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乐山一中高2015届高二第一学期期中考试数学试题及参考答案



乐山一中高2015届第三学期半期考试

数 学 试 题
命题教师:何光学 审题教师:石超仙

第Ⅰ卷

选择题

一、 选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 2 2 1.将圆 x +y -2x-4y+1=0 平

分的直线是 A.x+y-1=0 B.x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=0 2. 若抛物线的准线方程为 x=–7, 则抛物线的标准方程为 2 2 2 2 A.x =–28y B.y =28x C.y =–28x D.x =28y 3. 以双曲线 y 2 ?

x2 ? 1 的一个焦点为圆心,离心率为半径的圆的方程是 3
B. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 C.( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2
2 2

A.( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4

D. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4

4.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y-5=0 与圆 x +y =4 相交于 A、B 两点,则弦 AB 的长等于 A.3 3
2

B.2 3

C. 3

D .1

5. 过抛物线 y = 4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1, y1)B(x2, y2)两点,如果 x1 ? x2 =6, 那么 AB = A.6 B.8 C.9 D.10

6. 已知点 F1、F2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 a2 b2 A、B 两点,若△ABF2 为正三角形,则该椭圆的离心率 e 为 2 3 1 1 A. B. C. D. 2 3 2 3

x2 y 2 5 7.已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 a b 2
A. y ? ? 8.椭圆

1 x 4

B. y ? ?

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,弦 AB 过 F1 ,若△ ABF2 的内切圆周长为 ? ,A、 25 16

B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 和 ( x2 , y2 ) ,则 y2 ? y1 的值为
A.

5 3

B.

10 3

C.

20 3

D.

5 3

高 2015 届第三学期半期考试数学试题

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9. 已知圆 C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3 ? ? 1 ,圆 C2 : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 9 , M , N 分别是圆 C1 , C2
2 2 2 2

上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的最小值为 A. 5 2 ? 4 B. 17 ? 1 C. 6 ? 2 2 D. 17

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA2 的斜率的取值范 10.椭圆 C : 4 3
围是 ??2, ?1? ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是 A. ? , ? 8 4 ( )

?3 3? ? ?

B. ? , ? 2 4

?1 3? ? ?

C. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

D. ? , 1?

?3 ? ?4 ?

第Ⅱ卷

非选择题

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、若椭圆经过点 P(2,3) ,且焦点为 F1(-2,0),F2(2,0),则这个椭圆的离心率等于 12.点 P(2 , ? 1) 为圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 25 的弦的中点,则该弦所在直线的方程是 .

13.椭圆的焦点是 F1(-3,0)F2(3,0) ,P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差 中项,则椭圆的方程为_____________________________.

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,A(1, 4), P 是双曲线右支上的动点, 14. 已知 F 是双曲线 则 PF ? PA 4 12
的最小值为
2 15. 设抛物线 C : y ? 3 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 上, MF ? 5 ,若以 MF 为直径的

圆过点 (0,2) ,则 C 的方程为 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)求双曲线 9 x ? y ? 81的实轴长,虚轴长,顶点和焦点的坐标,离心
2 2

率,渐近线方程.

高 2015 届第三学期半期考试数学试题

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17.(本小题满分 12 分) (1)已知双曲线 C :错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,求 C 的方程。 (2)已知椭圆 C:错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。) 的右焦点与抛物线错误!未找到引用源。的焦点相同,离心率为错误!未找到引用源。,求 椭圆 C 的方程。

18. (本小题满分 12 分) 已知动点 P 与平面上两定点 A(? 2,0), B( 2,0) 连线的斜率的积为 定值 ?

1 . 2

(Ⅰ)试求动点 P 的轨迹方程 C. (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C 交于 M、N 两点,当|MN|=

4 2 时,求直线 l 的方程. 3

19. (本小题满分 12 分)已知双曲线 直线到原点的距离是

x2 y2 2 3 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,过 A(a,0), B(0,?b) 的 2 3 a b

3 . 2

(1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的圆上, 求 k 的值.

20. (本小题满分 13 分)已知直线 l 过点 P(0,2),斜率为 k,圆 Q:x +y -12x+32=0. (1)若直线 l 和圆相切,求直线 l 的方程; (2)若直线 l 和圆交于 A、B 两个不同的点,问是否存在常数 k,使得 OA + OB 与 PQ 共

2

2

高 2015 届第三学期半期考试数学试题

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线?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 如图,点 P(0,?1) 是椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点, C1 的 a 2 b2

长轴是圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4 的直径. l1 , l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点, l 2 交椭圆 C1 于另一点 D (1)求椭圆 C1 的方程;
y l1 D O P A (第 21 题图) l2 B x

(2)求 ?ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.

高 2015 届第三学期半期考试数学试题

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乐山一中 2015 届第三学期半期考试 数学试题参考答案
1 C 1 11. 2 2 B 3 D 4 B 13. x 2 5 B 6 D 7 C 14. 9 8 D 9 A 10 A

12. x ? y ? 1 ? 0

y2 ? ?1 36 27

15. y2=4x 或 y2=16x

10.由椭圆 C:

可知其左顶点 A1(﹣2,0) ,右顶点 A2(2,0) .

设 P(x0,y0) (x0≠±2) ,则

,得

.因为

=



=



所以

=

=

,因为

,所以

,解




2

15.因为抛物线 C 方程为 y =3px(p>0)所以焦点 F 坐标为(

,0) ,可得|OF|=

因为以 MF 为直径的圆过点(0,2) ,所以设 A(0,2) ,可得 AF⊥AM

Rt△AOF 中,|AF|=

=

所以 sin∠OAF=

=

因为根据抛物线的定义,得直线 AO 切以 MF 为直径的圆于 A 点,

所以∠OAF=∠AMF, 可得 Rt△AMF 中, sin∠AMF=

=

, 因为|MF|=5, |AF|=

所以

=

,整理得 4+

=

,解之可得 p= 或 p=

因此,抛物线 C 的方程为 y =4x 或 y =16x

2

2

高 2015 届第三学期半期考试数学试题

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16. 实轴长为 6,虚轴长为 18,顶点坐标为(3,0),(-3,0),焦点坐标为( 离心率为 10 ,渐近线方程为 y ? ?3x

3 10 ,0), (- 3 10 ,0),

x2 y 2 x2 y 2 17. (1) =1(2) ? ?1 20 5 16 12
18.解:设点 P( x, y) ,则依题意有

y y 1 ? ?? , 2 x? 2 x? 2

x2 ? y 2 ? 1. 由于 x ? ? 2 整理得 2 x2 ? y 2 ? 1( x ? ? 2). 所以求得的曲线 C 的方程为 2
? x2 ? y 2 ? 1, (Ⅱ)由 ? 消去y得 : (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kx ? 0. ?2 ? y ? kx ? 1. ?

? 4k ( x1 , x 2 分别为 M,N 的横坐标). 1 ? 2k 2 4k 4 2 2 |? 2, 由 | MN |? 1 ? k | x1 ? x 2 |? 1 ? k | 2 3 1 ? 2k 解得 : k ? ?1. 所以直线 l 的方程 x-y+1=0 或 x+y-1=0.
解得 x1=0, x2=

19 解: (1)∵ c ? 2 3 , 原点到直线 AB: x ? y ? 1 的距离 a b a 3 ab ab 3 d ? ? ? . c 2 . a2 ? b2
? b ? 1, a ? 3.
3
2 故所求双曲线方程为 x ? y 2 ? 1.

(2)设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ), CD 的中点是 E( x0 , y0 ) 把 y ? kx ? 5代入x 2 ? 3 y 2 ? 3 中消去 y,整理得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 30kx ? 78 ? 0 .
2 ? 30 k ?1 ? 3k ? 0 则 x1 ? x 2 ? 且① ? 2 2 1 ? 3k 2 ? ?? ? 900k ? 4 ? 78(1 ? 3k ) ? 0

高 2015 届第三学期半期考试数学试题

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x0 ? k BE

x1 ? x2 15k 5 ? ? y 0 ? kx0 ? 5 ? , 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 y ?1 1 ? 0 ?? . x0 k

? x0 ? ky0 ? k ? 0,


15k 5k ? ? k ? 0, 又k ? 0,? k 2 ? 7 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
满足① 故所求 k=± 7 .

20 解:(1)将圆的方程化简,得:(x-6) +y =4.圆心 Q(6,0),半径 r=2. 直线 l 的方程为:y=kx+2, 故圆心到直线 l 的距离 d= |6k-0+2| |6k+2| = . 2 2 1+k 1+k

2

2

|6k+2| 因为直线 l 和圆相切,故 d=r,即 =2, 2 1+k 3 解得 k=0 或 k=- . 4 所以,直线 l 的方程为 y=2 或 3x+4y-8=0. (2)将直线 l 的方程和圆的方程联立得: ?

? y ? kx ? 2
2 2 ? x ? y ? 12x ? 32 ? 0

消 y 得:(1+k )x +4(k-3)x+36=0,所以 x1 ? x 2 ? ?
2 2

4(k ? 3) 1? k 2

3 2 2 因为直线 l 和圆相交,故Δ =[4(k-3)] -4×36×(1+k )>0,解得- <k<0. 4 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则有: 而 y1+y2=kx1+2+kx2+2=k(x1+x2)+4,

OA + OB =(x1+x2,y1+y2), PQ =(6,-2).
因为 OA + OB 与 PQ 共线, 所以-2×(x1+x2)=6×(y1+y2). 即(1+3k)(x1+x2)+12=0. 4(k-3) 代入得(1+3k)[- 2 ]+12=0, 1+k

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3 解得 k=- . 4 3 又因为- <k<0,所以没有符合条件的常数 k. 4

21 解:(Ⅰ)由已知得到 b ? 1 ,且 2a ? 4 ? a ? 2 ,所以椭圆的方程是

x2 ? y2 ? 1; 4

(Ⅱ)因为直线 l1 ? l2 ,且都过点 P(0, ?1) ,所以设直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 ,直 线

l2 : y ? ?

1 x ? 1 ? x ? ky ? k ? 0 k

,









(0, 0)





线

l1 : ? y

k ?1 x ?

d? 的距离为 k ? 1 x ? 0 y ?
2 3 ? 4k 2 1? k2

1 1? k
2

, 所以直线 l1 被圆 x2 ? y 2 ? 4 所

截的弦 AB ? 2 4 ? d

2

?

;

? x ? ky ? k ? 0 ? 由 ? x2 ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ,所以 2 ? ? y ?1 ?4
xD ? xP ? ? 8k 1 64k 2 8 k2 ?1 ? | DP | ? (1 ? ) ? ,所以 k2 ? 4 k 2 (k 2 ? 4) 2 k2 ? 4

S?ABD ?

1 1 2 3 ? 4k 2 8 k 2 ? 1 8 4k 2 ? 3 4 ? 8 4 k 2 ? 3 | AB || DP |? ? ? 2 ? ? 2 2 2 2 k ? 4 k ? 4 4k 2 ? 3 ? 13 1? k

?

32 4k ? 3
2

4k 2 ? 3

?

13 4k 2 ? 3

?

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k ? 3
2

?

32 2 13

?

16 13 , 13

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4k 2 ? 3 ?

13 4k ? 3
2

? k2 ?

5 10 时 等 号 成 立 , 此 时 直 线 ?k ?? 2 2

l1 : y ? ?

10 x ?1 2

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