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圆锥曲线测试题答案



一、选择题: 1. A 2.B 3 D 4 A 二、填空题: 13. 4 2 或 9 6 三、解答题:

5 D 6 A 7 D 8A 9 B 10 D 11 B 12 C

14.

4 3

15.

l2 4

16. ( , ?1)

>1 8

17.解:由题意可设抛物线方程为 y 2 ? ?2 px( p ? 0) 因为抛物线图像过点 (?

3 3 , 6 ) ,所以有 6 ? ?2 p ? (? ) ,解得 p ? 2 2 2

所以抛物线方程为 y 2 ? ?4x ,其准线方程为 x ? 1 所以双曲线的右焦点坐标为(1,0)即 c ? 1 又因为双曲线图像过点 (?

3 , 6) , 2

9 1 2 3 6 2 2 2 2 2 所以有 4 ? 2 ? 1 且 a ? b ? 1 ,解得 a ? , b ? 或 a ? 9, b ? ?8 (舍去) 2 4 4 a b
所以双曲线方程为

x2 y2 ? ?1 1 3 4 4

18. 解:直线 l 的方程为 bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1 =

b(a ? 1) a2 ? b2

.

同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d2 =

b(a ? 1) a2 ? b2

.s= d1 +d2=

ab a2 ? b2

=

2ab . c

由 s≥

4 2ab 4 c,得 ≥ c,即 5a c 2 ? a 2 ≥2c2.于是得 5 e 2 ? 1 ≥2e2.即 4e2-25e+25≤0. 5 5 c 5 2 ≤e ≤5. 4
由于 e>1>0,所以 e 的取值范围是

解得

5 ?e? 5 2

19.(1) 设 M 点的坐标为 ( x0 ,0) , 直线 l 方程为 x ? my ? x0 , 代入 y 2 ? x 得 ① y1 , y2 是此方程的两根, y 2 ? my ? x0 ? 0 ∴ x0 ? ? y1 y2 ? 1 ,即 M 点的坐标为(1, 0). (2 ) ∵ y1 y 2 ? ?1 ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ( y1 y2 ? 1) ? 0 ∴ OA ? OB . (3)由方程①, y1 ? y 2 ? m , y1 y 2 ? ?1 , 且 | OM |? x0 ? 1,
2 2

于是 S ?AOB ?

1 1 1 m 2 ? 4 ≥1, ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 = | OM || y1 ? y 2 |? 2 2 2 ∴ 当 m ? 0 时, ?AOB 的面积取最小值 1.

x2 2 20.(1)依题意可设椭圆方程为 2 ? y ? 1 ,则右焦点 F( a 2 ? 1,0 )由题设 a

a2 ?1 ? 2 2 2

?3

解得 a ? 3
2

故所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 3

? y ? kx ? m (2)设 P 为弦 MN 的中点,由 ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ?3

得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 6mkx? 3(m 2 ? 1) ? 0

由于直线与椭圆有两个交点,? ? ? 0, 即 m ? 3k ? 1
2 2

? xp ?

xM ? x N 3m k ?? 2 2 3k ? 1

从而 y p ? kx p ? m ?

m 3k 2 ? 1

? k Ap ?
?

yp ?1 xp

??

m ? 3k 2 ? 1 3mk

又 AM ? AN ,? AP ? MN ,则 把②代入①得 2m ? m 解得 0 ? m ? 2

m ? 3k 2 ? 1 1 ?? 3m k k
由②得

即 2m ? 3k ? 1
2

2

k2 ?

1 2m ? 1 ? 0 解得 m ? 2 3

.故所求 m 的取范围是( ,2 )

1 2

21.解: (1)直线 AB 方程为: bx ? ay ? ab ? 0 .

?c 6 , ? ? 3 ?a 依题意 ? 3 ? ab ? ? a2 ? b2 2 ?

解得

?a ? 3 , ∴ 椭圆方程为 ? b ?1 ?

x2 ? y2 ? 1 . 3

(2)假若存在这样的 k 值,由 ? ∴

? y ? kx ? 2,
2 2 ?x ? 3 y ? 3 ? 0

得 (1 ? 3k 2 ) x ? 12kx ? 9 ? 0 .
2

? ? (12k )2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0 .



12k ? x1 ? x2 ? ? , ? ? 1 ? 3k 2 设 C (x1 , y1 ) 、 D(x2 , y 2 ) ,则 ? ?x ? x ? 9 ? 1 2 1 ? 3k 2 ?
而 y1 ? y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 . 要使以 CD 为直径的圆过点 E(-1,0) ,当且仅当 CE⊥DE 时, 则



y1 ? y2 ? ?1 ,即 y1 y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 0 . x1 ? 1 x2 ? 1



(k 2 ? 1) x1 x2 ? 2(k ? 1)(x1 ? x2 ) ? 5 ? 0 .
7 7 .经验证, k ? ,使①成立. 6 6



将②式代入③整理解得 k ? 综上可知,存在 k ?

7 ,使得以 CD 为直径的圆过点 E. 6



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