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2014年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷(数学)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ









考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) 。本卷满分为 160 分。考试 时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置 参考公式: 作答一律无效。 圆柱的侧面积公式: ? cl ,其中 c 是圆柱底面的周长, l 为母线长. 圆柱侧 5.如需作图,须用S2 B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 圆柱的体积公式: V圆柱 ? Sh , 其中 S 是圆柱的底面积, h 为高.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........

1.

已知集合 A={ ?2,?1,3,4 }, B ? {?1,2,3} ,则 A ? B ?

▲ .

开始
n?0

2.

已知复数 z ? (5 ? 2i) (i 为虚数单位),则 z 的实部为 ▲ .
n ? n ?1

2

3.

右图是一个算法流程图,则输出的 n 的值是 ▲ .

2 n ? 20

N

Y 输出 n 4. 从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 ▲ . 结束 5. 已知函数 y ? cos x 与 y ? sin(2 x ? ? ) (0≤ ? ? ? ),它们的图象有一个横坐标为 点,则 ? 的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间 [80,130] 上 , 其频率分布直方图如图所示 ,则在抽测的 60 株树木中,有 于 100cm.
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?
3

(第 3 题) 的交

频率 组距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 第 1 页 共 1 页



株树木的底部周长小

80

90 100 110 120 130 底部周长/cm

(第 6 题)

7.

在各项均为正数的等比数列 {a n } 中, a 2 ? 1, a8 ? a 6 ? 2a 4 ,则 a6 的值是 ▲ .

8.

设甲、乙两个圆柱的底面分别为 S1 , S 2 ,体积分别为 V1 , V2 ,若它们的侧面积相等,且
V1 的值是 V2

S1 9 ? ,则 S2 4

▲ .

9.

在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 被圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 截得的弦长为 ▲

.

10. 已 知 函 数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1, 若 对 于 任 意 x ? [m, m ? 1] , 都 有 f ( x) ? 0 成 立 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 ▲ .

11. 在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y ? ax 2 ?

b (a,b 为常数)过点 P ( 2,?5) ,且该曲线在点 P 处的切线 x

与直线 7 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则 a ? b 的值是 ▲ .

12. 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 已知 AB ? 8 ,AD ? 5 ,
CP ? 3PD , AP ? BP ? 2 ,则 AB ? AD 的值是 ▲

D

P

C

. A (第 12 题) B

13. 已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x ? [0,3) 时, f ( x) ?| x 2 ? 2x ? 围是 ▲ .

1 | .若函数 y ? f ( x) ? a 在区间 [ ?3,4] 上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范 2

14. 若△ ABC 的内角满足 sin A ? 2 sin B ? 2 sin C ,则 cos C 的最小值是 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或 ....... 演算步骤. 15.(本小题满分 14 分)

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第 2 页 共 2 页

5 ? 已知 ? ? ( , ? ) , sin ? ? . 5 2

(1)求 sin( ? ? ) 的值; 4 (2)求 cos(

?

5? ? 2? ) 的值. 6

16.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, D ,E,F 分别为棱 PC, AC, AB 的中点.已知 PA ? AC , PA ? 6,
BC ? 8, DF ? 5.

P

求证: (1)直线 PA // 平面 DEF ; (2)平面 BDE ? 平面 ABC .
D

A F

E B (第 16题)

C

17.(本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, F1 , F2 分别是椭圆
x2 a2 ? y3 b2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,顶点 B 的坐标

为 (0, b) , 连结 BF2 并延长交椭圆于点 A, 过点 A 作 x 轴 椭圆于另一点 C,连结 F1C .

y B C

的垂线交

4 1 (1)若点 C 的坐标为 ( , ) ,且 BF2 ? 2 ,求椭圆的方程; 3 3
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F1 O

F2 A

x

第 3 页 共 3 页

(第 17 题)

(2)若 F1C ? AB, 求椭圆离心率 e 的值.

18.(本小题满分 16 分) 如图,为了保护河上古桥 OA ,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆.且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点 的距离均不少于 80m. 经测量,点 A 位于点 O 正北方向 60m 处, 点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸), tan ?BCO ? (1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大? 北 B A 60 m M O 170 m C 东

4 . 3

(第 18 题)

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第 4 页 共 4 页

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? e ? x ,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明: f ( x) 是 R 上的偶函数; (2)若关于 x 的不等式 mf ( x ) ≤ e ? x ? m ? 1 在 (0,??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围;
3 (3)已知正数 a 满足:存在 x0 ? [1,??) ,使得 f ( x0 ) ? a(? x0 ? 3x0 ) 成立.试比较 e a ?1 与 a e ?1 的大小,并证

明你的结论.

20.(本小题满分 16 分) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n .若对任意正整数 n ,总存在正整数 m ,使得 S n ? a m ,则称 {a n } 是“H 数 列”. (1)若数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? 2 n ( n ? N ? ),证明: {a n } 是“H 数列”; (2)设 {a n } 是等差数列,其首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 .若 {a n } 是“H 数列”,求 d 的值; (3)证明:对任意的等差数列 {a n } ,总存在两个“H 数列” {bn } 和 {c n } ,使得 a n ? bn ? c n ( n ? N ? )成立.

数学Ⅱ(附加题) 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做, 则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4-1:几何证明选讲](本小题满分 10 分)
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如图,AB 是圆 O 的直径,C,D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点. 证明: ? OCB= ? D. B.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 已知矩阵 A ? ? 若 Aa =Ba, 求 x+y 的值. C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)

??1 ?1

2? ?1 ,B ? ? ? x? ?2

1? ?2 ? ,向量 a ? ? ? ,x,y 为实数. ? -1? ? y?

? ?x ? 1 ? ? 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 2 ? ? ?

2 t 2 ( t 为参数) ,直线 l 与抛物线 2 t 2

y 2 ? 4x 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知 x>0,y>0,证明: (1 ? x ? y 2 )(1 ? x2 ? y) ? 9 xy . 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球、3 个黄球和 2 个绿球,这些球除颜色外完全相同. (l)从盒中一次随机取出 2 个球,求取出的 2 个球颜色相同的概率 P; (2)从盒中一次随机取出 4 个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 x1, x2 , x3 ,随机 变量 X 表示 x1, x2 , x3 中的最大数,求 X 的概率分布和数学期望 E(X). 23. (本小题满分 10 分) 已知函数 f 0 ( x) ? (1)求 2 f1 ?

sin x ( x ? 0) ,设 f n ( x) 为 f n ?1 ( x) 的导数, n ? N ? . x

?? ? ? ?? ? ? ? f 2 ? ? 的值; ?2? 2 ?2?
?

(2)证明:对任意的 n ? N ,等式 nf n ?1 ?

2 ?? ? ? ?? ? 都成立. ? ? fn ? ? ? 2 ?4? 4 ?4?

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