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2.4.1等比数列概念及通项公式



一、引入新课: 1.细胞分裂个数组成数列:

1, 2, 4,8,16, ……

2.“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”得到数列:

1 1 1 1 1, , , , , …… 2 4 8 16
3.病毒感染的计算机数构成的数列:

1, 20, 20 , 20 , 20 , ……

>1

2

3

4

4.银行利息按复利计算(利滚利) 本金和=本金×(1+利率)存期 例如:存入10000元,利率为1.98% 存期 年初本金 年末本利和(元)

第一年
第二年

10000
10000×1.0198

10000×1. 0198
10000×1.01982

第三年
第四年

10000×1.01982
10000×1.01983

10000×1.01983
10000×1.01984

各年末本利和组成数列:10000×1. 0198, 2 3 4 10000×1.0198 , 10000×1.0198 10000×1.0198 , …
2

3

学习目标
1.运用类比的方法,归纳出等比数列 的定义、通项公式; 2.掌握推理中的累积法 3.会解决一些简单的等比数列的求解 问题
4

独立自学
? 研读课本48页~50页,回答下列问题
1.如何理解等比数列的定义?
2.若G2=ab,则a,G,b一定成等比数列吗?

引导探究(一) (1).1, 2, 4,8,16, ……
1 1 1 1 (2). 1, , , , , …… 2 4 8 16
2 3 4

请问:这四个数
列有什么共同 特点?

(3). 1, 20, 20 , 20 , 20 , ……
(4). 10000×1. 0198, 10000×1.0198 , 3 4 10000×1.0198 , 10000×1.0198 ……
特点: 从第二项起,后一项与前一项的比是 同一个常数
6

2

引导探究(一) 4.等比数列的通项公式

猜一猜?
如果等比数列 {a n}的首项是 a1 ,公比是 q,那么这个等比数列的第n 项a n 如何表示?

an ? a1 ? q
观察,猜想,归纳

n ?1

(a1 ? 0, q ? 0, n ? N? )

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想一想?

如何对其加以严格 n-m 一般形式: a =a q n m 的证明呢?
……

a3 a2 = q 证明:∵ = q a1 a2

将等式左右两边分别相乘可得:

化简得:

a2 a3 ? a1 a2

a …… n a n ?1
即:

an n ?1 ?q a1

累积法推导 n ?1 ? ? ? 【一定要细 n ? q ……q ? q ?1 细体会这种 推导思想! 】 n?1

an ? a1 ? q

此式对n=1也成立

∴ an

? a1 ? q



an = q an- 1

n ?1

(n ? N )
8

?

5.探究:
等比数列的图象与指数函数之间的关系:
a1 n 等比数列{an }通项公式可整理为:an ? ? q , q a1 x 它的图象是函数y ? ? q 的图象上的孤立点. q
9

三.诊断 练习
1.求下列等比数列的第4,5项:

①5,-15,45,… ②1.2,2.4,4.8,…
2 1 3 ③ , , ,? 3 2 8
④ 2, 1 , 2 ,? 2

a n ? a1 ? q

n? 1

10

2.在等比数列{an}中,已知 a 3 ? 20, a6 ? 160
求an.
变形1、等比数列{an}中,a1=2,q=-3,求a8与an.

变形2、等比数列{an}中,a1=2, a9=32,求q.
变形3、等比数列{an}中,a1+ a3=10,a4+a6=5/4,
求q的值.

变形4、等比数列{an}中,a3+ a6=36,a4+a7=18,
an =1/2,求n.

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目标再现
1,等比数列的定义: an ? 0 , a n+1 ? q(q为非零常数) an q?0

2,通项公式 (1)a n =a1q

n-1

(2)an ? am q n?m

3.通项公式的推导方法:累积法

4.等比数列图象的特点【孤立点】 5.类比思想的运用【等差和等比】
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完成清学稿
一 选择题 1.已知{an }是等比数列,a2=2, A. B.

a5 =

,则公比 q=(


D.

﹣2

C.

2

2.如果﹣1 ,a ,b ,c ,﹣9 成等比数列,那么( A.

) D.

b=3,ac=9

B.

b=﹣3,ac=9

C.

b=3,ac=﹣9

b=﹣3, ac=-9

3.等比数列{an}中,a6+a2=34,a6﹣a 2=30,那么 a4 等于( ) A. 8 B. 16 C. ±8 D. ±16

4.已知数列 1,a1,a2 ,4 成等差数列,1,b1,b2,b3,4 成等比数列,则 A. B. ﹣ C. 或﹣ D.

的值是(



二 解答题 5.在 3 和 9 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则这两个数的和是多少?

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? 布置作业



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