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2.3等差数列的前n项和公式


等差数列的前n项和

德国古代著名数学家高斯10 岁的时候很快就解决了这个问题: 1+2+3+ …+100=?你知道高斯 是怎样算出来的吗?

高斯的算法
计算: 1+ 2+ 3 +… + 99 + 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100 个数可以分为50组: 中间的一 第一个数与最后一个数一组; 组数是什 首尾 么呢? 第二个数与倒数第二个数一组; 配对 第三个数与倒数第三个数一组,…… 相加 法 每组数的和均相等,都等于101,50个 101就等于5050了。高斯算法将加法问题 转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.

平行四 三角形 边形

若V形架的的最下面一层放一个珠子,往上每 一层都比它下面一层 多放一支,最上面 一层有很多支铅笔, 老师说有n支。问: 这个V形架上共放 着多少支铅笔? 问题就是: 1+ 2+ 3 +… + (n-1) + n 若用首尾配对相加法,需要分类讨论.

倒序相加法
计算: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ( n ? 1) ? n

n + (n-1) + (n-2) +…+
分析:这 其实是求 一个具体 的等差数 列前n项 和.

2 +1

① ②

2 ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? ( n ? 1) ? n ? ? n ? ( n ? 1)
? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ( n ? 1) ? n ? n ? ( n ? 1) 2

那么,对一般的等差数列,如何求它的 前n项和呢? 前n项和

如何才能将 等式的右边 已知等差数列{ an }的首项为a1,项数 化简?

倒序相加法

是n,第n项为an,求前n项和Sn .
? S n ? a1 ? a 2

? a3 ? ? ? an

① ②

S n ? an ? a

n ?1

? a n ? 2 ? ? ? a1

? 2 S n ? ? a1 ? a n ? ? ? a 2 ? a n ?1 ? ? ? a 3 ? a n ? 2 ? ? ? ? ? a n ? a1 ?

又 ? a1 ? a n ? a 2 ? a

n ?1

? a 3 ? a n ? 2 ? ? ? a n ? a1
即 Sn ? n ( a1 ? a n ) 2

? 2 S n ? n ( a1 ? a n )

求和公式 等差数列的前n项和的公式:
Sn ? n ( a1 ? a n ) 2 n ( n ? 1) 2

a n ? a 1 ? ( n ? 1) d

S n ? n a1 ?

d

2 S n ? n ( a1 ? a n )

Sn ?

n ( a1 ? a n ) 2
n ( n ? 1) 2

a n ? a 1 ? ( n ? 1) d

S n ? na 1 ?

d

1。对于这两个公式分别有四个未知数,如果

已知其中的任何三个可以求另外一个

2。请注意这两个公式的灵活运用

公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.

a1 n an
Sn ?

n ( a1 ? a n ) 2

公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.

a1 n a1 an (n-1)d
S n ? n a1 ?

n ( n ? 1) 2

d

将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.

例1:根据下列条件,求相应的等差数列?a n ? 的
(1) a 1 ? 5 , a n ? 95 , n ? 10 ;
? S 10 ? 10 ? ( 5 ? 95 ) 2 ? 500 .

S

Sn ?

n ( a1 ? a n ) 2
n ( n ? 1) 2 d

n

( 2 ) a 1 ? 100 , d ? ? 2 , n ? 50 ;
S 50 ? 50 ? 100 ? 50 50 ? 1 ) ( 2

S n ? na 1 ?

? ( ? 2 ) ? 2550

( 3 ) a 1 ? 14 . 5 , d ? 0 . 7 , a n ? 32 .
n ? 32 ? 14 . 5 0 .7 ? 1 ? 26 ,

? S 26 ?

26 ? (14 . 5 ? 32 ) 2

a n ? a 1 604 n5? 1) d ? ? (. .

例2、计算 提示: (1) 5+6+7+…+79+80 3230 n=76 (2) 1+3+5+?+(2n-1) n2 法二: (3)1-2+3-4+5-6+?+(2n-1)-2n -n n ?1 ? ? 2 n ? 1 ? ? ? ? 1 ? 2 ? 解 :? 3 ? 5 ? … + ? 2 n ? 1 ? ?
? n ? 2n

2

2 ? 3 ? 解 : 原 式 =1 ? 3 ? 5 ? … + ? 2 n ? 1 ? ? ? 2 + 4 + 6 + … + 2 n ?

? n

2

?

n ?1 ? ? 2 n ? 1 ? ? ? ? 2

?

n ?2 ? 2n ? 2

? n ? n ? n ? 1? ? ? n
2

例3、2000年11月14日教育部下发了《关于在 中小学实施“校校通”工程的通知》,某市据此提出 了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年 的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网。据测 算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万 元。为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金 都比上一年增加50万元。那么,从2001年起的未来10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少? 解:由题意,该市在“校校通”工程中每年投入 分析:①找关键句;②求什么,如何求; 的资金构成等差数列{an},且a1=500,d=50,n=10. 故,该市在未来10年内的总投入为:
S10 ? 1 0 ? 5 0 0 ? 1 0 ? ?1 0 ? 1 ? 2 ? 50 ? 7250 ?万 元

?



例4 求集合 M ? ?m | m ? 7 n , n ? N ? , 且 m ? 100 的元素个数,并求这些元素的和.
解:?

?

7 n ? 100

? n ?

100 7

? 14

2 7

所以集合M中的元素共有14个.

将它们从小到大列出,得

7 , 2 ? 7, 3 ? 7, 4 ? 7,


?,

14 ? 7 ,

7,14,21,28,…,98 这个数列是成等差数列,记为 ?a n ?
? a 1 ? 7 , a 14 ? 98 , n ? 14
? S 14 ? 14 ? ( 7 ? 98 ) 2 ? 735 .
Sn ? n ( a1 ? a n ) 2

答:集合M共有14个元素,它们的和等于735.

例5、已知一个等差数列的前10项的和是 310,前20项的和是1220,由此可以确定 求其前n项和的公式吗?
解:由于S10=310,S20=1220,将它们代 入公式 n ( n ? 1) 可得 所以
2 ? 1 0 a1 ? 4 5 d ? 3 1 0 ? ? 2 0 a1 ? 1 9 0 d ? 1 2 2 0 Sn ? n ? 4 ? n ( n ? 1) 2 S n ? n a1 ? d

? a1 ? 4 于是, ? ?d ? 6
2

? 6= 3 n ? n

例5、已知一个等差数列的前10项的和是 310,前20项的和是1220,由此可以确定 求其前n项和的公式吗? 另解: 1 0 S
? 1 0 ( a1 ? a1 0 ) 2 2 0 ( a1 ? a 2 0 ) 2 ? 3 1 0 ? a1 ? a1 0 ? 6 2 ① ? 1 2 2 0 ? a1 ? a 2 0 ? 1 2 2 ②

S 20 ?

两式相减得
?d ? 6
Sn

a 2 0 ? a1 0 ? 6 0

? 10d ? 60

a1 ? 4

( n ? 1) n 2 ? a1 n ? d ? 3n ? n 2

变式:已知?a n ? 为等差数列,前 10 项的和为 S 前 20 项的和 S 2 0 ? 3 0 , 求前 30 项的和 S 3 0 .

10

? 10,

设a1+a2+……+a10=A, a11+a12+……+a20=B, a21+a22+……+a30=C,

则A,B,C成等差数列,且A=10,A+B=30,
解得B=20, 所以C=30,

S30=A+B+C=60.

a1,a2,a3, … 成等差数列,若有 b1=a1+a2+a3+…+an; b2=an+1+an+2+an+3+…+a2n; b3=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n; ………… 则:b1,b2,b3, …成等差数列。 即原数列{an}的Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,… 成等 差数列。

练习1、 在 等 差 数 列 ? a n ? 中 ,
a1 ? 2 0 , a n ? 5 4 , S n ? 9 9 9 , 求 n .

仍是 知三 求一

答案: 27

提 示 :9 9 ? 9

n ? 20+54 ? 2

练习2、等差数列-10,-6,-2,2, …的前______项的和为54?

答案: n=9,或n=-3(舍去)
提 示 : d ? 4 ,? 5 4 ? ? 1 0 n ? ? n ? n ? 1? 2 ?4

练习3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若 a4=18-a5,则S8等于()A.18 B.36 C.54 D.72 D

课堂小结
(两个) 1.等差数列前n项和的公式;
Sn ? n ( a1 ? a n ) 2 S n ? n a1 ? n ( n ? 1) 2 d

2.等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法;

3.公式的应用(知三求一)。

课后作业
1.教材P46 A组1(3)(4),2,3,4,5,6

2. 在等差数列{an}中,
(1)已知a2+a5+a12+a15=36,求a16+a1;

(2)已知a6=20, 求S11.
3.在等差数列{an}中,

(1)若a1+a2=p,a3+a4=q.求其前6项的和S6;
(2)若a2+a4=p,a3+a5=q.求其前6项的和S6;

2.(1)18(2)220 3. (1) 3q (2)3(p+q)/2


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