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3.2空间向量解决平行垂直问题



3.2.1 立体几何中的向量方法
——方向向量与法向量

一、方向向量与法向量
? 如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a ? 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。

1.直线的方向向量

换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量

A?

/>
?

l

? a

P

直线l的向量式方程

??? ? ? AP ? ta

2、平面的法向量

换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面

的法向量
平面 α的向量式方程

l

? ??? ? a?AP ? 0

? a

?

A
P

例1. 如图所示, 正方体的棱长为1 (1,0,0) (1)直线OA的一个方向向量坐标为___________ (2)平面OABC 的一个法向量坐标为___________ (0,0,1) (-1,-1,1) (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为___________

z
O1 A1 B1 C1

o
A B

C

y

x

例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , ? C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n ? (4, 3, 6)
? 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 则 n ? AB , n ? AC .∵ AB ? (?3,4,0) , AC ? (?3,0, 2)

3 ? y? x ?( x, y, z ) ? ( ?3,4,0) ? 0 ? ?3 x ? 4 y ? 0 ? ? 4 ∴? 即? ∴ ? ( x , y , z ) ? ( ? 3,0, 2) ? 0 ? 3 x ? 2 z ? 0 ? ? 3 ? z? x ? ? ? 2 取 x ? 4 ,则 n ? (4, 3,6) ? ∴ n ? (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量.

总结:如何求平面的法向量 ?

⑴设平面的法向量为 n ? ( x, y, z )
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 ? ? 坐标 a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 )

⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程 ? ? ? ?n ? a ? 0 组 ?? ? ? ?n ? b ? 0

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

用向量方法解决立体问题

因为方向向量与法向量可以确定 直线和平面的位置,所以我们可以利 用直线的方向向量与平面的法向量表 示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角、距离等位置关系.

二、 立体几何中的向量方法
——证明平行与垂直

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
(一). 平行关系: ? ? ? ? (1) l / / m ? a / / b ? a ? ? b ;
? a ? b

l
m

? ? ? ? (2) l / /? ? ① a ? u ? a ? u ? 0 ;
? u
α

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则

? a

? ??? ? ? ② a∥AC

? ??? ? ???? ? ③ a ? xAB ? y AD

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
? ? ? ? (3) ? / / ? ? ① u / / v ? u ? ? v.
? u
α

? ? u??

? v

β

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
(二)、垂直关系:

? ? ? ? (1) l ? m ? a ? b ? a ? b ? 0
l
? a ? b

m

?? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b , ?? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则 ? ? ? ? (2) l ? ? ? a // u ? a ? ? u
l
? a

? u
C A

?

B

?? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b , ?? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则 ? ? ? ? (3)? ? ? ? u ? v ? u ? v ? 0
β

? u

? v

α

? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u, v ,则 ? ? ? ? 线线平行 l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ; ? ? ? ? 线面平行 l ∥ ? ? a ? u ? a ? u ? 0 ; ? ? ? ? 面面平行 ? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv .
? 设直线l的方向向量为a ? (a1 , b1 , c1 ), 平面?的 注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行 ? 法向量为 包括线在面内,面面平行包括面面重合 . ? u ??(a2 , b2 , c2 ),则 l // ? ? a ? u ? 0 ? a1a2 ? b1b2 ? c1c2 ? 0;

四、平行关系:

五、垂直关系: ? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u, v ,则 ? ? ? ? 线线垂直 l ⊥ m ? a ⊥ b ? a ? b ? 0 ; ? ? ? ? 线面垂直 l ⊥ ? ? a ∥ u ? a ? ku ; 面面垂直 ? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0.
? ? 若a ? (a1, b1, c1 ), u ? (a2 , b2 , c2 ),则 ? ? ? ? l ? ? ? a // u ? a ? ku ? a1 ? ka2 , b1 ? kb2 , c1 ? kc2 .

? ? a1 b1 c1 当a2 , b2 , c2 ? 0时,a // u ? ? ? a2 b2 c2

例1 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方 形, PD⊥底面ABCD,PD=DC=6, E是PB的

中点,DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证:AE//FG. 证 :如图所示, 建立 Z E(3,3,3), 空间直角坐标系. A(6,0,0), P

F(2,2,0), G(0,4,2), ?? ? ?? ? AE =(-3, 3, 3), FG =(-2, 2, 2) ??? 3 ?? ? ?? ? ?? ? AE = FG AE // FG 2 AE//FG
A X

几何法呢?

E
D

G
C Y

F

B

例3 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正 方形,PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 中点, (1)求证:PA//平面EDB.
Z

法1 几何法

P E

D A X
G

C B

Y

法2:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1
(1)证明:连结AC,AC交BD于点G,连结EG

依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1), 1 1 1 1 E (0, , ) G( , ,0) 2 2 2 2 ??? ? ??? ? 1 1 PA ? (1, 0, ?1), EG ? ( , 0, ? ) 2 2

Z

P E

所以PA ? 2EG ,即PA// EG

而EG ? 平面EDB, 且PA ? 平面EDB
所以,PA// 平面EDB
A X D
G

C B

Y

法3:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1

1 1 1,0) 依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1, (1)证明: 2 2 ??? ? ???? ?? ? 1 1 PA ? (1,0, ?1), DE ? (0, , ) Z DB =(1, 1,0) 2 2

? 设平面EDB的法向量为 n ? ( x, y,1) P ? ??? ? ? ??? ? 则n ? DE, n ? DB
1 ?1 ? y? ?0 ? 于是 ? 2 ? n ? ?1, ? 1, 1? 2 ? ?x ? y ? 0

E

??? ?? ??? ? ? ? PA? n ? 0 ? PA ? n

而PA ? 平面EDB
所以,PA// 平面EDB

D A X B

C

Y

法4:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1

1 1 1,0) 依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1, (1)证明: 2 2 ??? ? ???? ?? ? 1 1 PA ? (1,0, ?1), DE ? (0, , ) Z DB =(1, 1,0) 2 2

??? ? ??? ? ??? ? 设PA ? xDE ? yDB

P E

解得 x=-2,y=1 ??? ? ??? ? ??? ? 即PA ? ?2DE ? DB ??? ? ??? ? ??? ? 于是PA 、 DE、 DB共面
而PA ? 平面EDB
所以,PA// 平面EDB
A X D

C B

Y

例2

正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F分别

是BB1,,CD中点,求证:D1F ? 平面ADE. 正交 基底,建立如图所示坐标系D-xyz,
??? ? ???? 1 DA ? (1, 0, 0), DE ? (1,1, , ) 2 ???? ? 1 D1 F ? (0, , ?1) 2
D1

??? ? ???? ???? ? 以DA??, ??DC??,??DD1为单位 证明:设正方体棱长为1,

z

C1 B1 E

???? ??? ? ???? ??? ? 则 DF , ?? DF 1 ? DA ? 0?? 1 ? DE ? 0 ???? ??? ? ???? ??? ? 则 DF ?, ?? DF . 1 ? DA 1 ? DE
所以

A1

D A
x

F B

C y

D1F ? 平面ADE

变式:正四棱柱AC1中,AA1 ? 3 AB ? 3,E为BB1中点 在DC上找一点F 使得D1F ? 面DAE
z
D1

C1

A1

B1

E D F C y B

A
x

例3 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,E是AA1中点, 求证:平面EBD ? 平面C1BD. 证明: 设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系 z E(0,0,1) B(2,0,0) D(0,2,0)

??? ? EB ? (2,0, ?1) ??? ? ED ? (0,2, ?1)

E y x

设平面EBD的一个法向量是

? ??? ? ? ??? ? 由u ? EB ? u ? ED ? 0

? u ? ( x, y,1)

? ? ???? 1 1 得u ? ( , ,1) 平面C1BD的一个法向量是 v ? CA ? (?1, ?1,1) 1 ? ? 2 2

u ? v ? 0,

平面EBD ? 平面C1BD.

期中22.如图,四棱锥S—ABCD的底面是正方形,每条 侧棱的长都是底面边长的 2 倍,P为侧棱SD上的点. (2)若SD⊥平面PAC,求二面角P—AC—D的大小; z
(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E, 使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC 的值

解:(3)建系如图,设AB=1,则
6 2 2 2 S (0, 0, ) 0) D(? B( , 0, 0) C (0, , , 0, 0) 2 2 2 2 ??? ??? ? 2 6 设SE ? ? SC ? (0, ?,?) ??? ? ??? ? ??? 2 2 22 6 则BE ? BS ? SE ? (? , ?, (1 ? ? )) 2 2 2 由BE / /面PAC,且面PAC的法向量 ??? ? 2 6 为SD ? (? , 0, ? )得 ??? ? ??? ? 12 3 2 x BE ? SD ? ? 0 ? (1 ? ? ) ? 0 ? 2 2 ??? 2 2 ??? 故SE ? SC即SE:EC=2:1 故? = 3 3

E

y

课后作业
1.如图,四边形ABCD为菱形,?ABC ? 120 DF ? 平面ABCD,BE ? 2 DF , AE ? EC (1)证明:平面AEC ? 平面AFC (2)求直线AE与CF 成角余弦值
E
F
0

E , F 是平面ABCD同一侧的两点,BE ? 平面ABCD

A

D C

B



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