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潍坊一中学案4.5学案 两角和与差的正弦、余弦、正切



学案 21

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1.(1)两角和与差的余弦:cos(α+β)=__________________,cos(α-β)=_________________.(2)两角和与差的正 弦 sin(α + β) = __________________ , sin(α - β) = _________________

.(3) 两 角 和 与 差 的 正 切 tan(α + β) = _________________,tan(α-β)=__________________.其变形为:tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),tan α- tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).2.辅助角公式 asin α+bcos α= a2+b2sin(α+φ), 自我练习 1 3 2 3 1.计算 sin 43° 13° cos -cos 43° 13° sin 的结果等于 ( )A. B. . D. 2 3 2 2 π 7π 4 3 2 3 2 3 4 4 2.已知 cos?α-6?+sin α= ,则 sin?α+ 6 ?的值是( )A.- B. C.- D. ? ? ? ? 5 5 5 5 5 π 3.函数 f(x)=sin 2x-cos 2x 的最小正周期是 ( )A. B.πC.2π D.4π 2 例题 探究点一 给角求值问题(三角函数式的化简、求值) 例 1 求值:(1)[2sin 50° +sin 10° (1+ 3tan 10° 2sin280° )] ;(2)sin(θ+75° )+cos(θ+45° )- 3· cos(θ+15° ). 2cos 10° -sin 20° π π π π 变式迁移 1 求值:(1) ;(2)tan( -θ)+tan( +θ)+ 3tan( -θ)tan( +θ). sin 70° 6 6 6 6 探究点二 给值求值问题(已知某角的三角函数值,求另一角的三角函数值) π 3π π 3π 3 5 例 2 已知 0<β< <α< ,cos?4-α?= ,sin? 4 +β?= ,求 sin(α+β)的值. ? ? 5 ? ? 13 4 4 β α π 1 2 (1)已知 0<β< <α<π,且 cos?α-2?=- ,sin?2-β?= ,求 cos(α+β)的值; ? ? ? ? 3 2 9 1 1 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)= ,tan β=- ,求 2α-β 的值. 2 7 1 13 π (3)已知 cos α= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< ,求 β. 7 14 2 π sin?α+β?-2sin αcos β 1 变式迁移 2 (2011· 广州模拟)已知 tan?4+α?=2,tan β= .(1)求 tan α 的值;(2)求 的值. ? ? 2 2sin αsin β+cos?α+β? 探究点三 给值求角问题(已知某角的三角函数值,求另一角的值) π α 1 2 例 3 已知 0<α< <β<π,tan = ,cos(β-α)= .(1)求 sin α 的值; (2)求 β 的值. 2 2 2 10 5 10 变式迁移 3 (2011· 岳阳模拟)若 sin A= ,sin B= ,且 A、B 均为钝角,求 A+B 的值. 5 10 2 5 π π 例 (12 分)已知向量 a=(cos α, α), sin b=(cos β, β), sin |a-b|= .(1)求 cos(α-β)的值; (2)若- <β<0<α< , 5 2 2 5 且 sin β=- ,求 sin α 的值. 13 探究点四 综合应用 题型三 三角变换的简单应用: 例 4 1 π π 已知 f(x)=?1+tan x?sin2x-2sin?x+4?· ?x-4?.(1)若 tan α=2,求 f(α)的 ? ? ? ? sin? ?

π π 值;(2)若 x∈?12,2?,求 f(x)的取值范围. ? ? π π 1.已知函数 f(x)= 3sin?2x-6?+2sin2?x-12? (x∈R).(1)求函数 f(x)的最小正周期;(2)求使函数 f(x)取得最 ? ? ? ? 大值时 x 的集合. π π π 2:已知函数 f(x)=4cos x· ?x+6?-1.(1)求 f(x)的最小正周期;(2)求 f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. sin? ? ? ?

1 练习 1.若 tan θ+ =4,则 sin 2θ 等于 ( tan θ 2.已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= 3. 已知 α,β 都是锐角,若 sin α=

1 )A. 5

1 B. 4 )A.-

1 C. 3 5 5 B.- 3 9 C.

1 D. 2 5 9 D. 5 3

3 ,则 cos 2α 等于 ( 3

5 10 ,sin β= , 则 α+β 等于 ( 5 10 )A. 4 B. 5 2 2 C.

π 3π π 3π π 3π )A. B. C. 和 D.- 和- 4 4 4 4 4 4 B. 7 4 3 C. 22 3 3 C. 2 3 D. 4 1 D. 6 D. 3

π 1 4.若 α∈?0,2?,且 sin2α+cos 2α= ,则 tan α 的值等于 ( ? ? 4 π π 3 7 5.若 θ∈?4,2?,sin 2θ= ,则 sin θ 等于( ? ? 8 3 )A. 5

π 1 π 2 6 . 已知 tan(α+β)= ,tan?β-4?= ,那么 tan?α+4?等于 ( ? ? 4 ? ? 5 π π 7. 当- ≤x≤ 时,函数 f(x)=sin x+ 3cos x 的 2 2 (

13 13 )A. B . 18 22

)A.最大值是 1,最小值是-1B.最 大值是 1,

1 最小值是- C.最大值是 2,最小值是-2D.最大值是 2,最小值是-1 2 5π 3π π π )A.x= B.x= C.x=- D.x=- 4 4 4 2 π π? 9.已知 tan α、tan β 是方程 x2+3 3x+4=0 的两根,且 α、β∈?-2,2?,则 tan(α+β)=____,α+β 的值为__. ? 3tan 12° -3 10. cos275° +cos215° +cos 75° 15° cos 的值为________.11. =________. ?4cos212° -2?sin 12° 8.函数 y=sin x+cos x 图象的一条对称轴方程是 π 3 3 2 1 12. sin α= ,cos β= ,其中 α,β∈?0,2?,则 α+β=_________. 13. 已知 sin(α+β)= ,sin(α-β)=- , ? ? 5 5 3 5
[来源:学科



π π tan α 12 的值为_______. 14. 已知锐角 α 满足 cos 2α=cos?4-α?, sin 2α=________.15. 已知 cos?4-α?= , 则 ? ? ? ? 13 tan β
网]

π π 2sin2x+1 cos 2α α∈?0,4?,则 =________.16. 设 x∈?0,2?,则函数 y= 的最小值为________. ? ? ? ? π sin 2x sin?4+α? ? ? π π α α 6 3 17.已知 α∈?2,π?,且 sin +cos = .(1)求 cos α 的值;(2)若 sin(α-β)=- ,β∈?2,π?,求 cos β 的值. ? ? ? ? 2 2 2 5 π π 5 18. 已知函数 f(x)=2cos?ωx+6?(其中 ω>0, x∈R)的最小正周期为 10π.(1)求 ω 的值; (2)设 α, ?0,2?,?5α+3π? β∈? ? ? ? f? ? 5 6 16 =- ,f?5β-6π?= ,求 cos(α+β)的值. ? 17 5 ? π π 33 5 19. (1)已知 α∈?0,2?,β∈?2,π?且 sin(α+β)= ,cos β=- .求 sin α;(2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β) ? ? ? ? 65 13 1 1 = ,tan β=- ,求 2α-β 的值. 2 7

π? 1 ? 20. 设函数 f(x)=sinω x+sin?ω x- ?, ∈R.(1)若 ω = , f(x)的最大值及相应的 x 的集合; x 求 2? 2 ? π (2)若 x= 是 f(x)的一个零点,且 0<ω <10,求 ω 的值和 f(x)的最小正周期. 8



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