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2015全国高中数学联赛安徽预赛试题及答案



2015 年全国高中数学联赛安徽省初赛试题
(考试时间:2015 年 7 月 4 日上午 9:00-11:30) 一.填空题(每题 8 分,共 64 分) 1.已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 3| ?e? x , x ? R ,那么这个函数的最小值是 2.一个数列 {xn } ,满足 x1 ? 1, xn ? . 。

x

n ?1 ? 1 , n ? 2 ,那么这个数列 {xn } 的通项公式是 2 xn ?1 ? 4

3.已知向量 ? , ? ,1 ?| ? |,| ? |,| ? ? ? |? 3 ,则 ? ? 的范围是



4.函数 f ( x) 是定义域为 R,周期为 2? 的奇函数,有 f(3)=f(4)=0,则该函数在[0,10]上的零 点个数至少是 5.已知 a ? R,(a ? cos x)(a ? sin x) ? 1 有实根,那么 a 的范围是 。

6.在平面直角坐标系中有一点 P(0,1) ,Q 点满足 PQ 的中垂线与函数 y ? x 2 相切,那么 Q 点 的轨迹方程是 。

z ?i 的实部都大于等于 0,那么在复平面内满足条件的 1? z (x,y)构成的图形面积为 。 8.对任意的正整数 n,从男女乒乓球选手中各选配男双、女双、混双各 n 对,且每位选手不 兼项,那么各种配对的方法总数为 。 二.解答题(第 9、10 题每题 21 分,第 11、12 题每题 22 分,共 86 分)
7.已知复数 z ? x ? yi , z 的虚部和 9.已知 a, b ? R? , a ? b ? 1, 求证 a 2 ?
1 1 ? b2 ? ? 3 。 a b

10.如图,AD、BE、CF 都垂直于平面 ABC,AD=a, BE=b, CF=c, AB=AC=BC=1,求四面体 ABCE 和四面体 BDEF 的公共部分体积(用 a, b, c 表示) D A

C B F

E

11.平面四边形 ABCD 四边长分别为四个连续整数,求证:ABCD 面积的最大值不是整数。 12.已知 31 位学生参加一次考试,共 10 题,每人至少做出 6 道题,证明:存在两名学生, 做出的题目中至少有 5 题相同。



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