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2015秋高中数学 3.1.2用二分法求方程的近似解学案设计 新人教A版必修1



第三章 3.1 3.1.2

函数的应用 函数与方程

用二分法求方程的近似解

学习目标 ①理解二分法的概念,掌握运用二分法求简单方程近似解的方法 ;利用信息技术辅助教 学,让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程; ②体会二分法的思想和方法,使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法 ;让学生 能够了解近似逼近思想,

培养学生探究问题的能力和创新能力,以及严谨的科学态度; ③体验并理解函数与方程相互转化的数学思想方法 ;感受正面解决问题困难时,通过迂 回的方法使问题得到解决的快乐. 合作学习 一、设计问题,创设情境 问题 1:电路发生了故障,故障在一条长 200m 的线路上,如何迅速查出故障所在?(只需故 障在 5m 之内即可)请同学们为电工师傅想一想怎样检查比较合理?

二、自主探索,尝试解决 3 问题 2:你是否会解方程 x +3x-1=0?若不能解出,能否求出上述方程的近似解?

以求方程 x +3x-1=0 的近似解(精确度 0.1)为例进行探究.

3

探究 1:怎样确定解所在的区间?

探究 2:怎样缩小解所在的区间?

探究 3:幸运 52 中猜商品价格环节,让学生思考: (1)主持人给出高了还是低了的提示有什么作用? (2)如何猜才能最快猜出商品的价格?

问题 3:精确度 0.1 指的是什么?与精确到 0.1 一样吗?

三、信息交流,揭示规律 通过对以上问题的探究,给出二分法的定义就水到渠成了. 二分法的定义:

给定精确度 ε ,用二分法求函数 f(x)的零点近似值的步骤如下: (1) (2) (3) ① ② ③ (4)判断是否达到精确度 ε :即若|a-b|<ε ,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复步骤 (2)~(4). 四、运用规律,解决问题 x 借助计算器或计算机用二分法求方程 2 +3x-7=0 的近似解.(精确到 0.001) 两人一组,一人用计算器求值,一人记录结果.

五、牛刀小试 1.下列函数的图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是(

)

2.方程 4 +2x-11=0 的解在下列哪个区间内?(

x

)

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 六、课外作业 1.下列方程在区间(2,3)内一定没有实根的是( ) 2 A.x -2x-1=0 B.lgx+x-3=0 x-1 x C.2 =5-x D.lox=() 2.已知 y=x(x-1)(x+1)的图形如图所示,今考虑 f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则方程 f(x)=0 (填正确性的序号).

(1)有三个实根; (2)当 x<-1 时,有且仅有一个实根; (3)当-1<x<0,恰有一个实根; (4)当 0<x<1,恰有一实根; (5)当 x>1,恰有一个实根. 3 3.用二分法求函数 f(x)=x +5 的零点可以取的初始区间是( ) A.[-2,1] B.[-1,0] C.[0,1] D.[1,2] 3 4.用二分法求方程 x -2x-5=0 在区间[2,3]内的实根,取区间中点 x0=2.5,那么下一个有 根区间是 . 5. 已知图象连续不断的函数 y=f(x) 在区间 (a,b)(b-a=0.1) 上有唯一的零点 , 如果用 “ 二分法 ” 求这个零点 ( 精确到 0.001 的近似值 ), 那么将 (a,b) 区间等分的次数至少 是 . 参考答案 一、设计问题,创设情境 问题 1:1.确定故障所在范围. 2.确定检测范围中点. 3.检测中点 (1)若中点为故障点,即可; (2)若中点不为故障点,判断故障所在范围(被中点所分两范围之一). 4.判断故障范围是否符合精度,若符合,则得到故障点的近似处,否则重复上述 2~4 步. 二、自主探索,尝试解决 3 3 问题 2:求 x +3x-1=0 的根?求 x +3x-1=0 的零点. 3 3 探究 1:(1)图象法(数形结合):方程 x +3x-1=0 的解就是函数 y1=x 与 y2=1-3x 的图象交 点的横坐标,画出两函数的简图如图所示.

(2)试值法: 3 设 f(x)=x +3x-1,f(0)=-1<0,f(1)=3>0. 探究 2:反复取中点. 探究 3:略 问题 3:精度指的是区间长度,精确到 0.1 指的是小数的保留程度. 三、信息交流,揭示规律 二分法的定义: 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)

的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法 叫做二分法. (1)确定区间[a,b],验证 f(a)·f(b)<0,给定精确度 ε ; (2)求区间(a,b)的中点 c; (3)计算 f(c); ①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; ②若 f(a)·f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); ③若 f(c)·f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). 四、运用规律,解决问题 略 五、牛刀小试 1.C 2.B 六、课外作业 1.D 2.(1)(2) 3.A 4.[2,2.5] 5.10 次



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