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2016年高三二轮复习精品数学 思想一 函数与方程思想 强化训练2(含解析)



一.选择题 1. 【河北省冀州市中学 2016 届高三上学期一轮复习检测一】设 a ? ( ) 4 , b ? ( ) 5 ,

7 9

?

1

9 7

1

7 c ? log 2 ,则 a, b, c 的大小顺序是( 9
A、 b ? a

? c 【答案】 C . B、 c ? a ? b

) C、 c ? b ? a D、 b ? c ? a

x 2. 【河北省武邑中学 2016 届高三上学期期末考试】已知 x0 是 f ( x ) ? ( ) ?

1 2

1 的一个零点, x

x1 ? (??, x0 ) , x2 ? ( x0 ,0) ,则( )
A. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 【答案】C
x 【解析】∵ x0 是函数 f ( x ) ? ( ) ?

B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

C. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

1 2

1 1 x 1 的一个零点∴ f ? x0 ? ? 0 ∵ f ( x ) ? ( ) ? 是单调递 x 2 x

减函数,且 x1 ? (??, x0 ) , x2 ? ( x0 ,0) ∴ f ? x1 ? ? f ? x0 ? ? 0 ? f ? x2 ? 故选 C. 3. 【湖南省衡阳市第八中学 2016 届高三上学期第三次月考】若数列 {an } , {bn } 的通项公式 分别是 an ? (?1) n?2014 a , bn ? 2 ?

(?1) n ? 2015 ? ,且 an ? bn 对任意 n ? N 恒成立,则则实数 n

a 的取值范围是
A. ?? 1 ,? 2

? ?

1? ?

B. ?? 2, ?

? ?

1? 2?

C. ?? 2, ? 2

? ?

3? ?

D. ?? 1 ,?

? ?

3? 2?

【答案】C
? 【解析】由题 an ? bn 对任意 n ? N 恒成立,当 n 为偶数时,可得 a ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ; 当

n

2

2

3? n 为奇数时,可得 ?a ? 2 ? n ? a ? ? ? 2 ? n ? ? a ? ?2 即 a ? ? ? ?2, ?
?

1

? ?

1?

?

2?

4. 已知一次函数 f ( x) ? kx ? b 的图像经过点 P(1,2) 和 Q(?2,?4) ,令

?1? 6 * 时, n 的值等于( an ? f (n) f (n ? 1), n ? N ,记数列 ? ? 的前项和为 sn ,当 s n ? 25 ? an ?
A. 24 【答案】A B. 25 C. 23 D. 26



5. 【河北省衡水中学 2016 届高三上学期七调考试】已知函数 F ? x ? ? e 满足
x

F ? x ? ? g ? x ? ? h ? x ? ,且 g ? x ? , h ? x ? 分别是 R 上的偶函数和奇函数,若 ?x ? ? 0, 2? 使得不
等式 g ? 2x ? ? ah ? x ? ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. ??, 2 2 【答案】B ) D. 2 2, ??

?

?

B. ??, 2 2 ?

?

?

C.

? 0, 2

2? ?

?

?

e x ? e? x e x ? e? x 【解析】由题意可得 g ( x) ? , h( x ) ? ,不等式 g (2 x) ? ah( x) ? 0 为 2 2 e2 x ? e?2 x e x ? e? x ? a? ? 0 ,设 t ? e x ? e? x ,则不等式化为 t 2 ? 2 ? at ? 0 ,又 t ? e x ? e? x 是 2 2
2 增函数,则当 x ? (0, 2] 时, t ? (0, e ?

1 ] ,此时不等式 t 2 ? 2 ? at ? 0 可化为 2 e

a?

t2 ? 2 2 2 2 ? t ? ,易知 t ? ? 2 2 (当且仅当 t ? 2 时取等号) ,因此 t ? 的最小值是 t t t t

2 2 ,所以 a ? 2 2 .故选 B.
6. 【四川省成都市新都区高 2015 届诊断性测试】已知 x,y∈(0,1),且 1 lnx, 1 ,lny 成 4 4 等比数列,则 xy 有( )

A.最小值 e
【答案】D

B.最小值 1
e

C.最大值 e

D.最大值 1
e

【解析】由题意, 1 ln x ? ln y ? 1 ,即 ln x ? ln y ? 1 ,因为 x、y∈(0,1),故 lnx<0,lny< 4 4 16 0, ln(xy)<0, 所以 lnxlny=|lnxlny|≤ ( ≥1(舍去)或 ln(xy)≤-1=ln 1 e 故 xy≤ 1 e 7. 【辽宁省沈阳市东北育才学校 2015 届高三上学期第一次模拟考试】若不等式

ln x ? ln y 2 [ln( xy)]2 n [ l( ) ] xy , 即 ) ? 2 4 4

2

故 ln(xy) ?1, 4

3 2kx 2 ? kx ? <0 对一切实数 x 都成立,则 k 的取值范围为( 8
A. (?3,0)
【答案】D



B. ?? 3,0 ?

C. ?? 3,0?

D. (?3,0]

8. 【河南许昌平顶山新乡三市 2015 届 10 月高三第一次调研】.已知 P 是双曲线

x2 y2 5 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0 ?上的点, F1 , F2 是其焦点,双曲线的离心率是 ,且 PF 1 ? PF 2 ? 0, 2 a b 4
若 ?PF 1 F2 的面积为 9,则 a ? b 的值为 A、 5 【答案】C 【解析】设 P 为第一象限的点, PF 1 ? x1 , PF 2 ? x2 ,由于 PF 1 ? PF 2 ? 0 ,? PF 1 ? PF 2, 由题意知, B、 6 C、 7 D、 8

1 2 2 2 x1 ? x2 ? 2a ①, x1 ? x2 ? ?2c? ? 4c 2 ②, x1 x2 ? 9 ③,由①式平方得 2 c 5 2 2 x1 ? x2 ? 2x1x2 ? 4a2 ④,联立②③④得 b 2 ? 9 ,得 b ? 3 ,由于 ? ,因此 a ? 4, c ? 5 , a 4
?a ? b ? 7 .

9. 【河北省邯郸市第一中学 2016 届高三下学期研六考试】 过双曲线 的右焦点 F 作直线 y ? ? 曲线的离心率为( A. 3 【答案】C B.2 ) C.

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

??? ? ??? ? b x 的垂线,垂足为 A 交双曲线左支于 B 点,若 FB ? 2 FA ,则该双 a

5

D. 7

2 10.【河北省衡水中学 2016 届高三上学期四调考】 设函数 f ( x) 满足 x f ? ( x) + 2 xf ( x) =

ex , x

f ( 2) =

e2 ,则 x > 0 时 f ( x) ( 8



A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值 也无极小值 【答案】D 【解析】∵函数 f ( x) 满足 x 2 f ? ( x) + 2 xf ( x) =

ex ex ? 2 轾 ,\ 臌 x f ( x) = ,令 F ( x) = x2 f ( x) , x x

则 F? ( x) =

ex e2 , F (2) = 4 f (2) = 4 ? 8 x

e2 ex ,由 x 2 f ? x + 2 xf x = ( ) ( ) x ,得 2

f? ( x) =

e x - 2 F ( x) e x ( x - 2) \ f ( x) x x ⅱ ,令 ,则 , 在 f ( x ) = e 2 F ( x ) f ( x ) = e 2 F ( x ) = x x3

(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,\ f ( x) 的最小值为

( x) ? 0 .\ f ( x) 在 (0, +? ) (0,+∞) f (2) = e2 - 2F ( x) = 0 .\ f ( x) ? 0 .又 x > 0,\ f ?
单调递增.\ f x 既无极大值也无极小值.故选 D. 二、填空题

()

11. 【湖南师范大学附属中学 2016 届高三上学期月考(三) 】已知函数 f ( x) ? x? 的图象过点

(4, 2) ,令 an ?

1 f (n ?1 ) ?f (n)

,n ? N ? . 记数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 则 S2015 ?



【答案】 2016 ? 1
? 【解析】由函数 f ( x) ? x? 的图象过点 (4, 2) 得: 4 ? 2, ? ?

1 ,从而 f ( x) ? x ;∴ 2

an ?

1 ? n ? 1 ? n ,从而 n ?1 ? n

S2015 ? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ??? ( 2016 ? 2015) ? 2016 ?1 .
12. 【江西省南昌市第二中学 2016 届高三上学期第四次考试】已知实数 x , y 满足

? ?x ? y ? 0 ? ( x ? y) 2 ? y 2 的取值范围为 ? x ? y ? 5 ? 0 ,则 x2 ? 2y2 ? 1 1 ?y ? x2 ? 4 4 ?
?5 2? 【答案】 ? ,1 ? ? 2 ? ?3
【解析】作出可行域,如下图



?

2, 2? ? 上单调递增;所以 f ? t ?max ? 3, f ? t ?min ? 2 2 ,所以 1 ?

2 x 2y ? y x

得取值范围时

?5 2? ? ,1 ? ?. 3 2 ? ?
13. 【江西省吉安市第一中学 2016 届高三上学期第四次周考】 在正方体 ABCD 中,M 是 BD 的中点,且 AM = mAB + nAD m, n ? R ,函数 f x = e - ax +1,的图象为曲线 G,若曲 线 G存在与直线 y = m + n x 垂直的切线( e 为自然对数的底数) ,则实数 a 的取值范围是 ____________. 【答案】 1, +?

???? ?

??? ?

????

(

)

()

x

(

)

(

)

14. 【江西省红色六校 2015 届高三第一次联考】已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点 25 16

不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则

| AN | ? | BN |?
【答案】20

.

【解析】如图所示,设 F1 , F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,且 F1 , F2 , K 分别是线 25 16

段 MB, MA, MN 的中点,则在 ?NBM 和 ?NAM 中, NB ? 2 KF 1 , NA ? 2 KF 2 ,又由 椭圆定义得, KF 1 ? KF 2 ? 2a ? 10 ,故 | AN | ? | BN |? 2( KF 1 ? KF 2 ) ? 20 .

y N B1 F1 O A K M B F2 x

三、解答题 15. 【湖南师范大学附属中学 2016 届高三上学期月考(三) 】如图,已知抛物线 C1 : y 2 ? 4x 的焦点为 F ,椭圆 C2 的中心在原点, F 为其右焦点,点 M 为曲线 C1 和 C2 在第一象限的交 点,且 | MF |?

5 . 2

(1)求椭圆 C2 的标准方程; (2)设 A, B 为抛物线 C1 上的两个动点,且使得线段 AB 的中点 D 在直线 y ? x 上,

P(3, 2) 为定点,求 ?PAB 面积的最大值.

(2)设点 D(m, m) , A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? 4x1, y2 ? 4x2 .两式相减,得
2 2

2 y12 ? y2 ? 4( x1 ? x2 ) ,即

y1 ? y2 4 ? .因为 D 为线段 AB 的中点,则 y1 ? y2 ? 2m .所 x1 ? x2 y1 ? y2

以直线 AB 的斜率 k ?

4 4 2 2 ? ? .从而直线 AB 的方程为 y ? m ? ( x ? m) ,即 y1 ? y2 2m m m

2 ? ?2 x ? my ? m ? 2m ? 0 ,得 y 2 ? 2my ? 2m2 ? 4m ? 0 ,则 2x ? my ? m ? 2m ? 0 .联立 ? 2 ? ? y ? 4x

2

y1 y2 ? 2m2 ? 4m .所以

1 m2 2 | AB |?| y1 ? y2 | 1 ? 2 ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? 1 ? ? 4m ? m2 ? m2 ? 4 .设点 P 到 k 4
直线 AB 的距离为 d ,则 d ?

| 6 ? 4m ? m 2 | m2 ? 4

.所以

S ?PAB ?

1 1 | AB | d ? 4m ? m 2 ? | 6 ? 4m ? m 2 | .由 4m ? m2 ? 0 ,得 0 ? m ? 4 .令 2 2
2

4m ? m ? t ,则 S?PAB ?
f ?(t ) ?

6t ? t 3 t | 6 ? t 2 | 6t ? t 3 (0 ? t ? 2) (0 ? t ? 2) ,则 .设 f (t ) ? ? 2 2 2

6 ? 3t 2 .由 f ?(t) ?0 , 得 0 ? t ? 2 .从而 f (t ) 在 (0, 2) 上是增函数, 在 ( 2, 2] 上 2

是减函数, 所以 f (t )max ? f ( 2) ? 2 2 ,故 ?PAB 面积的最大值为 2 2 . 16. 【长春市十一高中 2014-2015 学年度高三上学期阶段性考试】已知函数 f ( x ) ? a 的图
x

象过点 (1, ) ,且点 ( n ? 1,

1 2

an ) (n ? N * ) 在函数 f ( x ) ? a x 的图象上. 2 n

(1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)令 bn ? a n ? 1 ?

1 a n ,若数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,求证: S n ? 5 . 2

17. 【河北省武邑中学 2016 届高三上学期期末考试】 已知函数 f ( x) ? 其中常数 a ? 0 . (1)当 0 ? a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)已知 0 ? a ?

1 2 1 x ? x ? ln( x ? a ) , 4 a

1 , f ?( x ) 表示 f ( x) 的导数,若 x1 , x2 ? (?a, a), x1 ? x2 ,且满足 2

f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? 0 ,试比较 f ?( x1 ? x2 ) 与 f ?(0) 的大小,并加以说明.
解析: (1)函数 f ( x) 的定义域为 (?a,??) ,

f ?( x) ?

1 1 1 x(ax ? 2 ? a 2 ) x? ? ? ( x ? ?a, a ? 0) ,由 f ?( x) ? 0 得 x1 ? 0 , 2 a x?a 2a( x ? a)

x2 ?

2 ? a2 2 ? a2 2 ? a2 ? 0 ,所以 f ( x) 在 ( ,??) , (?a,0) 上为增函数, ,当 0 ? a ? 1 时, a a a 2 ? a2 ) 上为减函数, a

在 (0,

h(t ) ?

1 1 1 1 ? ? ? (0 ? t ? a) ,则 a t ? x2 t x2 ? a

h?(t ) ? ?

1 1 (t ? x2 ) 2 ? t 2 (2t ? x2 ) x2 ? ? ? ? 0 , 所以 h(t ) 在 (0, a ) 内为增函数, (t ? x2 ) 2 t 2 (t ? x2 ) 2 ? t 2 (t ? x2 ) 2 ? t 2
1 1 1 1 ? ? ? ? 0 ,所 a x1 ? x2 ? a x1 ? a x2 ? a

又因为 t ? x1 ? a ? (0, a) ,所以 h(t ) ? h(a) ? 0 ,即 以 f ?( x1? x2 ) ? f ?(0) .



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