9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

辽宁省鞍山一中2015届高三一模数学(理)试卷



辽宁省鞍山市 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分 1.已知集合 M={x|﹣3<x<1},N={x|x≤﹣3},则集合{x|x≥1}=( A.M∩N 2.复数 A. B.M∪N 的虚部是( B. ) C. D. C.?R(M∩N)

) D.?R(M∪N)

3.已知递增等比数列{an}

满足 a3?a7=6,a2+a8=5,则 A. B. C.

=(

)

D.

4.已知空间中不共面的四点 A,B,C,D 及平面 α,下列说法正确的是( ) A.直线 AB,CD 可能平行 B.直线 AB,CD 可能相交 C.直线 AB,CD 可能都与 α 平行 D.直线 AB,CD 可能都与 α 垂直 5.命题“?x∈R,使得 x <1”的否定是( 2 A.?x∈R,都有 x <1 2 C.?x∈R,使得 x ≥1
2 2 2

) B.?x∈R,都有 x≤﹣1 或 x≥1 2 D.?x∈R,使得 x >1

6.直线 ax+by+a+b=0 与圆 x +y =2 的位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离 7.若 a= A.10 sinxdx,则(x+ ) (ax﹣1) 的展开式中的常数项为( B.20 C.﹣10
5

D.相交或相切 ) D.﹣20 )

8.一个算法的程序框图如图,若该程序输出结果为 6,则判断框内 m 的取值范围是(

A. (12,20]

B. (20,30]

C. (30,42]

D. (12,42]

9.已知△ ABD 是等边三角形,且 ( A. ) B.



,那么四边形 ABCD 的面积为

C.

D.

10.已知函数 f(x)= 则 f(lglg2)的值为( ) A.8 B.4

+b+6,其中,a,b 为常数,a>1,b≠0,若 f(lglog210)=8,

C.﹣8

D.﹣4

11.棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么 该几何体的表面积是( )

A.12+4

B.17
x

C.12+2

D.12

12.已知函数 f(x)=e ,g(x)=ln + ,对任意 a∈R 存在 b∈(0,+∞)使 f(a)=g(b) , 则 b﹣a 的最小值为( A.2 ﹣1 ) B.e ﹣
2

C.2﹣ln2

D.2+ln2

二、填空题:每小题 5 分,共 20 分 13.设 x,y 满足线性约束条件 ,则 x+2y 的取值范围是__________.

14.在等差数列{an}中, 数的 n=__________.

<﹣1,若它的前 n 项和 Sn 有最大值,则使 Sn 取得最小正

15. 现有 5 双不同号码的鞋, 从中任意取出 4 只, 则恰好只能配出一双的概率为__________.

16.设 A,B 分别为椭圆

+

=1(a>b>0)和双曲线



=1 的公共顶点,P,M 分

别为双曲线和椭圆上异于 A,B 的两动点,且满足 + = ,其中 λ∈R,|λ| >1, 设直线 AP, BP, AM, BM 的斜率分别为 k1, k2, k3, k4 且 k1+k2=5, 则 k3+k4=__________.

三、解答题 17.已知函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间 上的值域. .

18. 如图, 几何体 EF﹣ABCD 中, CDEF 为边长为 1 的正方形, ABCD 为直角梯形, AB∥CD, CD⊥BC,BC=1,AB=2,∠BCF=90° (Ⅰ)求成:BD⊥AE (Ⅱ)求二面角 B﹣AE﹣D 的大小.

19.某大学对参加了“世博会”的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核,因该批志愿者表 现良好,该大学决定考核只有合格和优秀两个等次,若某志愿者考核为合格,授予 0.5 个学 分;考核为优秀,授予 1 个学分.假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为 、 、 ,他们考核所得的等次相互独立. (Ⅰ)求在这次考核中,志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率; (Ⅱ)记这这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量 ξ,求随机变量 ξ 的 分布列和数学期望 Eξ.

20.已知椭圆

的左、右焦点分别为 F1、F2,短轴两个端点为 A、B,

且四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形.

(1)求椭圆的方程; (2)若 C、D 分别是椭圆长的左、右端点,动点 M 满足 MD⊥CD,连接 CM,交椭圆于点 P.证明: 为定值.

(3)在(2)的条件下,试问 x 轴上是否存异于点 C 的定点 Q,使得以 MP 为直径的圆恒 过直线 DP、MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

21.已知函数 (I)求 f(x)的极值; (II)若?x1∈(0,+∞) ,?x2∈[1,2]使 (III)已知



成立,求 a 的取值范围;



四、选做题选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,AB 是圆 O 的直径,C 是半径 OB 的中点,D 是 OB 延长线上一点,且 BD=OB, 直线 MD 与圆 O 相交于点 M,T(不与 A,B 重合) ,连结 MC,MB,OT. (Ⅰ)求证:MTCO 四点共圆; (Ⅱ)求证:MD=2MC.

五、选修 4-4:坐标系与参数方程 23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的方程为(x﹣1) +(y﹣1) =2,直线 l 的倾斜角为 45° 且经过点 P(﹣1,0) (Ⅰ)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方程 2 2 (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于两点 A,B,求|PA| +|PB| 的值.
2 2

六、选修 4-5:不等式选讲 2 24.设函数 f(x)=x ﹣2x 2 (Ⅰ)解不等式|f(x)|+|x +2x|≥6|x|; (Ⅱ)若实数 a 满足|x﹣a|<1,求证:|f(x)﹣f(a)|<2|a|+3.

辽宁省鞍山市 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分 1.已知集合 M={x|﹣3<x<1},N={x|x≤﹣3},则集合{x|x≥1}=( A.M∩N B.M∪N C.?R(M∩N)

)

D.?R(M∪N)

考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:根据题意和交、并、补集的运算,分别求出 M∩N、M∪N、?R(M∩N) 、?R(M∪N) , 即可得答案 解答: 解:因为集合 M={x|﹣3<x<1},N={x|x≤﹣3}, 所以 M∩N=?, M∪N={x|x<1}, 则?R(M∩N)=R, ?R(M∪N)={x|x≥1}, 故选:D. 点评:本题考查集合的交、并、补集的混合运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 2.复数 A. 的虚部是( B. ) C. D.

考点:复数的代数表示法及其几何意义. 分析:本小题主要考查复数的相关运算及虚部概念. 解答: 解:依题: 故选 B. .∴虚部为 .

点评:本题是对基本概念的考查.

3.已知递增等比数列{an}满足 a3?a7=6,a2+a8=5,则 A. B. C.

=(

)

D.

考点:等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:利用等比数列的性质及其通项公式即可得出. 解答: 解:递增等比数列{an}满足 a3?a7=6,a2+a8=5, ∴a2a8=6,a2+a8=5, 解得 a2=2,a8=3. ∴ = = .

故选:D. 点评:本题考查了等比数列的性质及其通项公式,属于基础题. 4.已知空间中不共面的四点 A,B,C,D 及平面 α,下列说法正确的是( A.直线 AB,CD 可能平行 B.直线 AB,CD 可能相交 C.直线 AB,CD 可能都与 α 平行 D.直线 AB,CD 可能都与 α 垂直 )

考点:空间中直线与平面之间的位置关系. 专题:综合题;空间位置关系与距离. 分析:AB,CD 不共面,可得 A,B,D 都不正确;经过 AC,BD,AD,BC 中点的平面与 AB,CD 平行,故 C 正确. 解答: 解:由题意,AB,CD 不共面,故 A,B 不正确; 经过 AC,BD,AD,BC 中点的平面与 AB,CD 平行,故 C 正确; 直线 AB,CD 都与 α 垂直,可得 AB 与 CD 平行,故不正确, 故选:C. 点评:本题考查直线与平面的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 5.命题“?x∈R,使得 x <1”的否定是( ) 2 A.?x∈R,都有 x <1 B.?x∈R,都有 x≤﹣1 或 x≥1 2 2 C.?x∈R,使得 x ≥1 D.?x∈R,使得 x >1 考点:命题的否定. 2 分析:根据命题“?x∈R,使得 x <1”是特称命题,其否定为全称命题,即:?x∈R,都有 2 x ≥1.??x∈R,都有 x≤﹣1 或 x≥1.从而得到答案. 2 解答: 解:∵命题“?x∈R,使得 x <1”是特称命题 2 ∴否定命题为:?x∈R,都有 x ≥1 ∴?x∈R,都有 x≤﹣1 或 x≥1.
2

故选 B. 点评:本题主要考查全称命题与特称命题的转化. 6.直线 ax+by+a+b=0 与圆 x +y =2 的位置关系为( A.相交 B.相切 C.相离
2 2

) D.相交或相切

考点:直线与圆的位置关系. 专题:计算题. 分析:由圆的方程找出圆心坐标与半径 r,利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线 的距离 d,比较 d 与 r 的大小即可得到直线与圆的位置关系. 解答: 解:由题设知圆心到直线的距离
2 2 2



而(a+b) ≤2(a +b ) , 得 ,圆的半径 , 2 2 所以直线 ax+by+a+b=0 与圆 x +y =2 的位置关系为相交或相切. 故选 D 点评: 此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值, 掌握直线与圆位置关系的判别 方法,是一道基础题.
5

7.若 a= A.10

sinxdx,则(x+ ) (ax﹣1) 的展开式中的常数项为( B.20 C.﹣10 D.﹣20

)

考点:二项式系数的性质;定积分. 专题:二项式定理. 分析:求定积分可得 a 的值,把(2x﹣1) 按照二项式定理展开,即可求得(x+ ) (2x﹣1)
5 5

展开式的常数项. sinxdx=﹣cosx
5

解答: 解:a=

=2,
5 5 4 3 2

则(x+ ) (ax﹣1) =(x+ ) (2x﹣1) =(x+ ) (32x ﹣80x +80x ﹣40x +10x﹣1) , 故(x+ ) (2x﹣1) 展开式的常数项为
5

=10,

故选:A. 点评:本题主要考查求定积分,二项式定理的应用,求展开式中某项的系数,二项式系数的 性质,属于基础题. 8.一个算法的程序框图如图,若该程序输出结果为 6,则判断框内 m 的取值范围是( )

A. (12,20]

B. (20,30]

C. (30,42]

D. (12,42]

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:由程序框图依次求得程序运行的结果,再根据输出的 k 值判断运行的次数,从而求出 输出的 S 值. 解答: 解:由程序框图知第一次运行第一次运行 S=2,i=2; 第二次运行 S=0+2+4,i=3; 第三次运行 S=0+2+4+6,i=4; 第四次运行 S=0+2+4+6+8,i=5; 第五次运行 S=0+2+4+6+8+10,i=6; ∵输出 i=6, ∴程序运行了 5 次,此时 S=0+2+4+6+8+10=30, ∴m 的取值范围为 20<m≤30. 故选:B. 点评:本题考查了循环结构的程序框图,根据程序运行的结果判断程序运行的次数是关键, 属于基本知识的考查. 9.已知△ ABD 是等边三角形,且 ( A. ) B. C. D.



,那么四边形 ABCD 的面积为

考点:向量在几何中的应用. 专题:计算题;数形结合. 分析:先设 AD 的中点为 E,以 AE,AB 为邻边作平行四边形 AECB,画出对应图象,利用 E 为中点,得到 BCDE 为平行四边形,进而求得 BE=CD= ,AE=1,AB=2,再把四边形 ABCD 的面积转化为 S△ ABD 即可求解. 解答: 解:设 AD 的中点为 E,以 AE,AB 为邻边作平行四边形 AECB,对应图象如图

. 因为 AECB 为平行四边形,所以有 又因为 故 , ,即 BCDE 为平行四边形,所以有 BE=CD= ,AE=1,AB=2. = ,

故 SABCD=SABD+S△ BCD= S△ ABD= × ×

=



故选 B. 点评: 本题主要考查向量在几何中的应用以及计算能力和数形结合思想, 是对基础知识的考 查,属于基础题.

10.已知函数 f(x)= 则 f(lglg2)的值为( ) A.8 B.4 考点:对数的运算性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:函数 f(x)=

+b+6,其中,a,b 为常数,a>1,b≠0,若 f(lglog210)=8,

C.﹣8

D.﹣4

+b+6,可得 f(x)+f(﹣x)=

+b+6+

+b+6=12,

再利用对数的运算性质即可得出. 解答: 解:∵函数 f(x)= +b+6,

∴f(x)+f(﹣x)=

+b+6+

+b+6=12,

而 lg(log210)+lg(lg2)=

=0,

∴f(lglog210)+f(lglg2)=12, ∴f(lglg2)=12﹣8=4. 故选:B. 点评:本题考查了指数函数与对数函数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题. 11.棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么 该几何体的表面积是( )

A.12+4

B.17

C.12+2

D.12

考点:球的体积和表面积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体,如图所示,截面为菱形,两条对角线长 为 ,2 ,面积为 2 ,即可求出该几何体的表面积. 解答: 解:棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体,如图所示, 截面为菱形,两条对角线长为 ,2 ,面积为 2 , 所以该几何体的表面积是 3×2×2+2 =12+2 , 故选:C.

点评:由三视图作出直观图,发现图象的特征,从而得到几何体的表面积. 12.已知函数 f(x)=e ,g(x)=ln + ,对任意 a∈R 存在 b∈(0,+∞)使 f(a)=g(b) , 则 b﹣a 的最小值为( A.2 ﹣1 ) B.e ﹣
2 x

C.2﹣ln2

D.2+ln2

考点:对数函数图象与性质的综合应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:令 y=e ,则 a=lny,令 y=ln + ,可得 b=2
a

,利用导数求得 b﹣a 取得最小值.

解答: 解:令 y=e ,则 a=lny,令 y=ln + ,可得 b=2

a



则 b﹣a=2

﹣lny,∴(b﹣a)′=2

﹣ .

显然, (b﹣a)′是增函数,观察可得当 y= 时, (b﹣a)′=0,故(b﹣a)′有唯一零点.

故当 y= 时,b﹣a 取得最小值为 2

﹣lny=2

﹣ln =2+ln2,

故选 D. 点评:本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用,利用导数求函数的最小值,属于中 档题. 此题中导数零点不易用常规方法解出, 解答时要会用代入特值的方法进行验证求零点 二、填空题:每小题 5 分,共 20 分 13.设 x,y 满足线性约束条件 ,则 x+2y 的取值范围是[2,6].

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最值. 解答: 解:作出不等式对应的平面区域, 由 z=x+2y,得 y=﹣ 平移直线 y=﹣ , ,由图象可知当直线 y=﹣ 经过点 B(2,2)时,直线 y=﹣

的截距最大,此时 z 最大. 此时 z 的最大值为 z=2+2×2=6, 过点 C(2,0)时,直线 y=2 的截距最小,此时 z 最小. 此时 z 的最小值为 z=2+2×2=6, 故 x+2y 的取值范围是[2,6] 故答案为:[2,6].

点评:本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.

14.在等差数列{an}中, 数的 n=19. 考点:等差数列的性质. 专题:计算题.

<﹣1,若它的前 n 项和 Sn 有最大值,则使 Sn 取得最小正

分析: 由题意可知, 等差数列{an}中 a1>0, 公差 d<0, 可将

<﹣1 转化为:

<0,于是 a11<0,a10>0,由等差数列的前 n 项和公式可求得 Sn 取得最小正数的 n. 解答: 解:∵等差数列{an}中,它的前 n 项和 Sn 有最大值, ∴a1>0,公差 d<0, 又将 <﹣1? <0, <﹣1,

∴是 a11<0,a10>0,a10+a11<0. ∴Sn=an +bn 中其对称轴 n=﹣
2

=10,

又 S19=

=19a10>0,而 S20=

<0,

1 与 19 距离对称轴 n=10 的距离相等, ∴S1=S19. ∴使 Sn 取得最小正数的 n=1 或 n=19. 故答案为:1 或 19. 点评:本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前 n 项和公式,考查分析问题与解决问题 的能力,属于中档题.

15.现有 5 双不同号码的鞋,从中任意取出 4 只,则恰好只能配出一双的概率为 .

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析: 由题意可得总的基本事件数为 由概率公式可得. 解答: 解:总的基本事件数为 =210, =210, 恰有两只成双的取法是 ? ? ? =120,

恰有两只成双的取法是

?

?

?

=120 =

∴从中任意取出 4 只,则恰好只能配出一双的概率 P= 故答案为:

点评:本题考查古典概型及其概率公式,涉及排列组合的知识,属基础题.

16.设 A,B 分别为椭圆

+

=1(a>b>0)和双曲线



=1 的公共顶点,P,M 分

别为双曲线和椭圆上异于 A,B 的两动点,且满足 + = ,其中 λ∈R,|λ| >1,设直线 AP,BP,AM,BM 的斜率分别为 k1,k2,k3,k4 且 k1+k2=5,则 k3+k4=﹣5. 考点:椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:如图所示,由满足 + = ,其中 λ∈R,|λ|>1,利用向量的平行四 =k≠0.分别利用

边形法则可得:O,M,P 三点共线.设 P(x1,y1) ,M(x2,y2) ,

点在双曲线与椭圆上可得

=



=﹣

.k1+k2=5,利用斜率计算公式可

得 5=

.再利用向量计算公式即可得出 k3+k4.

解答: 解:如图所示, ∵满足 ∴﹣2 + = ) , ,其中 λ∈R,|λ|>1,

=λ?(﹣2

∴O,M,P 三点共线. 设 P(x1,y1) ,M(x2,y2) , =k≠0.





=1,

+

=1,



=



=﹣



∵k1+k2=5,

∴5=

+

=

=

=



∴k3+k4= 故答案为:﹣5.

=

=﹣

=﹣5.

点评:本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、向量的平行四边形法则、斜率计算公 式,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 三、解答题 17.已知函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间 上的值域. .

考点:三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域;正弦函数的对称性. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: (1)先根据两角和与差的正弦和余弦公式将函数 f(x)展开再整理,可将函数化简 为 y=Asin (wx+ρ) 的形式, 根据 T= 求出 x 的值即可得到对称轴方程. (2)先根据 x 的范围求出 2x﹣ 进而得到函数 f(x)在区间 解答: 解: (1)∵ = sin2x+(sinx﹣cosx) (sinx+cosx) 的范围,再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值, 上的值域. 可求出最小正周期, 令 ,

= = ∴周期 T= 由 ∴函数图象的对称轴方程为

=

(2)∵ 因为 调递减, 所以当 又∵ 所以函数 f(x)在区间

,∴ 在区间

, 上单调递增,在区间 上单

时,f(x)取最大值 1, ,当 上的值域为 时,f(x)取最小值 . ,

点评: 本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦公式, 以及正弦函数的基本性质﹣﹣最小 正周期、对称性、和单调性.考查对基础知识的掌握情况. 18. 如图, 几何体 EF﹣ABCD 中, CDEF 为边长为 1 的正方形, ABCD 为直角梯形, AB∥CD, CD⊥BC,BC=1,AB=2,∠BCF=90° (Ⅰ)求成:BD⊥AE (Ⅱ)求二面角 B﹣AE﹣D 的大小.

考点:用空间向量求平面间的夹角;空间中直线与直线之间的位置关系;二面角的平面角及 求法. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)通过已知条件可得 CF⊥CD,利用线面垂直的判定定理及勾股定理即得结论;

(Ⅱ)以 C 为原点,CD、CB、CF 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系,则所 求角的余弦值即为平面 AED 的法向量与平面 EBA 的法向量的夹角的余弦值的绝对值, 计算 即可. 解答: (Ⅰ)证明:由题意得,BC⊥DC,CF⊥BC, ∵四边形 CDEF 为正方形,∴CF⊥CD, 又 CD∩BC=C,∴FC⊥平面 ABCD, ∵DE∥CF,∴DE⊥平面 ABCD,∴DE⊥DB, 又∵四边形 ABCD 为直角梯形,AB∥CD,CD⊥BC,BC=1,AB=2, ∴AD= ,BD= , 2 2 2 ∵AD +BD =AB ,∴BD⊥AD, 由 AD∩DE=E,∴BD⊥平面 ADE,∴BD⊥AE; (注:也可以先建立直角坐标系,用向量法证明线线垂直) (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 CD、CB、CF 所在直线相互垂直, 故以 C 为原点,CD、CB、CF 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 可得 C(0,0,0) ,F(0,0,1) ,B(0,1,0) ,E(1,0,1) ,D(1,0,0) ,A(2,1, 0) , 由(Ⅰ)知平面 AED 的法向量为 ∴ =(1,﹣1,1) , =(1,﹣1,0) ,

=(2,0,0) ,

设平面 EBA 的法向量为 =(x,y,z) , 由 ,得 ,

令 z=1,则 =(0,1,1) , 设二面角 B﹣AE﹣D 的大小为 θ, 则 cosθ= ∵θ∈[0, ],∴θ= = = ,



点评:本题考查直线与平面垂直的判定,二面角的计算,考查空间想象能力,计算能力,注 意解题方法的积累,属于中档题. 19.某大学对参加了“世博会”的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核,因该批志愿者表 现良好,该大学决定考核只有合格和优秀两个等次,若某志愿者考核为合格,授予 0.5 个学 分;考核为优秀,授予 1 个学分.假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为 、 、 ,他们考核所得的等次相互独立. (Ⅰ)求在这次考核中,志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率; (Ⅱ)记这这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量 ξ,求随机变量 ξ 的 分布列和数学期望 Eξ. 考点:相互独立事件的概率乘法公式;离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望 与方差. 专题:计算题. 分析: (I)我们分别将“甲考核为优秀”,“乙考核为优秀”,“丙考核为优秀”,“志愿者甲、乙、 两三人中至少有一名考核为优秀”记为 A,B,C,E,根据相互独立事件与对立事件的定义, 可得事件 A,B,C 相互独立, 与事件 E 是对立事件,根据相互独立事件乘法公式 及对立事件概率减法公式,可得在这次考核中,志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为 优秀的概率; (Ⅱ)由已知 2015 届中考核为合格,授予 0.5 个学分;考核为优秀,授予 1 个学分.我们 要得 ξ 的可能取值为 ,2, ,3,分别计算出 ξ 取得各值时的概率,即可得到随机变量 ξ 的分布列,代入数学期望公式,即可得到数学期望 Eξ 的值. 解答: 解: (I)记“甲考核为优秀”为事件 A,“乙考核为优秀”为事件 B, “丙考核为优秀”为事件 C,“志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀”为事件 E, 则事件 A,B,C 相互独立, 则 P(E)=1﹣P( 与事件 E 是对立事件 = )=1﹣P( )?P( )?P( )=1﹣

(II)ξ 的可能取值为 ,2, ,3 ∵P(ξ= )=P( )= ,

P(ξ=2)=P(A? ? )+P( ?B? )+P( ? ?C)= P(ξ= )=P(A?B? )+P(A? ?C)+P( ?B?C)= P(ξ=3)=P(A?B?C)= ∴ξ 的分布列为:

∴E(ξ)=

=

点评:本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式,离散型随机变量及其分布列,离 散型随机变量的期望,其中在求随机变量 ξ 的分布列时,对随机变量的每一个取值,要注意 不重不漏,以便准确的计算出 ξ 取得各值时的概率,这也是计算分布列及数学期望时最容易 产生的错误.

20.已知椭圆

的左、右焦点分别为 F1、F2,短轴两个端点为 A、B,

且四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形. (1)求椭圆的方程; (2)若 C、D 分别是椭圆长的左、右端点,动点 M 满足 MD⊥CD,连接 CM,交椭圆于点 P.证明: 为定值.

(3)在(2)的条件下,试问 x 轴上是否存异于点 C 的定点 Q,使得以 MP 为直径的圆恒 过直线 DP、MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

考点:椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:计算题;压轴题. 分析: (1)由题意知 a=2,b=c,b =2,由此可知椭圆方程为 (2)设 M(2,y0) ,P(x1,y1) ,
2

. ,直线 CM:

,代入椭圆方程 x +2y =4,得

2

2

,然后利用根与系数的关系能够推导出

为定值.

(3)设存在 Q(m,0)满足条件,则 MQ⊥DP. ,再由

,由此可知存在 Q(0,0)满足条件. 解答: 解: (1)a=2,b=c,a =b +c ,∴b =2; ∴椭圆方程为 (2)C(﹣2,0) ,D(2,0) ,设 M(2,y0) ,P(x1,y1) ,
2 2 2 2

直线 CM:

,代入椭圆方程 x +2y =4,

2

2



∵x1=﹣

,∴

,∴





∴ (3)设存在 Q(m,0)满足条件,则 MQ⊥DP

(定值)

则由

,从而得 m=0

∴存在 Q(0,0)满足条件 点评:本题考查直线和椭圆的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答.

21.已知函数 (I)求 f(x)的极值; (II)若?x1∈(0,+∞) ,?x2∈[1,2]使



成立,求 a 的取值范围;

(III)已知 .

考点:利用导数求闭区间上函数的最值;函数在某点取得极值的条件. 专题:综合题. 分析: (Ⅰ)求导函数,确定函数的单调性,从而可求函数 f(x)的极值; (II)分离参数可得 范围; (III)只需要证明 x1+x2>x1x2,即可证得 解答: (Ⅰ)解:∵ , ,再分类讨论,求出右边的最小值,即可求得 a 的取值

∴f′(x)=


k

令 f′(x)=0,即 k﹣lnx=0,∴x=e , k k 令 f′(x)>0,可得 0<x<e ;令 f′(x)<0,可得 x>e ; k k ∴函数在(0,e )上单调增,在(e ,+∞)上单调减 ﹣k k k ∴函数 f(x)在 x=e 处取得极大值为 f(e )=e . (II)解:∵





,即 x1∈(1,+∞)时,

在[1,2]上为单调增函数,

∴?x2∈[1, 2]使 ∴a>1; 若 , 即 x1∈ (0, 1]时, ,

成立, 等价于?x1∈ (1, +∞) , 使得





时, 取得最小值为

∴?x2∈[1,2]使

成立,等价于?x1∈(0,1],使得



∴a>0; 综上知,a>0 (III)证明:∵x1>0,x2>0,且 x1+x2<e,

∴(x1+x2) ( 两式相乘 ∴

)=2+

≥2+2=4>0,

,化简得 x1+x2>x1x2,

点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的极值,考查存在性问题,考查不等式的证明, 难度较大. 四、选做题选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,AB 是圆 O 的直径,C 是半径 OB 的中点,D 是 OB 延长线上一点,且 BD=OB, 直线 MD 与圆 O 相交于点 M,T(不与 A,B 重合) ,连结 MC,MB,OT. (Ⅰ)求证: MTCO 四点共圆; (Ⅱ)求证:MD=2MC.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:综合题;推理和证明. 分析: (1)由切割线定理可得 DT?DM=DB?DA,结合题中中点条件利用半径作为中间量进 行代换,即可得证; (2)利用四点共圆的性质及圆周角定理,可得 MB 是∠DMC 的平分线,即可证明结论. 解答: 证明: (Ⅰ)因 MD 与圆 O 相交于点 T,设 DN 与圆 O 相切于点 N, 2 2 由切割线定理 DN =DT?DM,DN =DB?DA, 得 DT?DM=DB?DA, 设半径 OB=r(r>0) , 因 BD=OB,且 BC=OC= ,则 DB?DA=r?3r=3r ,DO?DC=2r? 所以 DT?DM=DO?DC. 所以 M、T、C、O 四点共圆;… (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知 M、T、C、O 四点共圆, 所以∠DMC=∠DOT, 因为∠DMB= ∠TOD, 所以∠DMB=∠CMB, 所以 MB 是∠DMC 的平分线,
2

=3r ,

2

所以

=

=2,

所以 MD=2MC … 点评:本题考查四点共圆,角平分线的性质,考查切割线定理,考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题. 五、选修 4-4:坐标系与参数方程 23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的方程为(x﹣1) +(y﹣1) =2,直线 l 的倾斜角为 45° 且经过点 P(﹣1,0) (Ⅰ)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方程 2 2 (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于两点 A,B,求|PA| +|PB| 的值. 考点:简单曲线的极坐标方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)直接把直角坐标方程转化成极坐标方程. (Ⅱ)利用直线和圆的关系建立一元二次方程,利用根和系数的关系求出结果. 解答: 解: (I)将 曲线 C 的极坐标方程为 代入(x﹣1) +(y﹣1) =2,化简得, …
2 2 2 2

(II)因为直线 l 的倾斜角为 45°且经过点 P(﹣1,0) ,
2 2

所以直线 l 的参数方程为

,代入(x﹣1) +(y﹣1) =2,

整理得: 化简得, 所以 故|PA| +|PB| = =12.… 点评:本题考查的知识要点:参数方程与直角坐标方程的转化,及直角坐标方程与极坐标方 程的转化,一元二次方程根和系数的关系,及相关的运算问题. 六、选修 4-5:不等式选讲 2 24.设函数 f(x)=x ﹣2x 2 (Ⅰ)解不等式|f(x)|+|x +2x|≥6|x|; (Ⅱ)若实数 a 满足|x﹣a|<1,求证:|f(x)﹣f(a)|<2|a|+3. 考点:不等式的证明;绝对值不等式的解法.
2 2

, ,t1?t2=3,

专题:不等式的解法及应用;推理和证明. 分析: (Ⅰ)原不等式化为因式乘积的形式,利用绝对值不等式的几何意义,求解即可. (Ⅱ)直接利用因式分解,放缩法,绝对值的性质,证明即可. 解答: (24) (本小题满分 10 分)选修 4﹣5:不等式选讲 2 解: (Ⅰ)原不等式|f(x)|+|x +2x|≥6|x|可化为: (|x﹣2|+|x+2|)|x|≥6|x|;解得 x≤﹣3 或 x≥3 ,或 x=0. 所以,原不等式的解集为{x|x≤﹣3 或 x≥3,或 x=0}; … (Ⅱ)证明:∵f(x)=x ﹣2x,|x﹣a|<1, ∴|f(x)﹣f(a)| 2 2 =|x ﹣2x﹣a +2a| =|x﹣a||x+a﹣2| <|x+a﹣2| =|(x﹣a)+2a﹣2| ≤|x﹣a|+|2a﹣2| <1+2|a|+2 =2|a|+3, ∴|f(x)﹣f(a)|<2|a|+3.… 点评:本题考查绝对值不等式的解法,不等式的证明,绝对值的几何意义,考查逻辑推理能 力以及计算能力.
2



更多相关文章:
辽宁省鞍山一中2015届高三一模数学(理)试卷
辽宁省鞍山一中2015届高三一模数学(理)试卷_数学_高中教育_教育专区。辽宁省鞍山市 2015 届高考数学一模试卷(理科)一、选择题:每小题 5 分,共 60 分 1.已知...
辽宁省鞍山一中2015届高三一模数学(理)试卷
辽宁省鞍山一中2015届高三一模数学(理)试卷_数学_高中教育_教育专区。辽宁省鞍山市 2015 届高考数学一模试卷(理科)一、选择题:每小题 5 分,共 60 分 1.已知...
辽宁省鞍山一中2015届高三高考第四次模拟考试数学(理)试卷
辽宁省鞍山一中2015届高三高考第四次模拟考试数学(理)试卷_数学_高中教育_教育专区...鞍山一中 2015 届高三四模考试数学(理科)试卷命题人:周兴奎 校对人:孙方辉)...
辽宁省鞍山一中2015届高三四模数学(文)试卷
辽宁省鞍山一中2015届高三模数学()试卷_数学_高中教育_教育专区。辽宁省鞍山市 2015 届高考数学一模试卷(文科)一、选择题:每小题 5 分,共 60 分 1.已知...
鞍山一中高三一模理科数学试卷
鞍山一中高三一模理科数学试卷_高三数学_数学_高中教育_教育专区。鞍山一中 考试题鞍山一中 11 届高三一模考试数学试卷命题人:孙宁 校对人:范旻君一、选择题(本题...
鞍山一中2015届高三四模考试数学(理科)试卷及答案
鞍山一中2015届高三四模考试数学(理科)试卷及答案_数学_高中教育_教育专区。鞍山一中2015届高三四模考试数学(理科)试卷及答案鞍山一中 2015 届高三四模考试数学(理科...
2016届辽宁省鞍山市第一中学高三上学期12月月考(二模)数学(理)试题
2016届辽宁省鞍山市第一中学高三上学期12月月考(二模)数学(理)试题_高三语文_语文_高中教育_教育专区。2016 届辽宁省鞍山市第一中学高三上学期 12 月月考 (...
辽宁省五校协作体2015届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
辽宁省五校协作体2015届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案_高三数学...2014—2015 学年度上学期期末考试高三年级 数学科(理科)试卷命题学校:鞍山一中 ...
辽宁省鞍山一中2015届高三四模考试数学(文)试卷含答案
辽宁省鞍山一中2015届高三四模考试数学()试卷含答案_数学_高中教育_教育专区。鞍山一中 2015 届高三四模考试数学(文科)试卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每...
更多相关标签:
辽宁省鞍山市    辽宁省鞍山市邮编    辽宁省鞍山市海城市    辽宁省鞍山市西柳    辽宁省鞍山市招考办    辽宁省鞍山交警信息网    辽宁省鞍山市天气预报    辽宁省鞍山市铁东区    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图