 【例 7】一根长约为 L 的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴在竖直平面 a 内转动,杆最初在水平位置。杆上距 O 为 a 处放有一个小物体 B(可视为 L 质点) 。杆与其上小物体最初均处于静止状态,若此杆突然以匀角速度ω 绕 O 轴转动,问当ω 取什么值时,小物体与杆可能相碰。 【解析】杆开始转动后,两物体的运动状态分别为:A 做匀速转动,B 做自由落 体运动。若 B 能与杆相碰,只可能在 B 下落的竖直线上,那么,杆转动的高度 范围就被确定了,即如图所示的转角范围。 我们分两种情况进行讨论: (1)当杆的转速ω较小时,物体 B 有可能追上细杆与细杆相碰。设物体 B 下落 到 C 作用的时间为 t1,杆转过Φ角所用时间为 t2,两物要能相碰,t1 和 t2 就满足下列条件: t1≤t2…① 又因为 LBC =?gt1 ,Φ=ωt2 ,由几何关系 LBC= L2 ? a 2 ,LcosΦ=a,所以 LBC =? gt1 = L2 ? a 2 解得 t1=
2 2

由③④得 ? ? 2g L ,故 2 g 3L ?? ? 2 g L
2

A ω

2 L2 ? a 2 g
1

由Φ=ωt2=arccosα/L 解得 t2=

?

arccos(a/L)
g arccos(a/L) 2

将 tl、t2 代入①式,得

1 2 L2 ? a 2 ≤ arccos(a/L)解得ω≤ ? g

/ 4 L2 ? a 2

(2)当杆的转速ω 较大时,杆转过一周后有可能追上 B 而与
/ /

物体 B 相碰,设杆转过中角所用的时间为 t2 ,杆要与 B 相碰,t2 和 tl 必须满足下列条

件:tl≥t2

/

由 2π+Φ=ωt2 ,所以 t2 =(2π+Φ)=(2π+arccos(a/L) )/ω代入得
g arccos(a/L)/ 4 L2 ? a 2 2

/

/

2 L2 ? a 2 ≥(2 g

π+arccos(a/L) )/ω,解得ω≥

由以上分析可知,当杆转动的角速度满足:ω≤

g arccos(a/L)/ 4 L2 ? a 2 或ω≥ 2

g arccos(a/L)/ 4 L2 ? a 2 时,物体 B 均有可能和细杆相碰。 2



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