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高考数学一轮复习:第2章 第8节函数与方程



全国新课标区模拟精选题:根据高考命题大数据分析,重点关注基础题 1,5, 能力题 7.

专项基础测试 模拟精选题
一、选择题 1.(2016· 湖北天门模拟)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为 尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的 时间 T 内完成预测的运输任务 Q0, 各种方案的运输总量 Q 与时

间 t 的函数关系 如图所示, 在这四种方案中, 运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )

解析

由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得,曲线上的点的切线斜率应

逐渐增大,故函数的图象应一直是下凹的,故选 B. 答案 B

2.(2015· 辽宁五校协作体模拟)一个人以 6 米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽 车,当他离汽车 25 米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前 1 进方向相同),汽车在时间 t 内的路程为 s=2t2 米,那么,此人( A.可在 7 秒内追上汽车 B.可在 9 秒内追上汽车 C.不能追上汽车,但其间最近距离为 14 米 D.不能追上汽车,但其间最近距离为 7 米 解析 以汽车停止位置为参照,人所走过的位移为-25+6t,汽车在时间 t 内 )

1 1 1 的位移为 s=2t2,故设相对位移为 y m,则 y=-25+6t-2t2=-2(t-6)2-7, 故不能追上汽车,且当 t=6 时,其间最近距离为 7 米.故选 D. 答案 D

二、填空题 3.(2016· 陕西西安模拟)一个容器装有细沙 a cm3,细沙从容器底下一个细微的小 孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为 y=ae-bt(cm3),经过 8 min 后发现
1

容器内还有一半的沙子,则再经过________min,容器中的沙子只有开始时的 八分之一. 1 ln 2 解析 依题意有 a· e-b×8=2a,∴b= 8 , ln 2 ∴y=a· e- 8 · t.若容器中只有开始时的八分之一, ln 2 1 则有 a· e- 8 · t=8a. 解得 t=24,∴再经过的时间为 24-8=16 min. 答案 16 三、解答题 4.(2015· 四川乐山模拟)某工厂的固定成本为 3 万元,该工厂每生产 100 台某产品 的生产成本为 1 万元,设生产该产品 x(百台),其总成本为 g(x)万元(总成本= 固定成本+生产成本),并且销售收入 r(x)满足
2 ?-0.5x +7x-10.5(0≤x≤7), r(x)=? ?13.5(x>7).

假定该产品产销平衡,根据上述统计规律求: (1)要使工厂有盈利,产品数量 x 应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时盈利最大? 解 依题意得 g(x)=x+3,设利润函数为 f(x),

则 f(x)=r(x)-g(x)
2 ?-0.5x +6x-13.5(0≤x≤7) 所以 f(x)=? ?10.5-x(x>7)

(1)要使工厂盈利,则有 f(x)>0, 因为 f(x)>0? ?0≤x≤7, ? 或 2 ?-0.5x +6x-13.5>0, ?x>7, ?0≤x≤7, ? ?? 2 或 ?10.5-x>0, ?x -12x+27<0 ?x>7, ?0≤x≤7, ? ?? 或 7<x<10.5. ?10.5-x>0, ?3<x<9, 则 3<x≤7 或 7<x<10.5,即 3<x<10.5,
2

所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于 300 台小于 1 050 台的范围内. (2)当 3<x≤7 时,f(x)=-0.5(x-6)2+4.5, 故当 x=6 时,f(x)有最大值 4.5. 而当 x>7 时,f(x)<10.5-7=3.5. 所以当工厂生产 600 台产品时盈利最大.

创新导向题
一次函数模型的求解及应用 5.某种新药服用 x 小时后血液中的残留量为 y 毫克,如图所示为函数 y=f(x)的图 象,当血液中药物残留量不小于 240 毫克时,治疗有效,设某人上午 8:00 第 一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为( )

A.上午 10:00 C.下午 4:00 解析

B.中午 12:00 D.下午 6:00

当 x∈[0,4]时,设 y=k1x,把(4,320)代入,得 k1=80,∴y=80x.

?4k2+b=320, 当 x∈[4,20]时,设 y=k2x+b,把(4,320),(20,0)代入得? 解 ?20k2+b=0, ?k2=-20, 得? ∴y=400-20x, ?b=400, ?80x,0≤x≤4, ∴y=f(x)=? ?400-20x,4<x≤20. ?0≤x≤4, ?4<x≤20, 由 y≥240,得? 或? ?80x≥240, ?400-20x≥240, 解得 3≤x≤4 或 4<x≤8,∴3≤x≤8. 故第二次服药最迟应在当日下午 4:00,故选 C. 答案 C

专项提升测试 模拟精选题
一、选择题
3

6.(2016· 四川成都模拟)某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一个月的本地网内通话时间 t(分钟)与电话费 S(元)的 函数关系如图所示,当通话 150 分钟时,这两种方式电话费相差( )

A.10 元 解析

B.20 元

C.30 元

40 D. 3 元

依题题可设 SA(t)=20+kt,SB(t)=mt.

又 SA(100)=SB(100),∴100k+20=100m,得 k-m=-0.2, 于是 SA(150)-SB(150)=20+150k-150m=20+150× (-0.2)=-10,即两种方 式电话费相差 10 元,选 A. 答案 A

二、填空题 7.(2016· 山东日照模拟)某类产品按工艺共分 10 个档次,最低档次产品每件利润 为 8 元.每提高一个档次,每件利润增加 2 元.用同样工时,可以生产最低档产 品 60 件,每提高一个档次将少生产 3 件产品,则获得利润最大时生产产品的 档次是________. 解析 由题意,第 k 档次时,每天可获利润为:y=[8+2(k-1)][60-3(k-1)] =-6k2+108k+378(1≤k≤10),配方可得 y=-6(k-9)2+864,∴当 k=9 时, 获得利润最大. 答案 9 三、解答题 8.(2016· 河南洛阳模拟)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求, 进行了 20 天的测试,人为地调控每天产品的单价 P(元/件).前 10 天每天单价呈直线下降 趋势(第 10 天免费赠送品尝),后 10 天呈直线上升趋势,其中 4 天的单价记录 如下表: 时间(将第 x 天记为 x)x 单价(元/件)P 1 9 10 0 11 1 18 8

而这 20 天相应的销售量 Q(百件/天)与时间 x(天)对应的点(x,Q)在如图所示
4

的半圆上.

(1)写出每天销售收入 y(元)关于时间 x(天)的函数; (2)在这 20 天中哪一天销售收入最高?此时单价 P 定为多少元为好?(结果精 确到 1 元) 解 ?10-x,x∈[1,10], (1)P=? (x∈N*), ?x-10,x∈[11,20]

Q= 100-(x-10)2,x∈[1,20],x∈N*, ∴y=100QP=100 (x-10)2[100-(x-10)2], x∈[1,20],x∈N*.
2 2 ?(x-10) +100-(x-10) ?2 ? =2 500, (2)∵(x-10) [100-(x-10) ]≤? 2 ? ? 2 2

当且仅当(x-10)2=100-(x-10)2, 即 x=10± 5 2时,y 有最大值. 又 x∈N*,∴当 x=3 或 17 时,ymax=700 51≈4 999,此时,P=7. 答:第 3 天或第 17 天销售收入最高,此时应将单价 P 定为 7 元为好.

创新导向题
分段函数模型的综合应用 9.某企业为了保护环境,发展低碳经济,在国家科研部门的支持下,进行科技攻 关, 新上了一个把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目, 经测算, 该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系,可近似地表示为 y 1 3 2 ? ?3x -80x +5 040x,x∈[120,144), =? 且每处理一吨二氧化碳得到可利用 1 2 ? ?2x -200x+80 000,x∈[144,500), 的化工产品价值为 200 元,若项目不获利,亏损数额国家将给予补偿. (1)当 x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果亏损,则国家每月补偿数

5

额的范围是多少? (2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? 解 (1)当 x∈[200,300]时,设该项目获利为 S,则

1 1 ?1 ? S=200 x-?2x2-200x+80 000?=-2x2+400x-80 000=-2(x-400)2 ? ? ∴当 x∈[200,300]时,S<0,该项目不会获利. 当 x=300 时,S 取得最大值-5 000, 当 x=200 时,S 取得最小值-20 000 ∴国家每月补偿的范围是[5 000,20 000]. (2)由题意可知,二氧化碳的每吨处理成本为: 1 2 ? ? 3x -80x+5 040,x∈[120,144), y x=?1 80 000 ? ?2x+ x -200,x∈[144,500), ①当 x∈[120,144)时, y 1 2 1 2 = x - 80 x + 5040 = x 3 3(x-120) +240, y ∴当 x=120 时, 取得最小值为 240; x y 1 80 000 ②当 x∈[144,500)时,x=2x+ x -200≥ 2 1 80 000 1 80 000 2x· x -200=200,当且仅当2x= x ,
y 取得最小值 200,∵200<240, x

即 x=400 时,

∴当每月处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.

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