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2015年北京市各区高三模拟数学试题(文科)分类汇编----函数与导数



2015 年北京高三模拟试题汇编----函数与导数
(3) (15 年海淀一模文)已知函数 f ( x ) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? e x ,则 f (?1) ? ( (A) )

1 e

(B) ?

1 e

(C) e (D) ?e )

3. (15 年西城一模文)关于函数 f ( x) ? log3 (? x) 和 g ( x) ? 3? x ,下列说法中正确的是(

(A)都是奇函数(B)都是偶函数(C)函数 f ( x) 的值域为 R (D)函数 g ( x) 的值域为 R (3) (15 年东城一模文)记函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,若 f ( x ) 对应的曲线在点

( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为 y ? ? x ? 1 ,则
(A) f ?( x0 )=2 (C) f ?( x0 ) ? 0 (B) f ?( x0 )=1 (D) f ?( x0 )= ?1
1

x ? log 1 2 , x3 ? (5) (15 年朝阳一模)已知 1 x2 ? 2 2 , x3 满足 ( ) ? log3 x3 ,则 3
A. x ? x ? x 1 2 3 B. x ? x ? x 1 3 2 C. x ? x ? x 2 1 3 D. x ? x ? x 3 1 2 y
f ( x)

1 3

6. (15年石景山一模文)函数 f ( x) ? ( x ? a )( x ? b) (其中 a ? b ) 的图象如右图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b 的大致图象是( y ) y y 1 y

-1 O

. . 1

x

. . O 1 x
1 A

. . O 1 x
1 B

. 1 . x O
C

. . O 1 x
1 D

2.(15 年丰台一模文)下列函数中,在区间 (0, ??) 上存在最小值的是 (A) y ? ( x ? 1)
2

(B) y ?

x

(C) y ? 2

x

(D) y ? log 2 x

6. (15 年房山一模文)在同一个坐标系中画出函数 y ? a x与y ? sin ax 的部分图象,其中

a ? 0且a ? 1 ,则下列所给图象中可能正确的是(



7. (15 年丰台一模文) 已知奇函数 y ? ?

? f ( x ), x ? 0, 如果 f ( x) ? a x g ( x ), x ? 0. ?

(a ? 0 且 a ? 1) 对应的图象如图所示,那么 g ( x ) ?

2.(15 年顺义一模文)下列函数中,既是奇函数又在区间 ? 0, ??? 上单调递减的是 A. y ? ? x2 ? 2 B. y ?

1 ?x 2 (C) 2 ? x
(A) ( )

1 2 (D) ?2 x
1 x

(B) ?( )

x

C. y ? 2? x

D. y ? ln x )

2. (15 年延庆一模文)下列函数中是奇函数,并且在定义域上是增函数的一个是(

y??
A.

1 x

B.

y ? ln x

C. y ? sin x

? x ? 1, x ? 0 y?? ? x ? 1, x ? 0 D.

? 1 x ? 0, ?x ? , x 13. (15 年西城一模文)设函数 f ( x) ? ? 则 f [ f (?1)] ? ____;函数 f ( x) 的 ?? x 2 ? 4 x, x ? 0. ?
极小值是____. 12.(15 年顺义一模文)已知函数 f ? x ? ? x ? 6x ? 9x ,则 f ? x ? 在闭区间 ? ?1,5? 上的最小
3 2

值为

,最大值为

.

(13) (15 年海淀一模文)设 f ( x) ? ?

? x, x ? a ,
2 ? x , x ? a.

对任意实数 b ,关于 x 的方程 f ( x) ? b ? 0

总有实数根,则 a 的取值范围是 . (13) (15 年东城一模)函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且满足 f ( x ? 2) ? f ( x) .当

x ?[0 ,1] 时, f ( x) ? 2 x .若在区间 [ ?2 ,3 ] 上方程 ax+2a ? f ( x) ? 0 恰有四个不相等的
实数根,则实数 a 的取值范围是________. (14) (15 年东城一模文) C 是曲线 y ? 1 ? x 2 (?1 ? x ? 0) 上一点, CD 垂直于 y 轴, D 是垂足,点 A 的坐标是 .设 ?CAO ? ? (其中 O 表示原点),将 AC ? CD 表示成关 (? 1, 0) 于 ? 的函数 f (? ) ,则 f (? ) = , f (? ) 的最大值为 .

(14)(15 年朝阳一模文)记 x ? x 为区间 [ x1 , x2 ] 的长度.已知函数 y ? 2 x , x ? ? ?2, a? 2 1 ( a ? 0 ),其值域为 ?m, n? ,则区间 ?m, n? 的长度的最小值是 .

14. (15 年石景山一模文)已知集合 M ? {( x, y )| y ? f ( x)} ,若对于任意 ( x1, y1 ) ? M ,存 在 ( x2 , y2 ) ? M ,使得 x1x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集” .给出下列四个 集合: ① M ? {( x, y )| y ? x 2 +1} ; ③ M ? {( x, y )| y ? 2 x ? 2} ; 其中是“垂直对点集”的序号是 ② M ? {( x, y)| y ? log2 x} ; ④ M ? {( x, y )| y ? sin x ? 1} . .

? 1 x ?( ) , x ? 0, 12. (15 年房山一模文)已知函数 f ( x) ? ? 2 则 f ( f (?1)) ? ____; ? ?1 ? 3x, x ? 0,
若 f (2a 2 ? 3) ? f (5a) ,则实数 a 的取值范围是_____.

(20) (15 年海淀一模文) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ?

1 (a ? 0) . x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若存在两条直线 y ? ax ? b1 , y ? ax ? b2 (b1 ? b2 ) 都是曲线 y ? f ( x) 的切线,求实 数 a 的取值范围; (Ⅲ)若 x f ( x ) ? 0 ? (0,1) ,求实数 a 的取值范围.

?

?

20. (15 年西城一模文) (本小题满分 13 分) 设 n ? N ,函数 f ( x) ?
*

ln x ex ,函数 , x ? (0, ??) . g ( x ) ? xn xn

(Ⅰ)判断函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上是否为单调函数,并说明理由; (Ⅱ)若当 n ? 1 时,对任意的 x1, x2 ? (0, ??) , 都有 f ( x1 )≤t≤g ( x2 ) 成立,求实数 t 的 取值范围; (Ⅲ)当 n ? 2 时,若存在直线 l: ,使得曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 分 y ? t( t ? R ) 别位于直线 l 的两侧,写出 n 的所有可能取值. (只需写出结论)

(18) (15 年东城一模文) (本小题共 14 分) 已知 x ? 1 是函数 f ( x ) ? 2 x ? (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调递减区间;

b ? ln x 的一个极值点. x

(Ⅲ)设函数 g ( x ) ? f ( x ) ?
切?请说明理由.

3 (2 , 5) ,试问过点 可作多少条直线与曲线 y ? g ( x ) 相 x

(20) (15 年朝阳一模文) (本小题满分 13 分) 已知函数

a ,a?R . f ( x) ? ( x ? )e x x

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? ?1 时,求证: f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数; (Ⅲ)若 f ( x) 在区间 (0,1) 上有且只有一个极值点,求 a 的取值范围.

20. (15 年石景山一模文)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x . 2

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在定义域内单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a ? ?

1 1 ,且关于 x 的方程 f ( x ) ? ? x ? b 在 [1 , 4] 上恰有两个不等的实根,求 2 2

实数 b 的取值范围; (Ⅲ)设各项为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? ln an ? an ? 2(n ? N *) , 求证: an ? 2 ? 1 .
n

20.(15 年丰台一模文) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ? a ln x ?

1 (a ? R ) . x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)如果函数 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 x 在 (0, ??) 上单调递减,求 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a ? 0 时,讨论函数 y ? f ( x) 零点的个数.

20.(15 年顺义一模文)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? a x ? ax ? ln x .
2 2

(I)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间;
2 2 (II)设 g ? x ? ? a x ? f ? x ? , 且函数 g ? x ? 在点 x ? 1 处的切线为 l ,直线 l ? / / l , 且 l ? 在 y 轴

上的截距为 1,求证:无论 a 取任何实数,函数 g ? x ? 的图像恒在直线 l ? 的下方; (III)已知点 A 1, g ?1? , Q x0 , g ? x0 ? ,且当 x0 ? 1 时,直线 QA 的斜率恒小于 2,求实数 a 的 取值范围.

?

? ?

?

20. (15 年延庆一模文) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x . (Ⅰ)求过点 (0,0) ,曲线 y ? f ( x ) 的切线方程; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? f ( x) ? e ,求证:函数 g ( x) 有且只有一个极值点;
x

(Ⅲ)若 f ( x ) ? a( x ? 1) 恒成立,求 a 的值.

15 年北京高三二模试题汇编 (7) (15 年海淀二模文)设 a ? 0.23 , b ? log2 0.3, c ? log0.3 2 ,则( (A) b ? a ? c (B) b ? c ? a (C) c ? b ? a ) (D) a ? b ? c

6.(15 年西城二模文) 某生产厂商更新设备,已知在未来 x 年内,此设备所花费的各种费 用总和 y(万元)与

x 满足函数关系 y ? 4 x2 ? 64 ,若欲使此设备的年平均花费最低,则此设备的使用年限 x
为( (A) 3 (C) 5 ) (B) 4 (D) 6

(5) (15 年东城二模文)设 a ? log0.8 0.9 , b ? log1.1 0.9 , c ? 1.10.9 ,则 a , b , c 的大小 关系是( ) (B) a ? c ? b (D) c ? a ? b
2

(A) a ? b ? c (C) b ? a ? c

ì ? 1- x , 6.(15 年朝阳二模文)函数 f ( x) = ? í ? ? ? lg x
A. 0 B.1
1

- 1? x , x ? 1,

1,

的零点个数是( D.3



C.2

3. (15 年昌平二模文)设 a ? 4 2 , b ? log 2 A. a ? c ? b B.
a?b?c

1 1 , c ? ( ) 2 ,则 a , b, c 的大小关系是( 4 3
C. b ? a ? c D. c ? a ? b



6. ( 15 年昌平二模文)水厂监控某一地区居民用水情况,该地区 A,B,C,D 四个小区在 8:00—12:00 时用水总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示,在这四个小区中,单位时间内用 水量逐步增加的是 Q Q2 Q Q2

Q1 O 8 A

Q1 O 8 B

12

T

12

T

Q Q2

Q Q2

Q1 O 8 C

Q1 12 T O 8 D

12

T

7.(15 年昌平二模文) 已知函数 y ? f ( x) ( x ?R)是偶函数,其部分图象如图所示, 若, 则在 (?2,0) 上与函数 f ( x ) 的单调性相同的是

y
A. y ? ? x ? 1
2

B.

y ? cos x

?e ? x , x ? 0 ? C. y ? ? x ? ?e , x ? 0

D.

y ? log2 x

1 O 2 x

(13) (15 年海淀二模文)函数 f ( x) ? x e 的极值点 x0 ?
3 x

,曲线 y ? f ( x) 在点

( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程是

.

(11) (15 年海淀二模文) 已知 f ( x) ? cos x ? ln x , f ( x0 ) ? f ( x1 ) ? 0( x0 ? x1 ) , 则 x0 ? x1 的最小值是 .

?1 x ? 1, ? , 11. (15 年西城二模文)设函数 f ( x) ? ? x 则 f [ f (2)] ? ____;函数 f ( x) 的值域 ? ?? x ? 2, x≤1.
是____. 10. (15 年丰台二模文)曲线 y ? x3 ? x 2 ? x ? 1 在点(0,1)处的切线方程是 .

14. (15 年西城二模)如图,正方形 ABCD 的边长为 2,O 为 AD 的中点,射线 OP 从 OA 出 发, 绕着点 O 顺时针方向旋转至 OD , 在旋转的过程中, 记 ?AOP 为 x( x ?[0, π]) ,OP 所 经过的在正方形 ABCD 内的区域(阴影部分)的面积 S ? f ( x) ,那么对于函数 f ( x) 有以 下三个结论: ① f (π) ? 3 ; 3 2
π ② 函数 f ( x) 在区间 ( , π ) 上为减函数; 2 π ③ 任意 x ? [0, ] ,都有 f ( x) ? f ( π ? x) ? 4 . 2

其中所有正确结论的序号是____.

(11) (15 年东城二模文)函数 y ? 2 x ?

2 ( x ? 0) 的最大值为 x

.

(13) (15 年东城二模文)设函数 f ( x) ? cos x , x ? (0 , 2?) 的两个的零点为 x1 , x2 ,且 方程 f ( x) ? m 有两个不同的实根 x3 , x4 .若把这四个数按从小到大排列构成等差数 列,则实数 m ? .

14. (15 年朝阳二模文)关于函数 f ( x ) ? ①函数 f ( x ) 的定义域为 R ; ②函数 f ( x ) 的值域为 (0, + ? ) ;

1 的性质,有如下四个命题: 4 ?2
x

③方程 f ( x) ? x 有且只有一个实根; ④函数 f ( x ) 的图象是中心对称图形. 其中正确命题的序号是 .

9. (15 年昌平二模文文)已知函数 f ( x) ? ?

?2 x , x ? 1 ? ? x, x ? 1

, 若 f ( x) ? 2 ,则 x ?



(19) (15 年海淀二模文) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x ? 2 ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若对任意的 x1 ?[1,e] ,总存在 x2 ? [1,e] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 ,求实数 a 值.

20. (15 年西城二模文) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 1? x 1 ? ax 2

,其中 a ? R .

(Ⅰ)当 a ? ? 时,求函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
4

(Ⅱ)当 a ? 0 时,证明:存在实数 m ? 0 ,使得对任意的 x ,都有 ?m ≤ f ( x) ≤ m 成立; (Ⅲ)当 a ? 2 时,是否存在实数 k ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? k ( x ? a) 仅有负实数解?当
1 a ? ? 时的情形又如何?(只需写出结论) 2

(20) (15 年东城二模文) (本小题共 14 分)
3 已知函数 f ( x) ? x ?

5 2 7 x ? ax ? b , g ( x) ? x3 ? x 2 ? ln x ? b , ( a , b 为常数) . 2 2

(Ⅰ)若 g ( x) 在 x ? 1 处的切线过点 (0 , ? 5) ,求 b 的值; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,若关于 x 的方程 f ( x) ? x ? xf ?( x) 有唯一解,求实 数 b 的取值范围; (Ⅲ)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若函数 F ( x) 存在极值,且所有极值之和大于 5 ? ln 2 ,求 实数 a 的取值范围.

20. (15 年朝阳二模文) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) = a sin x + cos x ,其中 a > 0 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,判断 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的单调性; (Ⅱ)当 0 < a < 1 时,若不等式 数 t 的取值范围.

π 4

π f ( x) < t 2 + at + 2 对于 x ? [0, ] 恒成立,求实 4 a +1
2

2a

19.(15 年丰台二模文) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x2e x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)证明: ?x1 , x2 ? (??,0] , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

4 ; e2

(Ⅲ)写出集合 {x ? R f ( x) ? b ? 0} (b 为常数且 b ? R )中元素的个数(只需写出 结论) .

20.(15 年昌平二模文) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? a( x ? 2)2 ? 2ln x . ( I ) 若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的单调区间; ( II ) 若 f ( x ) 在区间 [1, 4] 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (III) 已知函数 g ( x) ? f ( x) ? 4a ? 点均在不等式 ?

1 (a ? 0) ,当 x ?[2, ??) 时,函数 g ( x) 图象上的 4a

?x ? 2 所表示的平面区域内,求实数 a 的取值范围. ?y ? x



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