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椭圆的定义及标准方程



开普勒行星运动定律
开普勒第一定律——轨道定律
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭 圆,太阳处在椭圆的一个焦点上。
太阳

b

行星

a
v=

开普勒第二定律——面积定律
对任意一个行星来说,它与太阳的 连线在相等的时间扫过相等的面积。


开普勒第三定律——周期定律
所有行星的轨道的半长轴的三次方 跟它的公转周期的二次方的比值都 相等.

选修2-1

第二章 圆锥曲线与方程

2. 2 椭 圆
2.2.1 椭圆及其标准方程

一、引入

新课引入

小实验:材料:一只笔、一块纸板、一段细绳、 两枚图钉,固定细绳两端用笔将细绳拉紧画一 周形成封闭曲线。探索: (1)图钉(固定点)之间距离的大小对椭圆形 状的影响,哪些因素起作用; (2)图钉(固定点)之间距离与细绳长相等会 出现什么现象?
(3)有没有可能图钉(固定点)之间距离大于 细绳长?为什么?

1、椭圆的定义:

新 课

平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常 数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距 M 离叫做椭圆的焦距。
几点说明:
F1 F2

1、M是椭圆上任意一点,且|MF1| + |MF2| = 常数 2、通常这个常数记为2a,焦距记为2c,且2a>2c(?) 3、F1、F2是两个不同的定点; 4、如果2a = 2c,则M点的轨迹是线段F1F2. 5、如果2a < 2c,则M点的轨迹不存在.(由三角形的 性质知)

下面我们来求椭圆的标准方程.

y
M

F1

o

F2

x

新 课

阅读教材P39-40,思考并回答下列问题。
1、书中求椭圆标准方程用的是什么方法?在上述 方法中,化简的第一步为什么把方程左边的第二个 根号移项到等式的右边,这样做的好处是什么? 2、请回答P39页的思考问题。 3、焦点在x轴上的椭圆的标准方程是什么?焦点在 y轴上的椭圆的标准方程是什么?请仿照焦点在x轴 上的椭圆标准方程的推导方法给出焦点在y轴的椭 圆方程的推导过程(即回答P40的思考),对照两 种标准方程的推导过程,你有没有什么发现? 4、例1中求椭圆方程用的是什么方法?你还有其他 方法吗?

新 课

a、b、c的几何意义
y P

b

a
o

a c

F1

F2

x

2、椭圆的标准方程:
椭圆的标准方程一 ——(焦点在x 轴上) x2 y2 ? 2 = 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
2 2
y
F1

新 课
M ( x, y )
O
F2

x

其中 a ? c = b
椭圆的标准方程二 ——(焦点在y 轴上)

2

? b ? 0?
M

y
F 2

y x ? 2 = 1 ?a ? b ? 0? 2 a b 2 2 2 其中 a ? c = b

2

2

o
F1

x

? b ? 0?

练 习

练习:
下列椭圆的焦点在x轴上还是y轴上:

x y (1) ? =1 4 8

2

2

x 2 (2) ? y = 1 4
(4) 4x ? 3 y = 12
2 2

2

(3) 2x ? 3 y = 1
2 2

新 课

课堂小结:
(1)在椭圆的两种标准方程中,总有 a>b>0,且c2=a2-b2,a,b,c中a最大。

(2)标准方程中,若 x2之下的数大,则焦 点在x轴上;若y2之下的数大,则焦点在y 轴上. (3)判断前一定要把方程化成椭圆标准方 程的形式

小 结

小结:
1、椭圆的定义:
2、椭圆的标准方程及其推导: 注:两种标准方程的区别。在求椭圆方程时, 要弄清焦点在哪个轴上,是x轴还是y轴?或 者两个轴都有可能? 3、本节课求椭圆方程用了哪些方法?

直接法、待定系数法、定义法

小 结

作业:

1、课本P49 习题2.2 第1、2题;
2、课后自主尝试,用不同的建系方法 求椭圆的方程; 3、《世纪金榜》完成至P25、P99

小 结:
定 义

椭圆的标准方程
|MF1|+|MF2|=2a y
M

y
F 2 M

图 形

F1

o

F2

x

o
F1

x

方 程 焦 点 a,b,c之间
的关系

x2 y2 ? 2 = 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
F(±c,0)

y2 x2 ? 2 = 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
F(0,±c)

c2=a2-b2
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复 习

复 习
1、椭圆的定义 2、椭圆标准方程
b
F1

y P a

o

c

a
F2

x

x2 y2 ? 2 =1 2 a b

?a ? b ? 0?

y2 x2 ? 2 =1 2 a b

?a ? b ? 0?

3、a,b,c之间的关系及几何意义

a2=b2+c2

练习: 课本P42 第1、2、3题.

练 习

复 习

1、平面内一动点M到两定点F1 、F2的距离之 和为常数2a,则点M的轨迹为_____________. 2、已知△ABC的顶点B、C在椭圆2x2+y2=6上, 顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦 点在BC边上,则△ABC的周长是_________.

x y 3、若椭圆 ? = 1 的焦距为4,则m=_____. 8 m 4或12
4、求经过A(- 3 ,-2)和B(-2 3 ,1)两点的椭圆的标 准方程.

2

2

习 题

练习: 求满足下列条件的椭圆的标准方程:
y 1、经过点(0,2)和(1,0); x ? =1 4 2、经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有 共同焦点; x2 y2 ? =1 1? ?1 1? ? 3、经过两点 ? 3 , 3 ? ,? 0,? 2 ? ; 10 15 ? ? ? ?
2 2

练习:

5x ? 4 y = 1
2 2

课本P42 第1、2、3题.

练 习

练习:
x2 y2 3或5 1、若椭圆 4 ? m = 1 的焦距为2,则m=___. x2 y2 ? = 1表示椭圆,则k的 2、若方程 k ?3 5?k (3,4) ? (4,5) 取值范围为______. x2 y2 = 1 上的一点,F1 3、已知点P是椭圆 ? 5 4 和F2是焦点,且 ? F1PF2=30O。求?F1PF2的

面积.

8?4 3

例 题

例2 如图已知一个圆的圆心为坐标原点,半径 为2. 从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP? , 当点P在圆上运动时,求线段PP?中点M的轨 迹.

例 题

例3:如图,设点A, B的坐标分别为(-5,0),

(5,0).直线AM,BM 相交于点M,且它们的斜
4 率之积是 ? ,求点 M的轨迹方程. 9
y M

A

o

B

x

研究一下该题是否具有一般性?

例 题

例4、已知两定点A(-a, 0)、B(a, 0), (a≠0),且 两直线PA、PB的斜率之积等于负常数m(m≠1),求这两直线交点P的轨迹方程.并说明轨 迹是什么曲线?

x y ? = 1 ( x ? ? a) 2 2 a ? ma

2

2

例 题

例5:求与圆x2 ? y 2 = 4 外切且与圆 ?x ? 6?2 ? y2 = 100 内切的动圆圆心的轨迹。
y
P M

解:设动圆的圆心为M(x,y),与已
知圆O、O1切于Q、P两点,则:
O1

Q
O

x

MO ? OQ = O1P ? MO1 ? OQ = 2 O1P = 10 MO ? MO1 = 12 ?
即 x2 ? y2 ?

?x ? 6?2 ? y 2
2

= 12

●也可以应用: 定义法

化简得:

?x ? 3?
36

y2 ? =1 27

故此圆心轨迹为椭圆。

练 习

练习:

课本P42 第4题.

小 结

小结:
1、椭圆的定义:
2、椭圆的标准方程及其推导: 注:两种标准方程的区别。在求椭圆方程时, 要弄清焦点在哪个轴上,是x轴还是y轴?或 者两个轴都有可能? 3、本节课求椭圆方程用了哪些方法?

直接法、待定系数法、定义法

小 结

作业:

1、课本P49 习题2.2 A组 第7题、
B组 第3题;

2、《世纪金榜》完成至P25、P99

思考:点M(x,y)到定点F(c,0)的距离和它到
c a2 直线 l : x = 的距离的比是常数 . a c

求点M的轨迹。



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