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曲线与方程


选修2-1

第二章 圆锥曲线与方程
阅读P33第二章章头语,回答下列问题: 1、圆锥曲线包括哪些曲线?为什么叫圆锥 曲线? 2、书中介绍了哪些圆锥曲线在科研与生产 中的应用。 3、本章我们用什么方法研究圆锥曲线?

选修2-1

第二章 圆锥曲线与方程

2. 1 曲线与方程

新 课

自学:阅读教材P34-36,回答下列问题。
1、曲线的方程与方程的曲线定义是什么?定义 中(1)、(2)两个条件是否必须缺一不可?为 什么? 2、证明某方程是某曲线的方程的基本步骤是什么?

3、什么是坐标法?什么是解析几何?解析几何研究 的主要问题有哪些? 4、求曲线方程的基本步骤是什么?

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思考:下述方程分别表示图1曲线吗?为 什么?

Y 1 O 1 X 1 O 1 X

x - y =0
Y

② |x|-|y|=0
Y
1

③ x-|y|=0
Y 1 1 -1 X O -1 1 X

-1

O

图1

A

B

C

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曲线的方程 方程的曲线
直角坐标系中,如果某曲线C上的点与 一个二元方程f (x,y)=0的实数解建立了如 下的关系: ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解。 ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上 的点。 那么,这个方程叫做曲线的方程,这条 曲线叫做方程的曲线。

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试试看:
(1)举出一个方程与曲线,使 它们之间的关系符 合①而不符合②. (2)举出一个方程与曲线,使 它们之间的关系符 合② 而不符合① . (3) 举出一个方程与曲线,使 它们之间的关系既 符合①又符合②。

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例子:(2)画出函数 的图象C.
y 8

y ? 2x 2 (-1≤x≤2)
y 8

y ? 2x 2

y ? 2x

2

(-1≤x≤2)

-1

O

2

x

-1

O

2

x

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2、证明某方程是某曲线的方程的基本步骤是 什么?

证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步,设M (x0,y0)是曲线C上任一点, 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解;

第二步,设(x0,y0)是f(x,y)=0的解,证明 点M (x0,y0)在曲线C上.

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3、什么是坐标法?什么是解析几何?解析几何研究 的主要问题有哪些?
坐标法: 借助于坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲 线,通过研究方程的性质间接地研究曲线的性质。

解析几何: 数学中,用坐标法研究几何图形的知识形成 的学科叫做解析几何。
解析几何研究的主要问题是: (1)根据已知条件,求出表示曲线的方程; (2)通过曲线的方程,研究曲线的性质。

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4、求曲线方程的基本步骤是什么?

直接法

(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表 示曲线上任意一点M的坐标; (2)写出适合条件P的点M的集合P={M P(x)}; (3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化方程 f(x,y)=0为最简形式; (5)说明化简后方程的解为坐标的点都在曲线上。 注:1、化简过程要避免“失解”或“增解”,如有 特殊情况,可作适当说明;

2、若化简前后方程的解集是相同的,步骤( 5) 可以省略不写;也可以根据情况省略步骤(2)

练 习

练习:课本 P37练习 第1、2、3题

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练习:
1、曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2-4x-5=0的公共点 的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4

2、求证:无论k取什么值, 曲线kx2+2x-(k-1)y-k-2=0恒过定点。

练习:课本 P37 习题2.1 A组题。

小 结

小结:本节课你学到了哪些内容? 1、曲线的方程与方程的曲线定义 2、证明曲线的方程的基本步骤 3、坐标法,解析几何研究的主要问题
4、直接法求曲线方程的基本步骤是什么? 作业: 1、课本 P37 习题2.1 B组题。 2、《世纪金榜》完成至P22、P98.


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