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函数x1.x2



设函数 f ( x) ? e ? ax ? a (a ? R ) ,其图像与 x 轴交于 A( x1 ,0), B ( x2 ,0) 两 点,且 x1 ? x2 .
x

(1)求 a 的取值范围; (2)证明: f ?( x1 x2 ) ? 0 ( f ?( x) 为函数 f ( x) 的导函数) ;

已知函数 f ( x)

?

1 2 x ? 2a ln x ? (a ? 2) x, a ? R . 2 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性;
(Ⅲ)是否存在实数 a ,对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,有 成立,若存在求出 a 的取值范围,若不存在,说明理由.

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a ,恒 x2 ? x1

已知函数 f(x)=(a+1)lnx+ax2+1. (1) 讨论函数 f(x)的单调性; (2) 设 a<-1.如果对任意 x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求 a 的取值范围.

已知函数 f ( x) ? a ln x ? x 2 ( a 为实常数) . (1)当 a ? ?4 时,求函数 f ( x) 在 ?1, e? 上的最大值及相应的 x 值; (2)当 x ? ?1, e? 时,讨论方程 f ?x ? ? 0 根的个数. (3)是否存在 a ? 0 ,且对任意的 x1 , x2 ? ?1, e? ,都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 存在求实数 a 的取值范围.不存在说明理由

1 1 ,求若 ? x1 x2

设 x1 , x2 是 f ? x ? ?

a 3 b ?1 2 x ? x ? x ? a, b ? R, a ? 0 ? 的 两 个 极 值 点 , f ? x ? 的 导 函 数 是 3 2

y ? f ? ? x?
(1)如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,求证: f ? ? ?2? ? 3 ; (2)如果 x1 ? 2, x2 ? x1 ? 2 ,求 b 的取值范围; (3)如果 a ? 2 ,且 x2 ? x1 ? 2, x ? ? x1, x2 ? 时,函数 g ? x ? ? f ? ? x ? ? 2 ? x ? x2 ? 的最小 值为 h ? a ? ,求 h ? a ? 的最大值.

2.已知函数函数 f ? x ? ? a ? x ? x ln a ? a ? 0, a ? 1? .
x 2

(1)当 a ? 1 时,求证: f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增; (2)若函数 y ? f ? x ? ? t ? 1 有三个零点,求 t 的值; (3)若存在 x1 , x2 ?? ?1,1? ,使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? e ? 1 ,试求 a 的取值范围.

对于函数 y=f(x),若存在开区间 D,同时满足:①存在 t∈D,当 x<t 时,函数 f(x)单调递 减,当 x>t 时,函数 f(x)单调递增;②对任意 x>0,只要 t-x,t+x∈D,都有 f(t-x) >f(t+x),则称 y=f(x)为 D 内的“勾函数” . (1)证明:函数 y= loga x (a ? 0, a ? 1) 为(0,+∞)内的“勾函数” ; (2)若 D 内的“勾函数”y=g(x)的导函数为 y=g?(x),y=g(x)在 D 内有两个零点 x1, x2,求证: x1+x2 g?( )>0; 2 1 1 (3)对于给定常数?,是否存在 m,使函数 h(x)= ?x3- ?2x2-2?3x+1 在(m,+∞)内为 3 2 “勾 函数”?若存在,试求出 m 的取值范围,若不存在,说明理由.

5.已知函数 f ? x ? ?

x ? x ? R? . ex

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间和极值; (2) 已 知函数 y ? g ? x ? 的图象与函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ? 1 对称, 求证: 当 x ?1 时 , f ? x? ? g ? x? ; (3)如果 x1 ? x2 ,且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,证明 x1 ? x2 ? 2 .

1 1 6.已知函数 f(x)=(a+ )lnx+ -x(a>1) . a x (1)讨论 f(x)在区间(0,1)上的单调性; (2)当 a≥3 时,曲线 y=f(x)上总存在相异两点 P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线 y 6 =f (x)在点 P,Q 处的切线互相平行,求证:x1+x2> . 5

.设 f ( x) ? e ? a( x ? 1) .
x

(1) 若 a ? 0, f ( x) ? 0 对一切 x ? R 恒成立,求 a 的最大值.

a , 且 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) 是 曲 线 y ? g ( x) 上 任 意 两 ex 点. 若对任意的 a ? 0 ,直线 AB 的斜率恒大于常数 m ,求 m 的取值范围; e (3) 是否存在正整数 a , 使得 1n ? 3n ? ??? ? (2n ? 1) n ? (an)n 对一切正整数 n 均成立? e ?1
(2) 设 g ( x) ? f ( x) ? 若存在,求 a 的最小值;若不存在,请说明理由.



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