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甘肃省民乐一中2014-2015学年高二第一学期期末考试数学文试题



民乐一中 2014——2015 学年第一学期期终考试 高二文科数学试卷
命题人:韩多瑞

一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的)
x2 y2 ) ? ? 1表示双曲线,则 k 的取值范围是( k ? 1 2k ? 4 A. k ? 2 B. ?1 ? k ?

0 C. 0 ? k ? 2 D. ?1 ? k ? 2 2.点 M 与点 F(3,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 2,则点 M 的轨迹方程为(
1.若方程 A.y =-12x 3.下列命题错误的是(
2

)

B.y =6x )
2

2

C.y =12x

2

D.y =-6x

2

A.命题“若 m>0,则方程 x +x-m=0 有实根”的逆否命题为“若方程 x +x-m=0 无实 根,则 m≤0” B.对于命题 p: “ ? x∈R,使得 x +x+1<0” ,则?p: “ ? x∈R,均有 x +x+1≥0”
2 2

2

C.若 p 且 q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D. “x=1”是“x -3x+2=0”的充分不必要条件 4. 函数 f ( x) ? e ln x 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是(
x
2

) D. y ? x ? e
2

A. y ? 2e( x ? 1)

B. y ? ex ? 1

C. y ? e( x ? 1)

5. 两个量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,它们的相关指数 R 如下 , 其中拟合效果最好的模型是 ( A.模型 1 的相关指数 R 为 0.99 C.模型 3 的相关指数 R 为 0.50
2 2

) B. 模型 2 的相关指数 R 为 0.88 D.模型 4 的相关指数 R 为 0.20
2 2

6.已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐 4 b
) B. 5 C. 3 D. 5

近线的距离等于( A. 4 2

7.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (0 ? b ? 3) ,左右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两 9 b2
) . D. 6

点,若 | AF2 | ? | BF2 | 的最大值为 8,则 b 的值是( A. 2 2 B. 2 C. 3

8 .已知 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 上的任意一点, F1 , F2 是它的左右焦点,且 PF 1 =5 ,则 4 9

PF2 ? (
A. 1

) B.9 C.1 或 9 D.9 或 5

9.一同学在电脑中打出如下图若干个圆(○表示空心圆,●表示实心圆) ○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○??问:到 2006 个圆中有 _ 个实心圆。 ( ) A. 59 B. 60 C.61 D. 62 10.已知双曲线 kx 2 ? y 2 ? 1 的一条渐近线与直线 l: 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则此双曲线的离心率 是( A. )
5 2

B. 3

C. 2

D. 5 )

11.函数 f ( x) ? x ? a x 在区间 ?1,4? 上单调递减,则实数 a 的最小值为( A.1 B.2 C.4 D.5

12.已知直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与抛物线 y 2 ? 8x 相交于点 A , B 两点, F 为抛物线的焦 点,若 FA ? 2 FB ,则 k 的值为( A.4 B.8 ) C. 2 2
2

D. 2 3

二、填空题(共 4 道题,每题 5 分,共 20 分)
13. 已知函数 f(x)的导函数 f′(x), 且满足 f(x)=3x +2xf′(2), 则 f′(5)=____________.

x2 y2 14.已知抛物线 y ? 8x 的准线过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点,且双曲线的 a b
2

离心率为 2,则双曲线的方程为___________. 15 . 若 命 题“?x ? R, 使x ? (a ? 1) x ? 1 ? 0”是 假 命 题 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是
2

_____________ . 16. 若三角形内切圆半径为 r,三边长为 a,b,c 则三角形的面积 S ?

1 ( r a ? b ? c) ; 2

利用类比思想:若四面体内切球半径为 R,四个面的面积为 S1,S2,S3,S4 ; 则四面体的体积 V=

三、解答题(共 6 道题,共 70 分)
17. (本小题满分 10 分) 某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查,喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多 的有 18 人,不喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有 8 人,认为作业不多的有 15 人。 (1)根据以上数据建立一个 2 ? 2 的列联表; (2)试判断喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少

有关系的把握大约是多少? 参考公式: K 2 ?
P ( K 2> k ) k
0.50 0.455

n(ad ? bc) 2 ;n ? a?b?c?d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.84 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.83

18.(本小题满分 12 分)
2 2 设命题 p :实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 ;

命题 q :实数 x 满足 x ? 5 x ? 6 ? 0 ;
2

(1)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 成立的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C: 相切. x2 ? y 2 ? b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 的交点为 A, B ,求弦长 | AB | . 20. (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 是全不相等的正实数,求证 21.(本题满分 12 分) 函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,过曲线 y ? f ( x) 上的点 P(1, f (1) ) 的切线方程为 y ? 3x ? 1 . (1)若 y ? f ( x) 在 x ? ?2 时有极值,求 f (x)的表达式; (2)在(1)的条件下,求 y ? f ( x) 在 [?3 , 1] 上最大值. 22.(本题满分 12 分) 已知平面直角坐标系 xoy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F (? 3,0) ,右顶 点为 D (2, 0) ,设点 A(1, ) (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程; (3)过原点 O 的直线交椭圆于 B, C 两点,求 ?ABC 面积的最大值,并求此时直线 BC 的方 程。

x2 y2 3 , 直 线 l: y ? x?2 与 圆 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 2 a b 3

b?c?a a?c?b a?b?c ? ? ? 3。 a b c

1 2

民乐一中 2014——2015 学年第一学期期终考试 高二数学(文科)试题答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 C 5 A 6 B 7 D 8 B 9 C 10 A 11 C 12 C

二、填空题:(本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13. 6; 14.

x2 ?

y2 ?1; 3

15.

1? a ? 3

;16.

1 . R(S1 ? S 2 ? S3 +S4) 3

三、解答题:(本大题共 6 题,满分 70.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分) 解:列联表如下表所示: 认为作业多 喜欢玩电脑游戏 不喜欢玩电脑游戏 总数 K=
2

认为作业不多 9 15 24
2

总数 27 23 50

18 8 26

50(18 ? 15 ? 8 ? 9) 2 ? 5.059 , 26 ? 24 ? 27 ? 23

P(K >5.024)=0.025,

有 97.5%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系. 18. (本小题满分 12 分) 解 (1)由 x ? 4ax ? 3a ? 0 得 ( x ? 3a) ? ( x ? a) ? 0 .
2 2

又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a ,???2 分 当 a ? 1 时, 1 ? x ? 3 ,即 p 为真命题时,实数 x 的取值范围是 1 ? x ? 3
2 由 x ? 5x ? 6 ? 0 得 2 ? x ? 3 .

所以 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . 若 p ? q 为真,则 2 ? x ? 3 ,所以实数 x 的取值范围是 ? 2,3? . (2) 设 A ? ?x | a ? x ? 3a? , B ? ?x | 2 ? x ? 3?

q 是 p 的充分不必要条件,则 B ? A
所以 ?

?0 ? a ? 2 ? 1 ? a ? 2 ,所以实数 a 的取值范围是 ?1, 2 ? . ? 3a ? 3

19. (本小题满分 12 分) 解: (1)又由直线 l : y ? x ? 2 与圆 x2 ? y 2 ? b2 相切得 b ?

|0?0?2| 12 ? 12

? 2,

由e ?

3 3 2 得 ? 1? 2 ? a ? 3 , 3 3 a

x2 y 2 ? ?1 ∴椭圆方程为 3 2

? x2 y 2 ?1 ? ? (2) ? 3 ? 2 x 2 ? 3( x ? 2)2 ? 6 ? 0 ? 5 x 2 ? 12 x ? 6 ? 0 2 ? y ? x?2 ?
? ? 122 ? 4 ? 5 ? 6 ? 24 ,设交点 A, B 坐标分别为 ? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ?
则 x1 ? x2 ? ?

12 6 , x1 ? x2 ? , 5 5
2 2

6 4 3 ? 12 ? 从而 | AB |? 1 ? 1 ? ? ? ? ? 4 ? ? 5 5 ? 5?
所以弦长 | AB |?

4 3 5

20. (本小题满分 12 分) 证法 1: (分析法) 要证

b?c?a a?c?b a?b?c ? ? ?3 a b c
b c c a a b ? ?1? ? ?1? ? ?1 ? 3 a a b b c c

只需证明 即证

b c c a a b ? ? ? ? ? ?6 a a b b c c

而事实上,由 a,b,c 是全不相等的正实数 ∴ ∴ ∴
b a c a c b ? ? 2, ? ? 2, ? ? 2 a b a c b c b c c a a b ? ? ? ? ? ?6 a a b b c c b?c ?a a ?c ?b a ?b?c ? ? ? 3 得证. a b c

证法 2: (综合法) ∵ a,b,c 全不相等 ∴

b a c a c b 与 , 与 , 与 全不相等. a b a c b c



b a c a c b ? ? 2, ? ? 2, ? ? 2 a b a c b c b c c a a b ? ? ? ? ? ?6 a a b b c c

三式相加得

b c c a a b ∴ ( ? ? 1) ? ( ? ? 1) ? ( ? ? 1) ? 3 a a b b c c



b?c ?a a ?c ?b a ?b?c ? ? ?3 . a b c

21.(本题满分 12 分)
解: (1)

由f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c求导数得f ?( x ) ? 3 x 2 ? 2ax ? b 过y ? f ( x)上点P(1, f (1))的切线方程为 : y ? f (1) ? f ?(1)( x ? 1)即y ? ( a ? b ? c ? 1) ? (3 ? 2a ? b)( x ? 1) 而过y ? f ( x)上P (1, f (1))的切线方程为 : y ? 3 x ? 1 ?3 ? 2a ? b ? 3 ?2a ? b ? 0?? (1) 故? 即? ??a ? c ? 2 ? 1 ?a ? c ? ?3?? (2) ? y ? f ( x)在x ? ?2时有极值, 故f ?(?2) ? 0 ??4a ? b ? ?12?? (3) 由(1)(2)(3)相联立解得a ? 2, b ? ?4, c ? 5 f ( x) ? x3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 5 ?? (4分)
[?3,?2)



2



f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 3x 2 ? 4x ? 4 ?

x
f ?( x) f ( x)

-2 0 极大

2 (?2, ) 3

2 3

2 ( ,1] 3

+



0 极小

+

f ( x)极大 ? f (?2) ? (?2) 3 ? 2(?2) 2 ? 4(?2) ? 5 ? 13
f (1) ? 13 ? 2 ?1 ? 4 ?1 ? 5 ? 4 ? f ( x)在[?3,1] 上最大值为 13
23.(本题满分 12 分) 解: (1)设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

y B F O C A D x

由题意可知: c ? 3, a ? 2 , 故 b ? a2 ? c2 ? 4 ? 3 ? 1 所以椭圆的方程为:

x2 ? y2 ? 1 4

(2)设 P( x0 , y0 ), M ( x, y) ,则有:

x0 ? 1 ? ?x ? 2 ? x0 ? 2 x ? 1 ? ? ? 1 1 ?? y0 ? y0 ? 2 y ? ? ? 2 ? 2 ?y ? ? 2
又因为:
2 x0 2 ? y0 ?1 4





将②代入①得到点 M 的轨迹方程:

(2 x ? 1)2 1 ? (2 y ? )2 ? 1 4 2

(3)当直线 BC 的斜率不存在时,

S ?ABC ?

1 1 | BC |?x A ? ? 2 ? 1 ? 1 2 2

当 BC 斜率存在时,设其方程为:设 y ? kx

? x2 2 ? ? y2 ? 1 由? 4 ?x?? 1 ? 4k 2 ? y ? kx ?
不妨设 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) ,则

| BC |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? 1 ? k 2 | x2 ? x1 |? 4

1? k 2 1 ? 4k 2

1 1 |k? | (k ? )2 2 ? 2 设点 A 到直线 BC 的距离为 d ,则: d ? 2 2 k ?1 k ?1
1 1 (k ? ) 2 k2 ? k ? 1 1 1? k 2 ?2 4 = 2 1 ? ?k ? | BC |?d ? ? 4 ? 2 2 2 2 2 1 ? 4k 1 ? k 1 ? 4k 4 1 ? 4k 2
2

S?ABC

当 k ? 0 时, S?ABC ? 2

1 ?1 4
1 1 1 1 ? ?2 ? ? 2 1 4 4 2 4 ? 4(?k ) ?k

当 k ? 0 时, S?ABC ? 2

上式当且仅当

1 1 ? 4(?k ), 即k ? ? 时,等号成立 ?k 2

综上可知, ? ABC 面积的最大值为 2 ,此时直线 BC 的方程为: y ? ?

1 x 2



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