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北京市西城区(北区)2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题



北京市西城区(北区)2012-2013 学年下学期高一期末考试 数学试卷
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟 一、本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求 的。 1. 在数列 ?a n ? 中, an ?1 ? an ? 2 ,且 a1 ? 1 ,则 a4 等于( (A)8 (B)6 (C)9 (D)7



2. 将一根长为 3m 的绳子在任意位置剪断,则剪得两段的长都不小于 1m 的概率是 ( ) (A)

1 4

(B)

1 3

(C)

1 2

(D) )

2 3

3. 在△ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? c 2 ,则△ABC 的形状是( (A)锐角三角形 (B)直角三角形

(C)钝角三角形 )

(D)不能确定

4. 若 a ? b ? 0 ,则下列不等式中成立的是( (A) a 3 ? b3 (B) a ? b (C)

1 1 ? a b

(D)

1 1 ? a b


? x ? y ? 1 ? 0, ? 5. 若实数 x,y 满足 ? x ? y ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最小值是( ? x ? 0, ?
(A) ?

1 2

(B)0

(C)1 )

(D)-1

6. 执行如图所示的程序框图,输出 s 的值为(

·1 ·

(A)2 (B) ? (C)3 (D)

1 2

2 3


7. 已知 100 件产品中有 5 件次品,从中任意取出 3 件产品,设 A 表示事件“3 件产品全不是次品”, B 表示事件“3 件产品全是次品”, C 表示事件“3 件产品中至少有 1 件次品”, 则下列结论正确的是 ( (A)B 与 C 互斥 (C)任意两个事件均互斥 (B)A 与 C 互斥 (D)任意两个事件均不互斥

8. 口袋中装有三个编号分别为 1,2,3 的小球,现从袋中随机取球,每次取一个球,确定编号后 放回,连续取球两次。则“两次取球中有 3 号球”的概率为( (A) ) (D)

5 9

(B)

4 9

(C)

2 5

1 2 OB 的最大值为( AB


9. 设 O 为坐标原点,点 A(4,3) ,B 是 x 正半轴上一点,则△OAB 中 (A)

4 3

(B)

5 3

(C)

5 4

(D)

4 5

10. 对于项数为 m 的数列 ?an ? 和 ?bn ? ,记 bk 为 a1 , a2 ? ak (k ? 1, 2, ?, m) 中的最小值。给出下列 判断: ①若数列 ?bn ? 的前 5 项是 5,5,3,3,1,则 a4 ? 3 ; ②若数列 ?bn ? 是递减数列,则数列 ?an ? 也一定是递减数列;

·2 ·

③数列 ?bn ? 可能是先减后增数列; ④若 bk ? am ? k ?1 ? C (k ? 1, 2,..., m) ,C 为常数,则 ai ? bi (i ? 1, 2,..., m) 。 其中,正确判断的序号是( ) (A)①③ (B)②④ (C)②③ (D)②

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在题中横线上。 11. 不等式 2 x 2 ? x ? 0 的解集为________________。 12. 在△ABC 中, b ? 2, c ? 3, A ? 150? ,则 a=___________。 13. 某校高一年级三个班共有学生 120 名,这三个班的男、女生人数如下表。 已知在全年级学生中随机抽取 1 人,抽到二班女生的概率是 0.2。则 x=_____;现用分层抽样的 方法在全年级抽取 30 名学生,则应在三班抽取的学生人数为____________。

一班 女生人数 男生人数 20 20

二班 x 20

三班 y z

14. 甲、 乙两人各参加了 5 次测试, 将他们在各次测试中的得分绘制成如图所示的茎叶图。 已知甲、 乙二人得分的平均数相等,则 m=________;乙得分的方差等于____。

15. 设 ?an ? 是等差数列,Sn 为其前 n 项的和。若 a5 ? ?3, S3 ? ?27 ,则 a1 ? _______; 当 Sn 取得最小值时,n=__________。 16. 当 x∈[1,9]时,不等式 x 2 ? 3 x ? x 2 ? 32 ? kx 恒成立,则 k 的取值范围是_________。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 13 分) 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 6, a2 ? a3 ? 12 。 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 设 ?bn ? 是等差数列, 且 b2 =a2, b4=a4。 求数列 ?bn ? 的公差, 并计算 b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? ... ? b100
·3 ·

的值。 18. (本小题满分 13 分) 某市某年一个月中 30 天对空气质量指数的监测数据如下: 61 88 82 76 67 82 70 64 56 79 81 57 86 91 91 85 55 77 75 91 86 71 75 81 49 81 83 45 101 103

(Ⅰ)完成下面的频率分布表; (Ⅱ)完成下面的频率分布直方图,并写出频率分布直方图中 a 的值; (Ⅲ)在本月空气质量指数大于等于 91 的这些天中随机选取两天,求这两天中至少有一天空气 质量指数在区间[101,111)内的概率。 分组 [41,51) [51,61) [61,71) [71,81) [81,91) [91,101) [101,111) 2 频数 2 3 4 6 频率

2 30 3 30 4 30 6 30

2 30

19. (本小题满分 13 分) 在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,已知 c=3, C ? (Ⅰ)若 sinB=2sinA,求 a,b 的值; (Ⅱ)求 a2+b2 的最大值。
·4 ·

?
3



20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (ax ? 1)( x ? 1) 。 (Ⅰ)当 a=1 时,求 f ( x) 在区间[-1,2]上的值域; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 ? ?1, ?? ? 上是减函数,求 a 的取值范围; (Ⅲ )解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 。 21. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,且 S n ? 2 ? ( ) n ?1 , n ? N * 。 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 bn ? (2n ? 15)an 。 (i)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn; (ii)求 bn 的最大值。 22. (本小题满分 13 分) 对于数列 A:a1,a2,a3(ai∈N,i=1,2,3) ,定义“T 变换”:T 将数列 A 变换成数列 B:b1, b2,b3,其中 bi ? ai ? ai ?1 (i ? 1, 2) ,且 b3 ? a3 ? a1 。这种“T 变换”记作 B=T(A) ,继续对数列 B 进行“T 变换”,得到数列 C:cl,c2,c3,依此类推,当得到的数列各项均为 0 时变换结束。 (Ⅰ )写出数列 A:2,6,4 经过 5 次“T 变换”后得到的数列; (Ⅱ )若 a1,a2,a3 不全相等,判断数列 A:a1,a2,a3 经过不断的“T 变换”是否会结束,并说明 理由; (Ⅲ )设数列 A:400,2,403 经过 k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小,求 k 的最小值。

1 2

·5 ·

【试题答案】
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。 1. D 2. B 3. C 4. C 5. A 6. D 7. B 8. A 9. B 10. B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分, 11. ? x | 0 ? x ? 14. 6,8.4

? ?

1? ? 2?

12.

13

13. 24 9 16.

15. -11,6

? ??,13?

注:一题两空的试题,第一空 2 分,第二空 3 分:

三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分, 17. 解: (Ⅰ )设等比数列 ?an ? 的公比为 q, 由已知, a1 ? a1q ? 6, a1q ? a1q 2 ? 12 两式相除,得 q=2。 所以 a1=2, 所以数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n 。 (Ⅱ )设等差数列 ?bn ? 的公差为 d, 则 b1 ? d ? 4, b1 ? 3d ? 16 ………………9 分 解得 b1 ? ?2, d ? 6 ………………11 分 …………2 分 …………4 分 …………6 分 …………7 分

b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? ... ? b100 ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ... ? (b99 ? b100 ) ………………12 分

? ?50d ? ?300 …………13 分
18. 解: (Ⅰ )如下图所示。 ……………………4 分 (Ⅱ )如下图所示。………………6 分 由己知,空气质量指数在区间[71,81)的频率为 分组 … [81,91) [91,101) 频数 … 10 3
·6 ·

6 ,所以 a= 0.02。……8 分 30
频率 …

10 30 3 30







(Ⅲ ) 设 A 表示事件“在本月空气质量指数大于等于 91 的这些天中随机选取两天, 这两天中至少 有一天空气质量指数在区间[101,111)内”, 由己知,质量指数在区间[91,101)内的有 3 天, 记这三天分别为 a,b,c, 质量指数在区间[101,111)内的有 2 天, 记这两天分别为 d,e, 则选取的所有可能结果为: (a,b) , (a,c) , (a,d) , (a,e) , (b,c) , (b,d) , (b,e) , (c,d) , (c,e) , (d,e) 。 基本事件数为 10。………………10 分 事件“至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内”的可能结果为: (a,d) , (a,e) , (b,d) , (b,e) , (c,d) , (c,e) , (d,e) 。 基本事件数为 7, 所以 P ( A) ? ………………12 分 ………………13 分

7 ? 0.7 10

19. 解: (Ⅰ )因为 sin B=2sinA,由正弦定理可得 b=2a,………………3 分 由余弦定理 c2= a2 +b2 -2abcosC, 得 9=a2 +4a2 -2a2, 解得 a =3, 所以 a ? 3, b ? 2a ? 2 3
2

………………5 分 ………………7 分 ………………8 分 ………………9 分

(Ⅱ )由余弦定理 c2= a2 +b2 -2abcosC,得 ab=a2+b2-9,………………10 分 又 a2 +b2≥2ab, 所以 a2+b2≤18,当且仅当 a=b 时,等号成立。 所以 a2+b2 的最大值为 18。 20. 解: (Ⅰ )当 a=l 时, f ( x) ? x ? 1 ,
2

………………11 分 ………………12 分 ………………13 分

·7 ·

函数 f ( x) 在区间 (??, 0] 上单调递减,在区间 ? 0, ?? ? 上单调递增 所以, f ( x) 在区间 ? ?1, 2? 上的最小值为 f (0) ? ?1 …………2 分 又 f (2) ? f ( ?1) 。 所以 f ( x) 在区间 ? ?1, 2? 上的最大值为 f (2) ? 3 …………………3 分

f ( x) 在区间 ? ?1, 2? 上的值域为 ? ?1,3? …………………4 分
(Ⅱ )当 a=0 时, f ( x) ? ? x ? 1 ,在区间 ? ?1, ?? ? 上是减函数,符合题意……5 分 当 a ? 0 时,若函数 f ( x) 在区间 ? ?1, ?? ? 上是减函数, 则 a ? 0 ,且

1 ? ?1 , a

……………………7 分 ……………………9 分

所以-1≤a<0, 所以 a 的取值范围是[-1,0]

(Ⅲ )由已知,解不等式 (ax ? 1)( x ? 1) ? 0 。 当 a=0 时,x>-1。 ……………………10 分

当 a>0 时, ( x ? )( x ? 1) ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 当 a<0 时, ( x ? )( x ? 1) ? 0 , 若

1 a

1 a

………………11 分

1 a

1 ? ?1 ,即 a ? ?1 时, x ? ?1 ; a 1 1 ? ?1 ,即 a ? ?1 时, x ? ?1 或 x ? a a 1 1 ? ?1 ,即 ?1 ? a ? 0 时, x ? 或 x ? ?1 a a

………………12 分 ………………13 分 ………………14 分





综上,当 a>0 时,不等式的解集为 ? x | ?1 ? x ? 当 a=0 时,不等式的解集为 ? x | x ? ?1? ; 当-1<a<0 时,不等式的解集为 ? x | x ?

? ?

1? ?; a?

? ?

1 ? 或x ? ?1? ; a ?

当 a =-1 时,不等式的解集为 ? x | x ? ?1?

·8 ·

当 a<-1 时,不等式的解集为 ? x | x ? ?1或x ?

? ?

1? ? a?

21. 解: (Ⅰ )由已知,当 n=1 时, a1 ? S1 ? 1 。………………1 分 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ………………2 分 ………………3 分 ………………4 分

1 1 1 ? 2 ? ( ) n ?1 ? [2 ? ( ) n ? 2 ] ? ( ) n ?1 2 2 2
综上, an ? ( ) n ?1 , n ? N * (Ⅱ ) (i) bn ? (2n ? 15)( ) n ?1. 所以 Tn ? ?13 ? (?11)

1 2

1 2

1 1 1 ? (?9)( ) 2 ? ... ? (2n ? 15)( ) n ?1 ………………5 分 2 2 2
……6 分

1 1 1 1 1 Tn ? (?13) ? (?11)( ) 2 ? ... ? (2n ? 17)( ) n ?1 ? (2n ? 15)( ) n 2 2 2 2 2
两式相减,得 Tn ? ?13 ? 2 ?

1 2

1 1 1 1 ? 2 ? ( ) 2 ? ... ? 2 ? ( ) n ?1 ? (2n ? 15)( ) n …8 分 2 2 2 2

1 1 1 1 ? ?13 ? 2[ ? ( ) 2 ? ... ? ( ) n ?1 ] ? (2n ? 15)( ) n 2 2 2 2
1 1 1 ? ?13 ? 2 ? ( ) n ? 2 ? (2n ? 15)( ) n ? (11 ? 2n)( ) n ? 11 2 2 2
所以 Tn ? (11 ? 2n)( ) n ?1 ? 22

1 2

………………10 分

(ii)因为 bn ?1 ? bn ? (2n ? 13)( ) n ? (2n ? 15)( ) n ?1 ? (17 ? 2n)( ) n ……11 分 令 bn ?1 ? bn ? 0 ,得 n ?

1 2

1 2

1 2

17 2

………………12 分 ………………13 分

所以 b1 ? b2 ? ... ? b9 ,且 b9 ? b10 ? ... ,即 b9 最大, 又 b9 ? 3a9 ? 3 ? ( )8 ? 所以, bn 的最大值为

1 2

3 。 256
………………14 分

3 256

22. 解: (Ⅰ )依题意,5 次变换后得到的数列依次为 4,2,2;2,0,2;2,2,0;0,2,2;2,0,2…………3 分
·9 ·

所以,数列 A:2,6,4 经过 5 次“T 变换”后得到的数列为 2,0,2,……4 分 (Ⅱ )数列 A 经过不断的“T 变换”不可能结束 设数列 D:d1,d2,d3,E:e1,e2,e3,F:O,0,0,且 T(D)=E,T(E)=F 依题意 e1 ? e2 ? 0, e2 ? e3 ? 0, e3 ? e1 ? 0 ,所以 e1 ? e2 ? e3 即非零常数列才能通过“T 变换”结束。…………① …………6 分 设 e1 ? e2 ? e3 ? e (e 为非零自然数) 。 为变换得到数列 E 的前两项,数列 D 只有四种可能

D : d1 , d1 ? e, d1 ? 2e; D : d1 , d1 ? e, d1 ; D : d1 , d1 ? e, d1 ; D : d1 , d1 ? e, d1 ? 2e;
而任何一种可能中,数列 E 的笫三项是 O 或 2e。 即不存在数列 D,使得其经过“T 变换”成为非零常数列。……② ……8 分 由① ② 得,数列 A 经过不断的“T 变换”不可能结束。 (Ⅲ )数列 A 经过一次“T 变换”后得到数列 B:398,401,3,其结构为 a,a+3,3。 数列 B 经过 6 次“T 变换”得到的数列分别为:3,a,a-3;a-3,3,a-6:a-6,a-9,3;3,a -12,a-9;a-15,3,a-12;a-18,a-15,3。 所以,经过 6 次“T 变换”后得到的数列也是形如“a,a+3,3”的数列,变化的是,除了 3 之外的 两项均减小 18。 ……10 分

因为 398 =18× 22+2,所以,数列 B 经过 6× 22 =132 次“T 变换”后得到的数列为 2,5,3。 接下来经过“T 变换”后得到的数列分别为:3,2,1;1,1,2;0,1,1;1,0,1;1,1,0;0, 1,1;1,0,1,……。 至此,数列和的最小值为 2,以后数列循环出现,数列各项和不会更小。……12 分 所以经过 1+132+3 =136 次“T 变换”得到的数列各项和达到最小, 即 k 的最小值为 136。 ………………13 分

·10·



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