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第二章 第3节 初等函数



第二章

解析函数

§3 初等函数 Elementary Functions
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一、单值函数
1.指数函数
e z ? exp z ? e x (cos y ? i sin y)

性质:

/>x | exp z | ? e , 1)

Arg(exp z ) ? y ? 2k? ,

? ? ?

2)加法定理 exp z1 ? exp z2 ? exp(z1 ? z2 )

3)周期性
e
z ? 2 k? i

? e ?e
z

2 k? i

? e . (其中k为任何整数)
z
x

该性质是实变指数函数 e 所没有的.

4)解析性
z

在复平面解析

x x ? e cos y ? i e (e )' ? ? x ? sin y ? x

? e x (cos y ? i sin y ) ? e z

例1 设 z ? x ? iy, 求(1) e
(4)arg(e ?3?4i )

i ?2 z

; ( 2) e ; ( 3) Re(e );

z2

1 z



因为 e z ? e x ? iy ? e x (cos y ? i sin y )

所以其模 e z ? e x , 实部 Re(e z ) ? e x cos y.

(1) e i ?2 z ? e i ? 2( x ? iy )? e ?2 x ? i (1?2 y ) ,
e i ?2 z ? e ?2 x ;

z ?3 ? 4 i 设 z ? x ? iy , 求 (2) e ; (3) Re( e ); (4) arg ( e ) 例1

2

1 z



ez ? e x ,

Re(e z ) ? e x cos y .
( x ? iy )2
x2 ? y2

( 2) e

z2

?e

?e

x 2 ? y 2 ? 2 xyi

,

e

z2

?e

;
x ?y ? i x2 ? y2 x2 ? y2

( 3) e ? e
1 z

1 z

1 x ? yi

?e

,

Re(e ) ? e

x x2 ? y2

y cos 2 . 2 x ?y

(4)arg(e ?3?4i )

Arge ?3?4i ? ?4 ? 2k?, arg e ?3?4i ? ?4 ? 2?;

2.三角函数和双曲函数

1.)三角函数的定义
因为 e ? cos y ? i sin y,
iy

e

?iy

? cos y ? i sin y,

将两式相加与相减, 得
e ?e cos y ? 2
iy ? iy

,

e iy ? e ?iy sin y ? . 2i

Def
e iz ? e ? iz cos z ? , 2
e iz ? e ? iz sin z ? . 2i

性质:

e iz ? e ?iz 我们定义余弦函数为 cos z ? , 2 e iz ? e ? iz 正弦函数为 sin z ? . 2i

i)sin( ? z ) ? ? sin z , cos( ? z ) ? cos z . ii)周期性
sin( z ? 2?) ? sin z , cos( z ? 2?) ? cos z .

iii)解析性 在复平面内都是解析函数.
(sin z )? ? cos z , (cos z )? ? ? sin z .
iv)
?cos( z1 ? z2 ) ? cos z1 cos z2 ? sin z1 sin z2 , ? ?sin( z1 ? z2 ) ? sin z1 cos z2 ? cos z1 sin z 2 , ? 2 2 sin z ? cos z ? 1. ?
?cos( x ? yi ) ? cos x cos yi ? sin x sin yi , ? ?sin( x ? yi ) ? sin x cos yi ? cos x sin yi .

?e ?e ? (sin z ) ? ? ? 2i
iz

? iz

? ie iz ? ie ? iz ? ? 2i ?

'

当 z 为纯虚数 yi 时,
e? y ? e y ? chy , cos yi ? 2

e? y ? e y sin yi ? ? ishy . 2i
当 y ? ?时,

sin yi ? ?, cos yi ? ?.

即三角函数无界 (注意:这是与实变函数完全不同的)

其他复变数三角函数的定义

sin z 正切函数 tan z ? , 余切函数 cot z ? cos z , cos z sin z 1 正割函数 secz ? , cos z 1 余割函数 csc z ? . sin z

与 sin z 和 cos z 类似, 我们可以讨论它们的 周期性, 奇偶性, 解析性.

练习:找出下列方程的全部解
(1)sin z ? 0

提示:e iz ? e ? iz ? 0 ? e 2 iz ? 1 ? z ? k?
(2)cos z ? 0

提示: cos z ? sin( ? z )
2
(3)sin z ? cos z ? 0

?

sin z ? cos z ? 2 sin( ? z ) 提示: 4

?

练习:判断正确与否
(1)e ? e
z z

√ √ √

(2)cos z ? cos z

(3)sin z ? sin z

2)双曲函数的定义
e z ? e? z 我们定义双曲余弦函数为 ch z ? , 2 ez ? e? z 双曲正弦函数为 sh z ? , 2
ez ? e? z 双曲正切函数为 th z ? z . ?z e ?e

当 z 为实数 x 时, 它与高等数学中的双曲 函数 的定义完全一致 .

二、多值函数
1. 对数函数 方程z ? e w的解w, 记为w ? Lnz 设z=reiq, w=u+iv,则 reiq=eueiv 即 u=lnr=ln|z|, v=q+2k?=Argz Def w=Lnz=ln|z|+iArgz 无穷多个值 = ln|z|+iargz+2k?i 主值,记为lnz k为整数

如果将 Lnz ? ln z ? iArgz 中 Argz 取主值 arg z ,
那末 Lnz 为一单值函数, 记为 ln z, 称为 Lnz 的主值.

ln z ? ln z ? i arg z .
其余各值为 Lnz ? ln z ? 2k?i ( k ? ?1,?2,?),
对于每一个固定的k , 上式确定一个单值函数 , 称为 Lnz 的一个分支.

特殊地, 当 z ? x ? 0 时, Lnz 的主值 ln z ? ln x, 是实变数对数函数.

例4 求 Ln2, Ln(?1) 以及与它们相应的主值. 解
因为 Ln2 ? ln 2 ? 2k?i ,
所以 Ln2 的主值就是 ln2.

因为 Ln( ?1) ? ln 1 ? iArg( ?1) ? ( 2k ? 1)?i ( k为整数) 所以 Ln(?1) 的主值就是?i .
注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对 数函数是实变数对数函数的拓广.

例5

解方程 e z ? 2 ? 3i ? 0.
因为 e z ? ?2 ? 3i ,
所以 z ? Ln(?2 ? 3i )
? ln ? 2 ? 3i ? iArg(?2 ? 3i )



1 3 ? ? ? ln 13 ? i ? ? ? arctan ? 2k? ?. 2 2 ? ?
( k ? 0, ? 1, ? 2,?)

练习:证明下列式子成立
(1) Ln( z1 ? z2 ) ? Lnz1 ? Lnz2 ,
z1 ( 2) Ln ? Lnz1 ? Lnz2 , z2

提示:

Ln( z1 ? z2 ) ? ln|z1 z2 | ?iArg(z1 z2 ) ,

Lnz1 ? Lnz2 ? ln|z1 | ? iArgz1 ? ln | z2 | ? iArg(z2 ) ,
注:等号表示等式两端可能取的值全体相同

2. 性质
(1) Ln( z1 ? z2 ) ? Lnz1 ? Lnz2 ,
z1 ( 2) Ln ? Lnz1 ? Lnz2 , z2

注:等号表示等式两端可能取的值全体相同
( 3) 在除去负实轴 (包括原点)的复平面内 , 主值支 和其它各分支处处连续 , 处处可导, 且

1 1 ? ? (ln z ) ? , (Lnz ) ? . z z

练习:证明下列式子不成立
(1) Lnz 2 ? 2Lnz,

(2) Lnz1/2 ? 1 / 2Lnz.
2 2 2 Ln z ? ln| z | ? iArg( z ) 提示:

? 2ln|z | ? i[Arg(z )+Arg(z )] ? 2ln|z | ?i[arg(z )+2k1? +arg(z )+2k 2? ] ? 2ln|z | ? i[2arg(z )+2k? ]

2Lnz ? 2ln|z | ?2iArgz ? 2ln|z | ?2iargz ? i 4k?

思考:
(1) Ln( z1 ? z2 ) ? Lnz1 ? Lnz2 , (2) Lnz 2 ? 2Lnz,

由(1)当z1=z2=z时,则 2 Lnz ? Lnz ? Lnz
( 1) √

×

? 2Lnz

是否矛盾? 提示: 2Lnz ? 2ln|z | ?2iArgz1 ? 2ln|z | ?2iargz ? i 4k?
Lnz ? Lnz

? ln|z | ? ln | z | ? i (2k1? ? 2k2? )

注:等号表示等式两端可能取的值全体相同

思考: Lnz +Lnz ? 2Lnz,
lnz +lnz ? ? 2lnz .



2、乘幂与幂函数
设 a 为不等于零的一个复数 , b 为任意一个 复数, 乘幂 a 定义为 e
b bLna
b bLna 即 a ? e . ,

注:
(1)a ? e
b bLna

?e

Lnab

(2)由于 Lna ? ln a ? i (arg a ? 2k? ) 是多值 的, 因而 a 也可能是多值的.
b

(1) b ? Z,

a ?e
b

bLna

? exp?b[ln a ? i (arg a ? 2k? )]?

? exp ? ?b(ln a ? i arg a ) ? 2kb? i ? ?
a b具有单一的值.

?e

b ln a

,

特别地 b ? n ? N+
a
n

? e
lna

nlna

? exp ? lna ? lna ? ?? lna ? (指数 n 项)
lna lna

? e ? e ? ?? e ? a ? a ? ?? a.
与前面定义一致

(因子 n 个) (因子 n 个)

p ( 2) 当 b ? ( p与q为互质的整数, q ? 0)时, q ?p ? b a ? exp ? [ln a ? i (arg a ? 2k? )] ? ?q ?

?p ? p ? exp ? ln a ? i (arg a ? 2k? )? q ?q ?
? e
p ln a q

? p arg a ? 2kpπ p arg a ? 2kpπ ? ? i sin ?cos ? q q ? ?

a b具有 q 个值, 即取 k ? 0,1,2,?, (q ? 1)时相应的值.

p ( 2) 当 b ? ( p与q为互质的整数, q ? 0)时, q

a ? e
b

p ln a q

? p arg a ? 2kpπ p arg a ? 2kpπ ? ? i sin ?cos ? q q ? ?

a b具有 q 个值, 即取 k ? 0,1,2,?, (q ? 1)时相应的值.

1 特别地, b ? , n
1 n 1 Lna n

arga ? 2k? ? ? arga ? 2k? ?e cos ? i sin a ?e ? ? n n ? ? 1 arga ? 2k? ? n ? arga ? 2k? n ? a ?cos ? i sin ? a , ? n n ? ?
其中 k ? 0,1,2,?, ( n ? 1).

1 ln a n

例7 解

求 1 2 和 i i 的值.

1

2

?e

2Ln1

?e

2 k?i ? 2

? cos(2 2k?) ? i sin(2 2k?) 其中 k ? 0,?1,?2,?.

i ?e
i

iLni

?e

?? ? i ? i ? 2 k?i ? ?2 ?

?e

?? ? ?? ? 2 k? ? ?2 ?

其中 k ? 0,?1,?2,?.

i 求 (1 ? i ) 的辐角的主值 . 例8



(1 ? i ) ? e
i

iLn(1? i )

?e

i [ ln 1? i ? iArg (1? i )]

?e

?1 ?? ?? i ? ln 2?? i ? 2 k?i ? ? ?4 ?? ?2
?? ? ?? ? 2 k? ? ?4 ?

?e

?? ? 1 ?? ? 2 k? ? ? i ln 2 ?4 ? 2

?e

? ?1 ? ?1 ?? ? ?cos? ln 2 ? ? i sin? ln 2 ? ? ? ?2 ?? ? ?2

其中 k ? 0,?1,?2,?. 1 i 故 (1 ? i ) 的辐角的主值为 ln2. 2

解析性

(1) 幂函数 z n 在复平面内是单值解析 的,

( z n )? ? nz n?1 .
( 2) 幂函数 z 是多值函数, 具有n个分支.
1 n

它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面 内是解析的, ? 1 ? 1 1 Ln z ?1 ? n? ? ? ? 1 n ? z ? ? ? z ? ? ? en ? ? zn . ? ? ? ? n ? ? ? ?

1 (3) 幂函数 w ? z ( 除去 b ? n 与 两种情况外) n 也是一个多值函数 ,
b

当 b 为无理数或负数时 , 是无穷多值的 .

它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面 内是解析的,

( z b )? ? bz b?1 .

3、反三角函数和反双曲函数
设 z ? cos w , 那么称 w 为 z 的反余弦函数 , 记作 w ? Arc cos z .

e iw ? e ?iw 由 z ? cos w ? , 得 e 2iw ? 2ze iw ? 1 ? 0, 2

方程的根为e iw ? z ? z 2 ? 1, 两端取对数得

Arc cos z ? ? iLn( z ? z 2 ? 1).

同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式:

Arcsin z ? ? iLn( iz ? 1 ? z 2 ),
i 1 ? iz Arctanz ? ? Ln . 2 1 ? iz
2. 反双曲函数的定义

反双曲正弦 Ar sh z ? Ln(z ? z ? 1),
2

反双曲余弦 Ar ch z ? Ln(z ? z 2 ? 1),
1 1? z 反双曲正切 Ar th z ? Ln . 2 1? z

六、小结与思考
复变初等函数是一元实变初等函数在复数 范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基 本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 指数函数具有周期性 ( 周期为 2πi ) 2. 负数无对数的结论不再成立 3. 三角正弦与余弦不再具有有界性 4. 双曲正弦与余弦都是周期函数

课堂练习
2 2 2 f ( z ) ? ( x ? y ? x ) ? i ( 2 xy ? y ) 在何处 1. 函数 可导,何处解析. 3 2 3 2 ay ? bx y ? i ( x ? cxy ) 为解析函数,求 2. 设 a, b, c 的值.

3.

1? i ( 1 ? i ) 试求 函数值及其主值:

4. 函数 w ? 1 z 将 z 平面上的下列曲线变成 w平 面上的什么曲线? (1) x 2 ? y 2 ? 9, (2) x ? 2. 5. 满足下列条件的点组成何种图形?是不是区 域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.

(1) z ? 2 ? z ? 2 ? 6
? 2? (2) ? arg z ? , 且2 ? z ? 3 3 3

第三节作业:

P68

15

18



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