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简易逻辑例题



简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1.( 2012 ·福建高考理科·T 3)下列命题中,真命题是( (A) ? x Re , x? 0 0?
0



x 2 (B) ?? x R ,2 ? x

(C) a?b?0的充要条件是 ? ? 1

a b

(

D) a?1 , b?1是 ab ? 1 的充分条件

【解题指南】了解全称命题和特称命题的辩证关系,要说明全称命题正确, 就要进行严谨地证明;而要说明其错误,只要举一反例即可 . 相应地,要说 明特称命题正确,只要举一例即可;而要说明其不对,就要说明所有对象都 在所给属性的对立面 .同时,要注意充分条件和必要条件的判断方法. 【解析】选 D. 选项 A B C 者不等价 D ,反之不能成立 a b? 1 a?1 ,b?1? 正确 )
? x?R, e x ? 0

具体分析

结论 不正确 不正确

当 x=2 时, 2x ? x2
a?b?0中 b 可取 0 ,而

a ? ? 1 中 b 不可取 0 ,因此,两 b

不正确

2.( 2012 ·湖北高考理科·T 2)命题“ ? x0∈ ? RQ, x 03 ∈ Q”的否定是( (A) ? x0? ? RQ, x 03 ∈ Q (C) ? x? ? RQ, x3∈ Q (B) ? x0∈ ? RQ , x 03 ?Q (D) ? x∈ ? RQ , x3?Q

【解析】选 D. 有特称命题的否定是全称命题可知结果 . 3.( 2012·湖北高考文科·T 4 )命题“存在一个无理数,它的平方是有理 数”的否定是( )

(A)任意一个有理数,它的平方是有理数

(B)任意一个无理数,它的平方不是有理数 (C)存在一个有理数,它的平方是有理数 (D)存在一个无理数,它的平方不是有理数 【解题指南】解答本题的关键是理解特称命题和命题的否定的定义 . 【解析】选 B. 有特称命题的否定是全称命题可知结果 .
4.已知命题 p:? m∈R,m+1≤0,命题 q:? x∈R,x2+mx+1>0 恒成立.若 p∧q 为假命题, 则实数 m 的取值范围为( A.m≥2 C.m≤-2,或 m≥2 ) B.m≤-2 或 m>-1 D.-2≤m≤2

解析:∵p∧q 为假命题,∴p、q 中至少有一个是假命题.若 p 是假命题,则 m>-1; 若 p 是真命题,则 m ≤-1,且 q 必是假命题,即 Δ =m2-4×1≥0?m≤-2 或 m≥2,此时,

m≤-2.综上可知,实数 m 的取值范围是 m≤-2 或 m>-1.
答案: B

5. ( 2012 ·辽宁高考文科·T 5)与( 2012·辽宁高考理科·T 4)相同 已知命题 p: ? x 1, x2 ? R, (f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥ 0,则 ? p 是 ( (A) ? x1, x2 ? R, (f(x2) ? f(x1))(x 2 ? x1)≤ 0 (B) ? x1, x2 ? R, (f(x2) ? f(x1))(x 2 ? x1)≤ 0 (C) ? x1, x2 ? R, (f(x2) ? f(x1))(x 2 ? x1)<0 (D) ? x1, x2 ? R, (f(x2) ? f(x1))(x 2 ? x1)<0 【解题指南】弄清楚全称命题的否定是特称命题 .
: ? x , x ? R , ( f ( x )( ? f x ) ) ( x ? x ) ? 0 1 2 2 12 1 【解析】选 C.全称命题 p 的否定为

)

? p :, ? x x ? R , ( f ( x )( ? f x ) ) ( x ? x ) ? 0 1 2 2 1 2 1
.

6. ( 2012 ·安徽高考文科·T 4)命题“存在实数 x ,使 x > 1”的否定是

( ( A) 对任意实数 x , 都有 x >1 ( C) 对任意实数 x , 都有 x ? 1 ( B)不存在实数 x ,使 x ? 1 ( D)存在实数 x ,使 x ? 1



【解题指南】根据存在量词的否定形式进行判断 . 【解析】选 C .“存在”的否定是“任意”,“ x> 1”的否定是“ x ? 1” .
二、填空题 7.(2013·苏北三市联考)若命题“? x∈R,使得 x2+(a-1)x+1<0”是真命题,则实 数 a 的取值范围是__________. 解析 :∵? x∈R,使得 x2+(a-1)x+1<0 是真命题, ∴(a-1)2-4>0,即(a-1)2>4. ∴a-1>2,或 a-1<-2. ∴a>3,或 a<-1. 答案:(-∞,-1)∪(3,+∞) 8.(2012·北京)已知 f(x)=m(x-2m)( x+m+3),g(x)=2x-2.若同时满足条件: ①? x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0; ②? x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0. 则 m 的取值范围是__________. 解析:对 条件①,g(x)=2x-2<0? x<1,所以只需当 x≥1 时,f(x)<0,所以 m<0, ?-m-3<1, 且? ?2m<1, 1 即-4<m< ,所以-4<m<0;对条件②,可知只需 f(-4)=m(-4- 2

2m)(-4+m+3 )>0,解得 m<-2.综上可知:-4<m<-2. 答案:(-4,-2)

三、解答题

10.(2013·合肥联考)已知命题 r (x):sinx+cosx>m,命题 s(x):x2+mx+1>0.如果 对? x∈R,r(x)与 s(x)有且仅有一个是真命题,求实数 m 的取值范围. π? ? 解析:∵sinx+cosx= 2si n?x+ ?≥- 2, 4? ? ∴当 r(x)是真命题时,m<- 2. 又∵对? x∈R,s(x)是真命题,即 x2+mx+1>0 恒成立, 有 Δ =m2-4<0,∴-2<m<2. ∴当 r(x)为真,s(x)为假时,m<- 2, 同时 m≤-2,或 m≥2,即 m≤-2, 当 r(x)为假,s(x)为真时,m≥- 2,且-2<m<2, 即- 2≤m<2. 综上所述,m 的取值范围是 m≤-2,或- 2≤m<2.

11.(2013·天津河西区检测)设命题 p: 函数 f(x)=lg(x2-4x+a2)的定义域为 R; 命题 q: ? m∈[-1,1],不等式 a2-5a-3≥ m2+8恒成立;如果命题“p∨q”为真命题,且“p∧q” 为假命题,求实数 a 的取值范围. 解析:命题 p:Δ =16-4a <0? a>2 或 a<-2.
2

命题 q:∵m∈[-1,1],∴ m2+8∈[2 2,3]. ∵对 m∈[-1,1],不等式 a2-5a-3≥ m2+8恒成立, ∴只须满足 a2-5a-3≥3,解得 a≥6 或 a≤-1. 命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,则 p 与 q 一真一假. ?a>2或a<-2, ①若 p 真 q 假,则? ?-1<a<6 ?-2≤a≤2, ②若 p 假 q 真,则? ?a≤-1或a≥6 ? 2<a<6;

? -2≤a≤-1,

综合①②,实数 a 的取值范围为[-2,-1]∪(2,6).



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