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第3讲导数与函数的单调性、极值与最值的基本问题



专题一 函数与导数、不等式

第 3讲

导数与函数的单调性、极值与 最值的基本问题

考纲解读

理解考纲 明确要求

高考定位 1.主要考查导数的几何意义、导数的四则运算 及利用导数求函数的单调区间及求解极值与 最值,多与含参不等式相结合. 2.由含参函数的单调性、极值、最值

求参数的取 值范围是近几年高考命题的重点,试题难度 较大.

讲 课 人 : 邢 启 强

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要点梳理

基本初等函数的导数公式 原函数

知识回顾 理清教材
导函数

f(x)=c f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=ax (a>0且a≠1) f(x)=ex f(x)=logax(a>0且a≠1)
讲 课 人 : 邢 启 强

f′(x)= 0 f′(x)= nxn-1 f′(x)= cosx f′(x)= -sinx xlna a f′(x)= f′(x)= ex
f′(x)= f′(x)=
1 x
3

f(x)=lnx

要点梳理

导数的运算法则:

知识回顾 理清教材

法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的 导数的和(差),即: f ( x) ? g ( x) ? ? f ?( x) ? g ?( x)

?

?

法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 , 即: ? f ( x) ? g ( x)?? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) 推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数, 即: [Cf ( x)]? ? Cf ?( x).

讲 课 人 : 邢 启 强

法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即: ? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?

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要点梳理

复合函数的导数

知识回顾 理清教材

一般地, 对于两个函数y ? f ?u ?和u ? g ? x ?, 如果通过变量u , y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数 y ? f ?u ?和
?

u ? g ? x ?的 复合函数(com posite fun ction), 记作y ? f ?g ?x ??.

复合函数y ? f ?g ?x ??的导数和函数 y ? f ?u ?, u ? g ?x ?的
' ' ' 导数间的关系为 yx ? yu ? ux .

y 表示y对x的导数
即y对x的导数等于 y对u的导数与u对x的导数的乘积 .

' x

y 复合函数求导步骤:分解—求导—回代.法则:
讲 课 人 : 邢 启 强

' x

? y ?u
' u

' x
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要点梳理

知识回顾 理清教材

讲 课 人 : 邢 启 强

1.导数的几何意义 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0)就是曲线 y=f(x)在点(x0, f(x0)) 处的切线的斜率,即 k=f′(x0). (2)曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). (3)导数的物理意义:s′(t)=v(t),v′(t)=a(t). 2.函数的单调性与导数 如果已知函数在某个区间上单调递增(减), 则这个函数的导数在 这个区间上大(小)于零恒成立. 在区间上离散点处导数等于零, 不影 响函数的单调性,如函数 y=x+sinx. 3.函数的导数与极值 对可导函数而言,某点导数等于零是函数在该点取得极值的必 要条件,但对不可导的函数,可能在极值点处函数的导数不存在 (如 函数 y=|x|在 x=0 处),因此对于一般函数而言,导数等于零既不是 函数取得极值的充分条件也不是必要条件.
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要点梳理

知识回顾 理清教材

4.定积分的求法及几何性质 (1)定积分的求法 ①定义法:分割—近似代替—作和—取极限; ②利用微积分基本定理: 先求被积函数 f(x)的原函数 F(x), 即 F′(x)=f(x), 再计算 F(b) -F(a),即为所求. (2)求定积分的一些技巧 ①对被积函数要先化简,再求定积分; ②求被积函数是分段函数的定积分,依据定积分的性质,分段 求定积分,再求和;
③对含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能求定积分. (3)定积分的几何性质 如果在区间[a,b]上的函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0,那么定积分?b a f(x)dx 表示由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的 曲边梯形的面积.
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讲 课 人 : 邢 启 强

题型一

利用导数讨论含参函数的单调性

1-a 【例 1】 已知函数 f(x)=ln x-ax+ x -1,a∈R. (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的单调区间; 1 (2)当 0≤a<2时,讨论 f(x)的单调性.

2 解 (1)当 a=-1 时,f(x)=ln x+x+x -1,x∈(0,+∞), ?x-1??x+2? 所以 f′(x)= ,x∈(0,+∞). x2 由 f′(x)=0,得 x=1 或 x=-2(舍去), 所以当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 故当 a=-1 时,函数 f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单 调递减区间为(0,1).
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讲 课 人 : 邢 启 强

②当 0<a<2时,由 f′(x)=0,即 ax2-x+1-a=0,解得 x=1 或a-1.此时a- 1>1>0,所以当 x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; ? ? 1 x∈?1,a-1?时,g(x)<0,此时 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; ? ? ?1 ? ? x∈ a-1,+∞?时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减. ? ? 综上所述,当 a=0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增; ? ? 1 1 ? 当 0<a< 2 时 , 函数 f(x) 在 (0,1) 上单调递减 , 在 1,a-1? 上单调递增 , 在 ? ? ?1 ? ? -1,+∞?上单调递减. 9 ?a ?

1-a (2)因为 f(x)=ln x-ax+ x -1, a-1 ax2-x+1-a 1 所以 f′(x)= x-a+ x2 =- ,x∈(0,+∞). x2 令 g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞). ①当 a=0 时,g(x)=-x+1,x∈(0,+∞), 当 x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(1,+∞ )时,g(x)<0,此时 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 1 1 1

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1 3 2 (2011· 江西)设 f(x)= x +mx +nx. 3 (1)如果 g(x)=f′(x)-2x-3 在 x=-2 处取 得最小值-5,求 f(x)的解析式; (2)如果 m+n<10 (m,n∈N ),f(x)的单调递 减区间的长度是正整数,试求 m 和 n 的 值.(注:区间(a,b)的长度为 b-a)
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*

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(1) 由题意得 g(x)=x2+2( m-1) x+(n-3) =(x+m-1) 2+(n-3) -

(m - 1) 2 , 已 知 g(x) 在 x = - 2 处 取 得 最 小 值 - 5 , 所 以 ? ? ?m-1=2, ?m=3, ? 解得 ? 2 ? ? ?(n-3)-(m-1) =- 5, ?n=2. 1 3 故所要求的解析式为 f(x)= x +3x2+2x. 3 (2) 因为 f′(x)=x2+2mx+n,且 f(x)的单调递减区间的长度为正整数, 故 f′(x)=0 一定有两个不同的根,从而 Δ=4m2-4n>0 ,即 m2>n. 不妨设这两个不同的根为 x1,x2,则|x2-x1|=2 m2-n为正整数. 故 m≥2 时才可能有符合条件的 m,n.

当 m=2 时,只有 n=3 符合要求. 当 m=3 时,只有 n=5 符合要求.
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当 m≥4 时,没有符合要求的 n. 综上所述,只有 m=2,n=3 或 m=3,n=5 满足上述要求.
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巧练细解

课堂突破保分题,分分必保!

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归纳与提升

方法引领

误区防范

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