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1.3逻辑联结词



选修2-1

第一章 常用逻辑用语

1.3 简单的逻辑联结词

复习回顾
复习: 判断下面的语句是否为命题?若是命题, 指出它的真假。 (1)请全体同学起立! (2)x2+x>0. (3)对于任意的实数a,都有a2+1>0. (4)x=-a. (5)91是素数.

(6)这道

数学题目有趣吗?

我们再来看几个复杂的命题: (1)10可以被2或5整除. (2)菱形的对角线互相垂直且平分. (3)0.5非整数.

复合命题

“或”,“且”, “非”称为逻辑联结词.含有 逻辑联结词的命题称为复合命题,不含逻辑联 结词的命题称为简单命题. 复合命题有以下三种形式: (1)P且q. (2)P或q. (3)非p.

新 课
阅读教材P14-17,思考并回答下列问题: 1、填写下列真值表: p q 非p P且q 真 真 真 假 假 真 假 假 假 假 真 真
假 假

P或q

真 真 真






2、在平时的语言表达中还经常用哪些词表达“且”的 意思?(可参考例1、2) “都”、“既,又” 3、从例3的第(1)小题,你对 有了哪 些更清楚的认识? >或=,<或= 4、回答P16的思考。

新 课



(1)逻辑联结词中的“或”相当于集 合中的“并集”,它与日常用语中的“或”的含 义不同.
日常用语中的“或”是两个中任选一个,通常不 能都选. 逻辑联结词中的“或”,有三种可能的情况: (1)两个都选; (2)选p不选q;(3)选q不选p.

(2)逻辑联结词中的“且”相当于集合中的 “交集”,即两个必须都选.

新 课

注:
(3)逻辑联结词中的“非”相当于集合中 的“补集”

规定:当p,q都是真命题时, p ? q 是真命题; 当p,q两个命题中有一个命题是假命题时, p ? q p q 是假命题.

新 课

全真为真,有假即假.
规定:当p,q两个命题中有一个是真命题时, p ? q 是真命题;当p,q两个命题中都是假命题时, p ? q p 是假命题.

一真为真,全假即假.

q

练习:P18 练习 第1、2、3题

练习:写出下列命题的否定与它的否命题
(1)p:若x>y,则5x>5y; (2)p:若x2+x﹤2,则x2-x﹤2; (3)p:已知a,b为实数,若 x2+ax+b≤0有非 空实解集,则a2-4b≥0。

思考:
命题的否定与否命题有何不同?

新 课

注:
1、否命题既要否定条件,也要否定结论;

2、命题的否定从形式上说是否定结论,本 质上是否定整个命题,类似于集合的补集。

例 题
例 写出下列命题的否定. (1)我们班同学的体育都达标了; (2)我们班的同学都是团员; (3)我们班的同学都不是市级三好学生;

(4)若a2=1,则a=±1; (5)若logx2有意义,则x>0且x≠1;

课堂小结
“非”命题对常见的几个正面词语的否定.
正面 = > 是 都是 至多有 至少有 或 一个 一个 且

否定 ≠

至少有 没有 且 或 不是 不都是 ≤ 两个 一个

(2)“p或q”,“p且q”形式命题的否定.

例 题
例 指出下列复合命题的形式及构成复合命 题的简单命题,并判断复合命题的真假。
(1)非空集合A∩B的元素,既是集合A的元素,也 是集合B的元素. (2)5≥3. (3)梯形的中位线平行于两底且等于两底之和. (4)正数或0的平方根是实数.

补 例 : 设 p: 方 程 x2+mx+1=0 有 两 个 不 等 的 负 根 ,q: 方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根 . 若 p 或 q 为 真,p且q为假,求m的取值范围.

解: 若方程x2+mx+1=0有两个不等的负根
? Δ ? m ?4 ? 0 则? ?? m ? 0
2

即 p: m>2 若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根

? ?m ? 2

则?=16(m-2)2-16<0,
即1<m<3

? ? q :1 ? m ? 3

? p或q为真,则p,q至少一个为真,又p且q为假,
则p,q至少一个为假

? p,q一真一假,p真q假或者p假q真 ?m ? 2 ?m ? 2 或? ?? 或m ? 3 ?m ? 1, ?1 ? m ? 3

?

m ? 3或1 ? m ? 2

弹性练习
1.设有两个命题,命题 p:关于 x 的不等式 (x ? 2) x2 ?3x ? 2 ≥0 的解集为 { x | x ≥ 2} ,命题 q:若函数 则?4 ? k ? 0, 那么正确 y ? kx 2 ? kx ? 1 的值恒小于 0, 说法的个数是(B) ①“﹁q”为假命题;②“﹁p”为真命题; ③“p∨q”为真命题;④“p∧q”为真命题 A.1 B.2 C.3 D.4

2.在一次投篮练习中,小王连投两次,设命题 p : “第一次投中”;命题 q :“第二次投中”.试用 p 、q 和 联接词 “ ∨、∧、﹁ ” 表示命题 “ 两次恰有一次投 中”:________. ( p ? ?q )∨( ? p ? q ) 3.已知 c>0,设 p:函数 y ? c x 在 R 上递减 ; q:函数
1 f (x) ? x ?cx 的最小值小于 ? .如果“ p ? q ”为真, 16 且 “ p?q” 为假, 则实数 c 的取值范围为_________.
2

? 1? ? 0, ? ? ?1, ?? ? ? 2?

小 结 小结 一、理解、体会三个逻辑联结词的含义;

二、掌握判断用“或”“且”“非”联结的 两个命题的真假的原则
p
真 真 假 假

q
真 假 真 假

非p
假 假 真 真

P且q
真 假 假 假

P或q
真 真 真 假

小结 三、如何判断一个复合命题的真假?

小 结

判断一个复合命题真假的步骤:
(1)确定复合命题的类型; (2)指出构成复合命题的简单命题; (3)根据复合命题的真值表得出结论。

注:
1、否命题与命题的否定的区别; 2、特殊命题的否定。

作业: 1、课本P18 习题1.3 A组 第2、3题; 2、《世纪金榜》完成到P14、P94。

6. 已知命题p:对任意x ? R, 函数y ? lg(2 ? m ? 1)
x

有意义,命题q:指数函数f ( x ) ? (5 ? 2m ) 是增函数 .
x

若“p ? q”为真,求实数m 的取值范围.

m ?1
7.已知p: 函数f(x)=logax是减函数,q: |x+2|-|x-1|≤a 对x∈R恒成立,若p∧q为假,且p∨q为真,求a 的范围.



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