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高中数学3



1.已知⊙ O1 和⊙ O2 的半径分别是一元二次方程 x ? 2 x ?
2

8 ? 0 的两根且 O1O2 ? 1 ,则⊙ 9

O1 和⊙ O2 的位置关系是_________.
2.某梯子与地面所成的角α 满足 45°≤α ≤60°时,人可以安全地爬上斜靠在墙面上的梯 子的顶端现有—个长 6 米的梯子,则使用这

个梯子最高可以安全爬上_________米高的墙. 3 .正比例函数 y1 ? k1 x 与反比例函数 y2 ?

k2 ( x ? 0) 在同一平面直角坐标系中的图象如 x

图所示,则当 y1 ? y2 时 x 的取值范围是_________. 4、 如图, 把矩形 ABCD 沿 EF 折叠, 使点 B 落在边 AD 上的点 B 处, 点 A 落在点 A 处. 若 AE=a、 AB=b、BF=C,请写出 a、b、c 之问的一个等量关系_________.
'

'

5.一个圆锥的侧面展开图是一个半圆,则此圆锥母线长与底面半径之比为( ) A.2:1 B.1:2 C.3:1 D.1:3 6.如图 1,在矩形 ABCD 中,动点 P 从点 B 出发,沿 BC、CD、DA 运动至点 A 停止,设点 P 运动的路程为 x ,△ABP 的面积为 y,如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示,则矩形 ABCD 的 面积是( )

A.10

8.16

C. 20

D.36

7.(8 分)先化简。褥求值: (1 ?

3 x2 ? 2 x ? 1 )? ,其中 x ? 1 ? 2 。 x?2 x?2

8.如图菱形 ABCD 的边长为 2,对角线 BD=2, E、 F 分别是 AD、 CD 上的两个动点, 且满足 AE+CF=2. (1)求证:△BDF≌△BCF; (2)判断△BEF 的形状,并说明理由。同时指出△BCF 是由△BDE 经过如何变换得到?

9.(10 分)已知,如图在矩形 ABCD 中,点 0 在对角线 AC 上,以 OA 长为半径的圆 0 与 AD、 AC 分别交于点 E、F。∠ACB=∠DCE. (1)判断直线 CE 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论; (2)若 tan∠ACB=

2 ,BC=2,求⊙O 的半径. 2

10.(10 分)某工厂计划招聘 A、B 两个工种的工人共 120 人,A、B 两个工种的工人月工资分 别为 800 元和 1000 元. (1)若某工厂每月支付的工人工资为 ll000O 元, 那么 A、 B 两个工种的工人各招聘多少人? 设招聘 A 工种的工人 x 人。根据题设完成下列表格,并列方程求解. (2)若要求 B 工种的人数不少于 A 工种人数的 2 倍,那么招聘 A 工种的工人多少人时,可 使工厂每月支付的工人工资最少?

11.(12 分)(1)已知,如图 l,△ABC 的周长为 l ,面积为 S,其内切圆圆心为 0,半径为 r, 求证: r ?

2S ; l

(2)已知,如图 2,△ABC 中,A、B、C 三点的坐标分别为 A(一 3,O)、B(3,0)、C(0,4).若 △ABC 内心为 D。求点 D 坐标; (3)与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆,叫旁切圆,圆心叫旁心.请求出条件(2) 中的△ABC 位于第一象限的旁心的坐标。

12.(14 分)已知,如图抛物线 y ? ax2 ? 3ax ? c(a ? 0) 与 y 轴交于 C 点,与 x 轴交于 A、B 两点,A 点在 B 点左侧。点 B 的坐标为(1,0),OC=30B. (1)求抛物线的解析式; (2)若点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点,求四边形 ABCD 面积的最大值: (3)若点 E 在 x 轴上,点 P 在抛物线上。是否存在以 A、C、E、P 为顶点且以 AC 为一边的 平行四边形?若存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

11.证明(Ⅱ)连接 0A、OB、OC,设 AABC 的三边分别为 a、b、c 则:

S ? S? OAC ? S? OBC ? S? OAB …………………………1 分
1 1 1 br ? ar ? cr 2 2 2 1 1 = ( a ? b ? c )r ? lr 2 2 2S ∴r ? ………………………3 分 l
= (2)∵A(一 3,O),8(3,O),C(0,4) ∴AB=6,AC=BC=5 ………………………4 分

1 AB ? OC ? 12 ………………………5 分 2 2 S 2 ? 12 3 3 ? ? ,得 D(0, ) ……………………6 分 由条件(1)得: r ? l 16 2 2 l ? AB ? AC ? BC ? 16,S ?
(3)方法一:设∠B 和∠C 的外角平分线交于点 P,则点 P 为旁心…………………7 分 ∵∠MCB=2∠PCB=2∠CBA ∴∠PCB=∠CBA ∴CP∥AB …………………8 分 过点 P 分别为作 PE⊥x 轴于 E,PF⊥CB 于 F,则 PF=PE=OC=4…………………10 分 在 Rt△PFC 中,
PC ? PF PF 4 ? ? ?5 sin ?PCF sin ?CBO 4 5

∴P(5,4) …………………12 分 方法二:过点 B 作∠B 的外角平分线交 AD 的延长线于点 P,则点 P 为旁心,………7 分 过点 P 作 PE⊥x 轴于 E,连接 BD,令 P(a,b) 由∠1=∠2,∠3=∠4 得: ∠1+∠4=∠2+∠3=90° ∴Rt△DOB∽Rt△BEP,∴

b 3 ? a ?3 3 2

化简得: b ? 2a ? 6 (1)………9 分 由 Rt△AOD∽Rt△AEP 得:

3 3 ?2 a?3 b 化简得: 2b ? a ? 3

(2)………11 分 联立(1) 、 (2)解得 a ? 5,b ? 4 ,∴P(5,4)

12.解: (1)∵对称轴 x ? ?

3a 3 ? ? ………1 分 2a 2 又∵OC=3OB=3, a ? 0 ,
∴C(0,-3)………2 分 方法一:把 B(1,0)、C(0,-3)代入 y ? ax2 ? 3ax ? c 得:

?c ? ?3 3 解得: a ? ,c ? ?3 ? 4 ?a ? 3a ? c ? 0
∴y?

3 2 9 x ? x ? 3 …………………4 分 4 4
把 C(0,-3)代入得:

方法二:∵B(1,0) ,∴A(-4,0) 可令 y ? a( x ? 4)( x ? 1)

a?

3 4

∴y?

3 ( x ? 4)( x ? 1) ………………4 分 4 3 9 ? x2 ? x ? 3 4 4

(2)方法一:过点 D 作 DM∥y 轴分别交线段 AC 和 x 轴于点 M、N。 ∵ S四边形ABCD=S? ABC ? S? ACD ==

15 1 15 ? ? DM ? ( AN ? ON ) ? ? 2 DM ……………5 分 2 2 2

∵A(-4,0),C(0,-3) 设直线 AC 的解析式为 y ? kx ? b

3 x ? 3 ……………6 分 4 3 2 9 3 ? x ? 3) 令 D ( x, x ? x ? 3) , M ( x, 4 4 4 3 3 2 9 3 DM ? ? x ? 3 ? ( x ? x ? 3) ? ? ( x ? 2) 2 ? 3 4 4 4 4 当 x ? ?2 时,DM 有最大值 3 27 此时四边形 ABCD 面积有最大值 。…………8 分 2
代入求得: y ?

…………7 分

方法二:过点 D 作 DQ⊥y 轴于 Q,过点 C 作 CC1 ∥x 轴交抛物线于 C1 ,从 图象中可判断当嗲 D 在 CC1 下方的抛物线上运动时,四边形 ABCD 才有最大值。 则 S四边形ABCD=S? OBC ? S梯形AOQD-S? DQC =

3 1 1 ? ? (4 ? DQ) ? OQ ? ? DQ ? (OQ ? 3) 2 2 2

3 3 ? 2OQ ? DQ …………5 分 2 2 3 2 9 令 D ( x, x ? x ? 3) 4 4 3 3 2 9 3 3 27 2 则 S四边形ABCD= ? 2( x ? x ? 3) ? x ? ? ( x ? 2) ? …………7 分 2 4 4 2 2 2 27 当 x ? ?2 时,四边形 ABCD 面积有最大值 。…………8 分 2
= (3)如图所示,讨论:①过点 C 作 CP 1 ∥x 轴交抛物线于点 P 1 ,过点 P 1 作 PE 1 1 ∥AC 交 x 轴 于点 E1 ,此时四边形 ACPE 1 1 为平行四边形,…………9 分 ∵C(0,-3) 令

3 2 9 x ? x ? 3 ? ?3 得: 4 4

x1 ? 0,x2 ? 3
∴ CP , ? 3) 1 ? 3 。∴ P 1 (?3

②平移直线 AC 交 x 轴于点 E,交 x 轴上方的抛物线于点 P,当 AC=PE 时,四边形 ACEP 为平 行四边形,∵C(0,-3)

3) ,由 ∴可令 P( x,

3 2 9 x ? x ? 3 ? 3 得: 4 4

x 2 ? 3x ? 8 ? 0
解 得 x?

?3 ? 2

4 1

或 x?

?3 ? 41 ?3 ? 41 , 3) 和 , 此 时 存 在 点 P2 ( 2 2

P3 (

?3- 41 , 3) 2

…………14 分

综上所述存在 3 个点符合题意,坐标分别是 P , ? 3) , P2 ( 1 (?3

?3 ? 41 , 3) , 2

P3 (

?3- 41 , 3) 2