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2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1



2.4

平面向量的数量积

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

复习回顾
? ? ?1? 如图a / /b
1.说出下列两个向量的夹角
? b

? a

? b

? a

? ? a与b夹角_

_____

? ? a与b夹角______

2.Rt ?ABC中,?C ? 90?,?A ? 30?. A ???? ??? ? 则 AC与CB夹角 _________; ??? ? ??? ? AB与CB夹角 _________ .
C

B

新课引入
一个物体在力F 的作用下产生的位移s,那么力F 所做 的功应当怎样计算? F 功可以看成是两个向量 θ 的运算结果,这种运算 s 结果叫向量的数量积

W ?| F || s |cos?
? 是F 与s 的夹角, 其中力F 和位移s 是向量, 而功是数量.

平面向量的数量积(定义) 注:数量积 是一个数 ? ? ? ? ? ?已知非零向量a 与 b,我们把数量 ? ?| a || b | cos? 叫作 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a ? b ,即规定 ? ? ? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos? (? 为 a 与 b 的夹角 )

? ? ? ? ? ? 0 a ? b ? a ? b = ____; ? ? ? ? a?b a / /b ?同向? ? a ? b= _______; ? ? ? ? ? ? ?a?b a / /b ? 反向? ? a ? b= _______; ? 2 ? ? ? ? a 0 . a ? a = _____; a ? 0 ? _______

思考1:向量的数量积是一个数量,那么它
什么时候为正,什么时候为负?
? ? ? 0 ? ? a, b ? ? 90 当 时,它为正值;
?

? ? 当 ?a, b? ? 90? 时,它为0;
? ? 当 90 ? ?a, b? ? 180? 时,它为负值.
?

互动探究

? ? ? ? 例1.已知 | a |? 3,| b |? 4, , a 与 b 的夹角θ =135? ? ? 求 a ?b . ??? ? ??? ?
? ? ? ? 解: a ? b ?| a || b | cos ?
=3 ? 4 ? cos135
?

2.已知?ABC中,a ? 5, b ? 8, C ? 60?, 求BC ? CA.
A

2 ? 3 ? 4 ? (? ) 2 ? ?6 2

B
-20

C

向量的数量积的几何意义: ? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos ?
B

b
?
O

a
A

| b | cos?

P106页第3题

向量数量积的运算律
思考3:回顾实数运算中有关的运算律,你能推 导向量数量积的下列运算律吗?

? ? ? ? () 1 a ? b ? b ? a; ? ? ? ?? ? ? ? (2) (? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (?b);

? ? ? ? ? ? ? (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c.

如图可知: ??? ?

? ? OB1 ?| OB | cos? ?| a ? b | cos? ? OA1 ?| a | cos?1 ? A1B1 ? AB2 ?| b | cos?2

? ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

A

? OB1 ? OA1 ? A1B1 B b a ? ? ? ? ?| a ? b | cos ? ?| a | cos ?1 ? | b | cos ?2 ?1 ? ? ? ? ? ? ? O A c ? (a ? b) ?| c || a ? b | cos ? 1 c B1 C ? ? ? ? ?| c || a | cos ?1 ? | c || b | cos ? 2 ? ? ? ? ? c ?a ? c ?b

?2

B2

? ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

思考:下列两个运算律成立吗?

? ? ? ? ? ? (1) (a ? b) ? c ? a ? (b ? c); ? ? ? ? ? ? ( 2) a ? c ? b ? c ? a ? b.(消去律)

例2.我们知道,对任意 a, b ? R ,恒有
(a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ,(a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 . ? ? 对任意向量 a, b, 是否也有下面类似的结论?

? ? 2 ?2 ? ? ?2 (1)(a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ; ? ? ? ? ? 2 ?2 (2)(a ? b)(a ? b) ? a ? b .

? ? 2 ? ? ? ? 解: (1)(   a ? b) ? (   a ? b)? (  a ? b) ? ? ? ? ? ? ? ?          ?    a ?a ?   a ?b ? b?a ? b?b ?2 ? ? ?2          ? a ? 2  a ?b ? b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 2)(   a ? b)? (  a ? b) ?    a ?a  ? a ?b ? b?a ? b?b ?2 ?2         ? a ? b

? ? ? ? 例3.已知 | a |? 6,| b |? 4 ,a 与 b 的夹角60? , ? ? ? ? ? ? 求 (a ? 2b) ? (a ? 3b),| a ? b | . ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 解:   (a ? 2b)?(a ? 3b) ? a ? a ? a ? b ? 6b ? b ? 2 ? ? ?2 ? 2 ? ? ?2 ?| a | ?a ? b ? 6 | b | ?   | a | ? | a || b | cos ? ? 6 | b |

? 6 ? 6 ? 4 ? cos 60 ? 6 ? 4  
2 2

?

? ?72 ? ? ? ? 2 ?2 ? ? ?2 a ? b ? a ? b ? a ? 2a ? b ? b

?

?

? 36 ? 2 ? 6 ? 4 ? cos 60? ? 16 ? 76

? ? ? ? 例4.已知 | a |? 3,| b |? 4 ,且 a 与 b 不共线,k为何值时, ? ?
? ? 向量 a ? kb 与 a ? kb 互相垂直.
? ? ? ? 解: a ? kb与a ? kb互相垂直的条件是 ? ? ? ? ?2 ? 2 2 (a ? kb)? (a ? kb) ? 0, 即a ? k b ? 0

?2 ?2 2 2   ? a ? 3 ? 9, b ? 4 ? 16   ? 9 ? 16k 2 ? 0
3 ?k ? ? 4

? ? ? ? 3 也就是说, 当k ? ? 时, a ? kb与a ? kb互相垂直. 4

练习:1.下列命题是真命题的是(

? ? ? ? ? A.若a ? 0, 则对任一非零向量b , 有a ? b ? 0; ? ? ? ? ? ? B.若a ? 0, a ? b ? 0, 则b ? 0; ? ? ? ? ? C.若a ? b ? 0, 则a、b 中至少有一个为0; ?2 ?2 ? ? ? D.若a ? b ? 0, 则a ? b ? 0; ? ? ? ? ? ? ? ? E.非零向量a与b , 若 | a ? b |?| a ? b |, 则a ? b ? 0. ? ? ? ? 2.已知 | a |? 2 2,| b |? 3, a ? b ? 6,

D

) E

? ? 则a与b的夹角为 ________

小结: ? 1.定义
? 2.性质

? ? a ?b 用于计算向量的夹角, cos ? ? ? ? 以及判断三角形的形状 a?b ? ? ? ? a ?b ? a ? b

? ? ? ? a? b ?| a || b | cos ? ? ? ? ? a ? b ? a?b ? 0 ?2 ? 2 可用来求向量的模 a ?| a |



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