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三角函数综合测试题(含答案)


三角函数综合测试题
学生: 用时: 分数

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 18 小题, 每小题 3 分,共 54 分) 1.(08 全国一 6) y ? (sin x ? cos x)2 ? 1是 A.最小正周期为 2 π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 B.最小正周期为 2 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数 ( )

2.(08 全国一 9)为得到函数 y ? cos ? x ?

? ?

π? ? 的图象,只需将函数 y ? sin x 的图像( 3?



π 个长度单位 6 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

π 个长度单位 6 5π D.向右平移 个长度单位 6
B.向右平移 ( )

3.(08 全国二 1)若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 是,则 ? 是 A.第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

4.(08 全国二 10) .函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最大值为 A.1 B.

( D.2 (



2

C. 3

5.(08 安徽卷 8)函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ?

?
3

) 图像的对称轴方程可能是
C. x ?



?
6

12 ? 6. (08 福建卷 7) 函数 y=cosx(x∈R)的图象向左平移 个单位后, 得到函数 y=g(x)的图象, 2
则 g(x)的解析式为 A.-sinx B.sinx C.-cosx
2

B. x ? ?

?
12

?
6

D. x ?

?

( D.cosx (

)

7.(08 广东卷 5)已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin x, x ? R ,则 f ( x ) 是 A、最小正周期为 ? 的奇函数 C、最小正周期为 ? 的偶函数



? 的奇函数 2 ? D、最小正周期为 的偶函数 2
B、最小正周期为 ( )

8.(08 海南卷 11)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为

A. -3,1

B. -2,2

C. -3,

3 2

D. -2,

9.(08 湖北卷 7)将函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象 F 向右平移

, 则 ? 的一个可能取值是 1 5 5 11 A. ? B. ? ? C. ? 12 12 12 sin x 10.(08 江西卷 6)函数 f ( x) ? 是 x sin x ? 2sin 2
F′的一条对称轴是直线 x ?
A.以 4? 为周期的偶函数 C.以 2? 为周期的偶函数

?

? 个单位长度得到图象 F′,若 3
( D. ? )

3 2

11 ? 12
( )

B.以 2? 为周期的奇函数 D.以 4? 为周期的奇函数

11. 若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M ,N 两点,则

MN 的最大值为
A.1 B. 2 C. 3 D.2





12.(08 山东卷 10)已知 cos ? ? ?

? ?

π? 4 7π ? ? 3 ,则 sin ? ? ? ? 的值是( ? ? sin ? ? 6? 5 6 ? ?
C. ?



A. ?

2 3 5

B.

2 3 5

4 5

D.

4 5
( )

13.(08 陕西卷 1) sin 330? 等于 A. ?

3 2

B. ?

1 2
2

C.

1 2

D.

3 2
( )

14.(08 四川卷 4) ? tan x ? cot x ? cos x ? A. tan x B. sin x C. cos x D. cot x

15.(08 天津卷 6)把函数 y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点向左平行移动 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 数是 A. y ? sin ? 2 x ?

? 个单位长度, 3

1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函 2
( )

? ? ? ?

?? ?,x ? R 3? ?? ?,x ? R 3?

B. y ? sin ?

? x ?? ? ?,x ? R ?2 6? ?? ? ?,x ? R 3 ?

C. y ? sin ? 2 x ?

D. y ? sin ? 2 x ?

? ?

16.(08 天津卷 9)设 a ? sin A. a ? b ? c

2? 5? 2? , b ? cos , c ? tan ,则 7 7 7
C. b ? c ? a D. b ? a ? c





B. a ? c ? b

17.(08 浙江卷 2)函数 y ? (sin x ? cos x)2 ? 1 的最小正周期是 A.





? 2

B. ?

C.

3? 2

D. 2?

18.(08 浙江卷 7)在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos( 直线 y ? A.0 1-18 题答案: 1.D 11.B 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 15.C 7.D 8.C 9.A 10.A 16.D 17.B 18.C

x 3? ? )( x ? [0, 2? ]) 的图象和 2 2
( )

1 的交点个数是 2
B.1 C.2

D.4

12.C 13.B

14.D

二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分). 19.(08 北京卷 9)若角 ? 的终边经过点 P(1 , ? 2) ,则 tan 2? 的值为 20. (08 江苏卷 1)f ? x ? ? cos ? ? x ? .

? ?

??

? 其中 ? ? 0 , 则? = ? 的最小正周期为 5 , 6?
2sin 2 x ? 1 的最小值为 sin 2 x




21.(08 辽宁卷 16)设 x ? ? 0, ? ,则函数 y ? 22.(08 浙江卷 12)若 sin(

? ?

?? 2?

?

3 ? ? ) ? ,则 cos 2? ? _________。 2 5

? 23.(08 上海卷 6)函数 f(x)= 3sin x +sin( +x)的最大值是 2 19-23 题答案: 19.

4 3

20. 10

21. 3

22. ?

7 25

23.2

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 8 小题,共 81 分) 24. (08 四川卷 17)求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x 的最大值与最小值。
2 4

24. 解: y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x
2 4

? 7 ? 2sin 2 x ? 4 cos 2 x ?1 ? cos 2 x ?

? 7 ? 2sin 2 x ? 4cos2 x sin 2 x

? 7 ? 2sin 2 x ? sin 2 2 x
? ?1 ? sin 2 x ? ? 6
2

由于函数 z ? ? u ? 1? ? 6 在 ??11 , ? 中的最大值为
2

zmax ? ? ?1 ? 1? ? 6 ? 10
2

最小值为

zmin ? ?1 ? 1? ? 6 ? 6
2

故当 sin 2 x ? ?1时 y 取得最大值 10 ,当 sin 2 x ? 1 时 y 取得最小值 6 【点评】 :此题重点考察三角函数基本公式的变形,配方法,符合函数的值域及最值; 【突破】 :利用倍角公式降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关 键; 25. (08 北京卷 15)已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ?

? ?

π? ? ( ? ? 0 )的最小 2?

正周期为 π . (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3 25. 解: (Ⅰ) f ( x) ?

? 2π ? ? ?

1 ? cos 2? x 3 3 1 1 ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2 2 2

π? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? . 6? 2 ?
因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 , 所以

2π ? π ,解得 ? ? 1 . 2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

π? 1 ?? . 6? 2

2π , 3 π π 7π 所以 ? ≤ 2 x ? ≤ , 6 6 6
因为 0 ≤ x ≤ 所以 ?

1 π? ≤ sin ? ? 2 x ? ? ≤1 , 2 6? ? ? ? π? 1 3 ? 3? ? ? ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? . 6? 2 2 ? 2?

因此 0 ≤ sin ? 2 x ?

26. (08 天津卷 17)已知函数 f ( x) ? 2cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1 ( x ? R, ? ? 0 )的 最小值正周期是

? . (Ⅰ)求 ? 的值; 2
(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值,并且求使 f ( x ) 取得最大值的 x 的集合.

26. 解:

f ?x ? ? 2 ?

1 ? cos 2?x ? sin 2?x ? 1 2 ? sin 2?x ? cos 2?x ? 2

? ?? ? ? 2 ? sin 2?x cos ? cos 2?x sin ? ? 2 4 4? ? ?? ? ? 2 sin ? 2?x ? ? ? 2 4? ?
由题设,函数 f ?x ? 的最小正周期是 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ?x ? ?

? 2? ? ? ,所以 ? ? 2 . ,可得 2 2? 2

?? ? 2 sin? 4 x ? ? ? 2 . 4? ?
?
16 ? k? ?? ?k ? Z ? 时, sin ? ? 4 x ? ? 取得最大值 1,所以函数 2 4? ?

当 4x ?

?
4

?

?
2

? 2k? ,即 x ?

? k? ? ? f ?x ? 的最大值是 2 ? 2 ,此时 x 的集合为 ? x | x ? ? ,k ? Z? 16 2 ? ?
27. (08 安徽卷 17)已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [? 27. 解: (1)

, ] 上的值域 12 2

? ?

f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2

(2)

x ? [?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6

? ?

? sin(2 x ? ) 6

?

∴周期T ?

2? ?? 2

因为 f ( x) ? sin(2 x ? 所以 当x?

?

?
3

6

) 在区间 [?

, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 3 2 12 3

? ?

? ?

时, f ( x ) 取最大值 1



f (?

?
12

)??

? 3 ? 1 3 ? f ( ) ? ,∴ 当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 12 2 2 2 2
3 , ] 上的值域为 [? ,1] 12 2 2
x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

所以 函数 f ( x ) 在区间 [?

? ?

28. (08 陕西卷 17)已知函数 f ( x) ? 2sin (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ?

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3?
x x ? x π? ? 3 cos ? 2sin ? ? ? . 2 2 ?2 3?

28. 解: (Ⅰ)

f ( x) ? sin

? f ( x) 的最小正周期 T ?

2π ? 4π . 1 2

当 sin ?

? x π? ? x π? ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最小值 ?2 ;当 sin ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最大值 2. ?2 3? ?2 3? π? ? x π? ? ? ? .又 g ( x) ? f ? x ? ? . 3? ?2 3? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin ?

x ?1 ? π ? π? ? x π? ? g ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 2 cos . 2 3 ? 3? ?2 2? ?2 ?

x ? x? g (? x) ? 2cos ? ? ? ? 2cos ? g ( x) . 2 ? 2?
? 函数 g ( x) 是偶函数.
29. 在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 sin B(tan A ? tan C ) ? tan A tan C . (Ⅰ)求证: a , b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S.

解:(I)由已知得:
sin B(sin A cos C ? cos A sin C ) ? sin A sin C , sin B sin( A ? C ) ? sin A sin C , sin 2 B ? sin A sin C ,

再由正弦定理可得: b 2 ? ac , 所以 a , b, c 成等比数列. (II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b2 ? ac ? 2 , ∴ cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? , 2ac 4
7 , 4 1 1 7 7 ac sin B ? ? 1 ? 2 ? ? . 2 2 4 4

sin C ? 1 ? cos 2 C ?

∴△ ABC 的面积 S ?

30. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? 间的距离为

?
6

) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之

? , 2

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值 2 2

?

解:( 1) A ? 1 ? 3, ? A ? 2,又 函数图象相邻对称轴间的距离为半个周期, T ? 2? ? ? ? .T ? ? .?? ? ? 2, ? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1. 2 2 T 6

? ? ? 1 (2) f ( ) ? 2sin(? ? ) ? 1 ? 2,? sin(? ? ) ? , 2 6 6 2
0 ?? ?

?
2

,??

?
6
2

?? ?

?
6

?

?
3

,?? ?

?
6

?

?
6

,?? ?

?
3

.

31.已知函数 f ( x) ? cos

x x x 1 ? sin cos ? . 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域;

3 2 ,求 sin 2? 的值. 10 x x 1 2 x ? sin cos ? (1)由已知,f(x)= cos 2 2 2 2 1 1 1 ? ( 1 ? cosx ) ? sinx ? 2 2 2
(Ⅱ)若 f (? ) ?

?

2 ? cos(x ? ) 2 4
? ? 2 ,2 ? , ? 2 2 ? ?

所以 f(x)的最小正周期为 2 ? ,值域为 ? ?

(2)由(1)知,f( ? )= 所以 cos( ? ?

2 ? 3 2 cos(? ? ) ? , 2 4 10

?
4

?

3 ). 5

2 ? 18 7 2 ? 1 ? 2cos( ?? ) ? 1? ? , 4 25 25

所以 sin 2? ? ?cos (

?

? 2?) ? ?cos ( 2 ??

?
4




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