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2007年江西省高考试题(数学理)全解全析



2007 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)



学(理 科)全解全析
球的表面积公式 S=4πR2 其中 R 表示球的半径 球的体积公式 V=
4 3

参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)·

P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 Pn(k)=C k P k (1 一 P) n ? k n

πR3

其中 R 表示球的半径

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.化简
2 ? 4i (1 ? i )
2

的结果是( B.-2+i

) C.2-i D.-2-i

A.2+i
【标准答案】 C 【试题分析】

2 ? 4i (1 ? i )
2

?

2 ? 4i 2i

? 2?

1 i

? 2 ? i ,故选 C。

【高考考点】复数的运算。 【易错提醒】 i =-1 是学生容易出错的地方,易忘记负号。 【备考提示】复数是高考经常出现的试题之一,一般出现在选择题或填空题,难度不会太大。
2

2. lim

x

3

? x

2

x?1

x ?1



) B.等于 l C.等于 3 D.不存在

A.等于 0
【标准答案】 B

【试题分析】 lim

x ? x
3

2

x?1

x ?1

? lim x ? 1 ,故选 B。
2 x?1

【高考考点】极限。 【易错提醒】未将分子分解因式,直接将 x=1 代入分母,不存在,错选(D) 。 【备考提示】极限也是高考中经常出现的试题之一,有时也会在解答题中出现。

3.若 tan(

?
4

一 α)=3,则 cot α 等于 B.-
1 2

A.-2
【标准答案】 A

C.

1 2

D.2

【试题分析】tan(

?
4

一 α)=3 ?

1 ? ta n ? 1 ? ta n ?

? 3 ? ta n ? ? ?

1 2

? c o t ? ? ? 2 ,故选 A。

【高考考点】三角函数,两角差的正切公式。 【易错提醒】两角差的正切公式与两角和的正切公式混淆。 【备考提示】两角差(和)的正弦、余弦、正切公式要注意对比记忆,特别注意符号。

4.已知( x + A.4
【标准答案】 C

3
3

)n 展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64,则 n 等于 B.5 C.6 D.7

x

【试题分析】 x=1, 令 得(

x +

3
3

)n 展开式中, 各项系数的和为 4 n , 又各项二项式系数的和 2 n ,

x



4 2

n n

? 64 ? 2

n

? 2 ? n ? 6 ,选 C。
6

【高考考点】二项式定理。 【易错提醒】计算要细心。 【备考提示】解选择题时,特殊值法能起到事半功倍的效果,在考试时,经常可以用到。

5.若 0<x<

?
2 3

,则下列命题中正确的是
x

A.sin x<

?

B.sin x>

3

?

x

C.sin x<

4

?

2

x

2

D.sin x>

4

?

2

x

2

【标准答案】 D

【试题分析】 0<x<

?
2

,取 x ?
?
6 ? 1 2

?
4

, s in
2

?
4

?
1 3

2 2
? 1 2

, ,

3

?
3

x ?

3 4

,

4

?

2

x ?
2

1 4

, ?
4

1

2 2

?

3 4

,排除 B、 C;

取x ?

?
6

, s in



?

x ?

?

x ?

1 2

,排除 A,选 D。

【高考考点】三角函数。 【易错提醒】取特殊值,不要轻易下结论。 【提示】取特殊值时,能排除的先排除,对还不能排除的,再取特殊值,直到最后一个答案才成立。

6.若集合 M={0,l,2},N={(x,y)|x-2y+1≥0 且 x-2y-1≤0,x,y ∈M},则 N 中元素的 个数为 A.9 B.6 C.4 D.2
【标准答案】 C

?x ? 2y ?1 ? 0 【试题分析】作出 ? 的可行域 (右图) 由 x, ∈M={0, , y ?x ? 2y ?1 ? 0

l,2}可知满足条件的 N 有 (0,0)(1,1)(2,1)(2,2)共 4 个,选 C。 、 、 、
【高考考点】集合与二元一次不等式组的平面区域。

7.如图,正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作平面 A1BD 的垂线, 垂足为点 H.则以下命题中,错误的命题是 ..

A.点 H 是△A1BD 的垂心 B.AH 垂直平面 CB1D1 C.AH 的延长线经过点 C1 D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45° 【答案】D 【解析】如图,连接 AC1,易证 AC1?面 A1BD,AC1?面 CB1D1 , 则 AC1 与面 A1BD 的交点为 H,故 B、C 正确;三棱锥 A-A1BD 是正三棱直线 AH 和 BB1 所成角锥,所以点 H 是△A1BD 的垂心,A 正确;则 D 是错误的。事实上,易知 ? A C 1C 是直线 AH 和 BB1 所 成角,显然不为 45°,从而选 D。 8.四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半 径相等的圆口酒杯,如图所示.盛满酒后他们约定:先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的 高度从左到右依次为 h1,h2,h3,h4,则它们的大小关系正确的是

A.h2>h1>h4 B.h1>h2>h3 C.h3>h2>h4 D.h2>h4>h1 【答案】A 【解析】由圆口酒杯的形状易知,h2 最大,h4 最小,排除 B、C、D,选 A。 9.设椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a > b > 0 ) 的离心率为 e=

1 2

,右焦点为 F(c,0),方程 ax2+bx-c=0

的两个实根分别为 x1 和 x2,则点 P(x1,x2) A.必在圆 x2+y2=2 内 B.必在圆 x2+y2=2 上 C.必在圆 x2+y2=2 外 D.以上三种情形都有可能 【答案】A 【解析】e=
c a ? 1 2



b a

? 1 ? 点 P(x1,x2)到圆 x +y =2 的圆心 O(0,0)的距离为

2

2

d ?

x1 ? x 2
2

2

?

( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ?
2

(?

b a

) ?2
2

c a

?

(

b a

) ?1 ?
2

2 ? r ,选 A。

10.将一个骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 A.
1 9

B.

1 12

C.

1 15

D.

1 18

【答案】B 【解析】将一个骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数的可能情况共有 63 种,其中点数依 次成等差数列,公差 d 可能为 0,?1,?2。d=0,有 6 种,d=?1 有 8 种,d=?2 有 4 种, 故落地时向上的点数依次成等差数列的概率为
18 6?6?6 ? 1 12

,选 B。

11.设函数 f (x)是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y=f (x)在 x=5 处的切线的斜率为

A.-

1 5

B.0

C.

1 5

D.5

【答案】B 【解析】 f ( ? x ) ? f ( x ) ? f ?( ? x )( ? x ) ? ? f ?( x ) ? f ?( ? x ) ? ? f ?( x ) ? f ?(0) ? 0 ,
f ( x ? 5) ? f ( x ) ? f ?( x ? 5)( x ? 5) ? ? f ?( x ) ? f ?( x ? 5) ? f ?( x ) ? f ?(5) ? f ?(0) ? 0 , 则

曲线 y=f (x)在 x=5 处的切线的斜率为 f ? (5) ? 0 ,选 B。 12.设 p:f (x)=ex+In x+2x2+mx+l 在(0,+∞)内单调递增,q:m≥-5,则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C
x 【解析】f (x)=ex+In x+2x2+mx+l 内单调递增 ? f ? ( x ) ? e ?

1 x

? 4 x ? m ? 0( x ? 0)
x

? m ? ? (e ?
x

1 x

? 4 x )( x ? 0 ) , x ? 0 ? e ? 1,
x

1 x

? 4 x ? 4 ? ? (e ?

1 x

? 4 x) ? ?5 ,

? f (x)=ex+In x+2x2+mx+l 内单调递增 ? m ? ? 5 。选 C。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把答案填在答题卡上.

13.设函数 y=4+log2(x-1)(x≥3),则其反函数的定义域为
【答案】 [5, ∞ ) ?



【解析】x≥3 ? y ? 4 ? log 2 (3 ? 1) ? 5 ,函数 y=4+log2(x-1)(x≥3)的值域为 [5, ∞ ) ,则 ?

其反函数的定义域为 [5, ∞ ) 。 ?

14.已知数列{an}对于任意 p,q ∈N*,有 ap+aq=ap+q,若 a1= ,则 a36=
9

1



【答案】4 * 【解析】因数列{an}对于任意 p,q ∈N ,有 ap+aq=ap+q,所以
? a1 ? a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? a n ? 1 ? a n ? 1 ? a n ? a 1 ,所以{an}是公差为 a1 的等差数列,则 a36 ? ? a1 ? a n ?1 ? a n ? 2

=a1+35 a1=36 a1=4。
15.如图,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB、 AC 于不同的两点 M、N,若 A B = m AM , AC =n AN , 则 m+n 的值为 【答案】2 . ,
???

【解析】法一:如图,设 P 是 AC 的中点,连结 OP,则 O

???? ? ? 1 ???? P ? ? AB且 O P ? AB 2 ???? ? ????? 1 ????? ????? ? ????? 1 ????? 1 1 ???? ? ????? AB AN ? AC m AM AN ? n AN OP PN 2 2 ????? ? ????? ? 2 ? ????? ? ? ????? ? ????? ? 2 ????? ? AM AN AM AN AM AN

P

?

1 2

m ?1?

1 2

n ? m ?n ? 2 。

法二: (特殊化法)当 N 与 C 重合时,M 与 B 重合,则 m=n=1?m+n=2。 * 16.设有一组圆 Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4 (k∈N ).下列四个命题: A.存在一条定直线与所有的圆均相切 B.存在一条定直线与所有的圆均相交 C.存在一条定直线与所有的圆均不相交 . D.所有的圆均不经过原点 . 其中真命题的代号是 .(写出所有真命题的代号) 【答案】B、D 【解析】圆心(k-1,3k)( k ? N ? )在射线 y=3x+3 上,半径 r ?
2 k ,结合图形易知真命题的
2

代号是 B、D。事实上,C1:x2+(y-3)2=2,圆心(1,3) ,半径 r1 ?

2 , 1 0 ,又

C2: (x-1)2+(y-6)2=32,圆心(1,6) ,半径 r2 ? 4 2 ,圆心距 C 1C 2 ?

所以圆 C1 内含于圆 C2, 则不存在一条定直线与所 r2 ? r1 ? 3 2 , 10 ? 3 2 ? C 1C 2 ? r2 ? r1 , 有的圆均相切,A 是错误的;直线 x=0 与所有圆都相交,因为圆心 ( k ? 1, 3 k ) 到直线 x=0 的距 离d ? k ?1 ?
2k 对 k ? N
2 ?

恒成立,则 B 对 C 错;因为(0-k+1)2+(0-3k)2=2k4 (k∈N )即

*

2k4-7k2-1=0 (k∈N )无解,所以圆不过原点,则 D 正确。 三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ?
? cx ? 1 ? ?2 ?
? x c
2

*

( 0< x < c )

在区间(0,1)内连续,且 f ( c ) ?
2

9 8



? k

( c ? x < 1)

(1)求实数 k 和 c 的值;

(2)解不等式 f ( x )>
9 8

2 8

?1
9 8 1 2

【解析】 (1)因为 0 ? c ? 1 ,所以 c 2 ? c ,由 f ( c ) ?
2

,即 c ? 1 ?
3

,c ?



又因为

?1 ? x ?1 ?2 f (x) ? ? ? 2 ?4 x ? k ? ?

1? ? ?0 ? x ? ? 2? ? ?1 ? ? ? x ? 1? ?2 ?

在x ?

1 2

处连续,所以 f ?

5 ?1? ?2 ,即 k ? 1 . ?? 2 ?k ? 4 ?2?

?1 ? x ?1 ?2 (2)由(1)得: f ( x ) ? ? ? 2 ?4 x ? 1 ? ?

1? ? ?0 ? x ? ? 2? ? ?1 ? ? ≤ x ? 1? ?2 ?

由 f (x) ?
1 2

2 8

? 1 得,当 0 ? x ?
1 2 5 8

1 2

时,解得

2 4

? x ?

1 2





≤ x ? 1 时,解得

≤ x ?


2 4 5? ? ?. 8? ?

所以 f ( x ) ?

? ? ? 1 的解集为 ? x 8 ? ?
2

? x ?

18. (本小题满分 12 分) 如图,函数 y=2cos(ω x+θ ) (x∈R,ω >0,0≤θ ≤ 在该点处切线的斜率为一 2. (1)求θ 和ω 的值; (2)已知点 A(
?
2

?
2

)的图象与 y 轴交于点(0, 3 ),且

,0),点 P 是该函数图象上一点,点 Q(x0,y0)
3 2

是 PA 的中点,当 y0=

,x0∈[

?
2

,π ]时,求 x0 的值.

【解析】 (1)将 x ? 0 , y ? 因为 0 ≤ ? ≤
? 2

3 代入函数 y ? 2 cos(? x ? ? ) 得 c o s ? ?

3 2



,所以 ? ?

? 6


? 6

又因为 y ? ? ? 2 ? sin(? x ? ? ) , y ?

x?0

? ? 2 ,? ?

,所以 ? ? 2 ,因此 y ? 2 c o s ? 2 x ?
?

?

?? ?. 6 ?

(2)因为点 A ?

??

? , ? , Q ( x 0, y 0 ) 是 P A 的中点, y 0 ? 0 ? 2 ?

3 2



所以点 P 的坐标为 ? 2 x 0 ?
?

?

?

? ,3? . 2 ?

又因为点 P 在 y ? 2 c o s ? 2 x ?
?

?

5? ? ?? ? ? ? ? 的图象上,所以 c o s ? 4 x 0 ? 6 ? 6 ? ?
5? 6 13? 6 ≤ 19? 6

3 2



因为

? 2

≤ x 0 ≤ ? ,所以 5? 6 ? 1 1? 6

7? 6

≤ 4 x0 ? 5? 6 ?


2? 3

从而得 4 x 0 ?

或 4 x0 ?

.即 x 0 ?

或 x0 ?

3? 4



19. (本小题满分 12 分) 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当 第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术 水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.5, 0.6, 0.4.经

过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.6,0.5,0.75. (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率; (2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为ξ ,求随机变量ξ 的期望. 【解析】分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 A1 , A 2 , A 3 , (1)设 E 表示第一次烧制后恰好有一件合格,则
P ( E ) ? P ( A1 ?A2 ?A3 ) ? P ( A1 ?A2 ?A3 ) ? P ( A1 ?A2 ?A3 )
? 0.5 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.38 .

(2)解法一:因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 p ? 0 .3 , 所以 ? ~ B (3, ,故 E ? ? np ? 3 ? 0.3 ? 0.9 . 0.3) 解法二:分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件 A, B, C ,则
P ( A ) ? P ( B ) ? P ( C ) ? 0.3 ,

所以 P (? ? 0) ? (1 ? 0.3) 3 ? 0.343 , P (? ? 1) ? 3 ? (1 ? 0.3) 2 ? 0.3 ? 0.441 ,
P (? ? 2) ? 3 ? 0.3 ? 0.7 ? 0.189 , P (? ? 3) ? 0.3 ? 0.027 .
2 3

于是, E (? ) ? 1 ? 0.441 ? 2 ? 0.189 ? 3 ? 0.027 ? 0.9 . 20. (本小题满分 12 分) 右图是一个直三棱柱(以 A1B1C1 为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为 ABC.已知 A1B1=B1C1=l,∠AlBlC1=90°,AAl=4,BBl=2,CCl=3. (1)设点 O 是 AB 的中点,证明:OC∥平面 A1B1C1; (2)求二面角 B—AC—A1 的大小; (3)求此几何体的体积. 【解析】解法一: (1)证明:作 O D ∥ A A1 交 A1 B1 于 D ,连 C 1 D . 则 O D ∥ B B1 ∥ C C 1 .因为 O 是 A B 的中点, 所以 O D ?
1 2 ( A A1 ? B B 1 ) ? 3 ? C C 1 .

A

则 O D C 1C 是平行四边形,因此有 O C ∥ C 1 D .
C 1 D ? 平面 C 1 B1 A1 且 O C ? 平面 C 1 B1 A1 ,

A2

O

H
B

C C2

A1

C1
D

则 O C ∥ 面 A1 B1C 1 .

B1

(2)如图,过 B 作截面 B A2 C 2 ∥ 面 A1 B1C 1 ,分别交 A A1 , C C 1 于 A 2 , C 2 . 作 B H ? A2 C 2 于 H ,连 C H .

因为 C C 1 ? 面 B A 2 C 2 ,所以 C C 1 ? B H ,则 B H ? 平面 A1 C . 又因为 A B ?
5 , BC ?

2 , AC ?

3 ? AB ? BC ? AC .
2 2 2

所以 B C ? A C ,根据三垂线定理知 C H ? A C ,所以∠ B C H 就是所求二面角的平面角. 因为 B H ?
2 2

,所以 s in ∠ B C H ?

BH BC

?

1 2

,故∠ B C H ? 30 ? ,

即:所求二面角的大小为 3 0 ? .
2 2
VA B C
1 1

(3)因为 B H ?

,所以 V B ? A A C
2

2C

?

1 3

S AA

2C 2C

?B H ?

1 1 2 1 ? (1 ? 2 ) ? 2 ? ? . 3 2 2 2
? VA B C
1 1

1

? A2 B C 2

? S △ A B C ?B B 1 ?
1 1 1

1 2

?2 ? 1 .所求几何体体积为 V ? V B ? A A

2C 2C

1

? A2 B C 2

?

3 2



解法二: (1)如图,以 B1 为原点建立空间直角坐标系, 则 A (0, 4) , B (0,, , C (1,, ,因为 O 是 A B 的中点, 1, 0 2) 0 3)
???? ? 1 ? ? 1 ? 3 ? 0 所以 O ? 0, , ? , O C ? ? 1, , ? . 2 ? ? ? 2 ?

A
C

O
y

z

B

x
C1

A1 B1

? 易知, n ? (0,, 是平面 A1 B1C 1 的一个法向量. 0 1)

因为 O C ?n ? 0 , O C ? 平面 A1 B1C 1 ,所以 O C ∥ 平面 A1 B1C 1 . (2) A B ? (0, 1, 2) , B C ? (1,, , ? ? 0 1) 设 m ? ( x, y, z ) 是 平 面 A B C 的 一 个 法 向 量 , 则 则 A B ?m ? 0 , B C ?m ? 0 得 :
?? y ? 2z ? 0 ? ?x ? z ? 0

???? ?
??? ?

??? ?

??

??? ?? ?

??? ?? ?

,取 x ? ? z ? 1 , m ? (1,, 1) . 2 ?

??

显然, l ? (1, 0) 为平面 A A1C 1C 的一个法向量. 1,
?? ? ?? ? m ?l 1? 2 ? 0 l ? 则 c o s m, ? ?? ? ? 2? 6 m ?l 3 2

?

,结合图形可知所求二面角为锐角.

所以二面角 B ? A C ? A1 的大小是 3 0 ? . (3)同解法一. 21. (本小题满分 12 分) 设动点 P 到点 A(-l,0)和 B(1,0)的距离分别为 d1 和 d2,

∠APB=2θ ,且存在常数λ (0<λ <1),使得 d1d2 sin2θ =λ . (1)证明:动点 P 的轨迹 C 为双曲线,并求出 C 的方程; (2)过点 B 作直线交双曲线 C 的右支于 M、N 两点,试确定λ 的范围,使 OM ·ON =0, 其中点 O 为坐标原点. 【解析】解法一: (1)在 △ P A B 中, A B ? 2 ,即 2 2 ? d 12 ? d 22 ? 2 d 1 d 2 cos 2? ,
4 ? ( d 1 ? d 2 ) ? 4 d 1 d 2 sin ? ,即 d 1 ? d 2 ?
2 2

, 4 ? 4 d 1 d 2 sin ? ? 2 1 ? ? ? 2 (常数)
2

点 P 的轨迹 C 是以 A, B 为焦点,实轴长 2 a ? 2 1 ? ? 的双曲线.方程为: (2)设 M ( x1, y1 ) , N ( x 2, y 2 )

x

2

1? ?

?

y

2

?

?1.

①当 M N 垂直于 x 轴时, M N 的方程为 x ? 1 , M (1, , N (1, 1) 在双曲线上. 1) ?
1 1? ? 1 ?1 ? 2 5 5 ?1 2



?

?

?1? ?

2

? ? ?1 ? 0 ? ? ?

,因为 0 ? ? ? 1 ,所以 ? ?



②当 M N 不垂直于 x 轴时,设 M N 的方程为 y ? k ( x ? 1) .
? x y ? ?1 ? 由 ?1 ? ? 得: ? ? ? (1 ? ? ) k 2 ? x 2 ? 2(1 ? ? ) k 2 x ? (1 ? ? )( k 2 ? ? ) ? 0 , ? ? ? ? y ? k ( x ? 1) ?
2 2

由题意知: ? ? ? (1 ? ? ) k 2 ? ? 0 ,所以 x 1 ? x 2 ? ? ?
k ?
2 2 2

? 2 k (1 ? ? )
2

? ? (1 ? ? ) k

2

, x1 x 2 ?

? (1 ? ? )( k ? ? )
2

? ? (1 ? ? ) k

2



于是: y 1 y 2 ? k ( x 1 ? 1)( x 2 ? 1) ?
2

? ? (1 ? ? ) k



因为 O M ?O N ? 0 ,且 M , N 在双曲线右支上,所以
? (1 ? ? ) ? 2 ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 ? ? ? (1 ? ? ) k ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ?1 ? ? ? ?? ? ? ?1 1? ? ? ? x1 ? x 2 ? 0 ? ?k 2 ? ? ?? 2 ? ? ? 1 ? 0 ? ? x1 x 2 ? 0 ? 1? ? ?
5 ?1 2 2 3

???? ???? ?

5 ?1 2

? ? ?

2 3



由①②知,

≤ ? ?



解法二: (1)同解法一 (2)设 M ( x1, y1 ) , N ( x 2, y 2 ) , M N 的中点为 E ( x 0, y 0 ) .

①当 x1 ? x 2 ? 1 时, M B 因为 0 ? ? ? 1 ,所以 ? ?
2

2

?

?
1? ?

?? ?1? ?

2

? ? ?1? 0 ,

5 ?1 2



? x1 y ? 1 ?1 ? x ? ?1 ? ? ? ②当 x1 ? x 2 时, ? ? kMN ? ? 0 . 2 2 1 ? ? y0 y ? x2 ? 2 ?1 ?1 ? ? ? ?
2

又 k M N ? k BE ?

y0 x0 ? 1

2 2 .所以 (1 ? ? ) y 0 ? ? x 0 ? ? x 0 ;

由∠ M O N ?

? 2

得 x0 ? y0
2
2

2

? MN ? ? MN ? ? e ( x1 ? x 2 ) ? 2 a ? ? ? ? ,由第二定义得 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ?

2

2

2

? ? ? ?

1 1? ?

x0 ?

1 ? 2 1? ? ? ? x 0 ? (1 ? ? ) ? 2 x 0 . 1? ? ?

2 2 所以 (1 ? ? ) y 0 ? ? x 0 ? 2(1 ? ? ) x 0 ? (1 ? ? ) 2 .

于是由 ?

? (1 ? ? ) y 0 ? ? x 0 ? ? x 0 ?
2 2

? (1 ? ? ) y 0 ? ? x 0 ? 2 (1 ? ? ) x 0 ? (1 ? ? ) ?
2 2

2

得 x0 ?

(1 ? ? ) 2 ? 3?

2

因为 x 0 ? 1 ,所以
5 ?1 2

(1 ? ? ) 2 ? 3?

2

? 1 ,又 0 ? ? ? 1 ,

解得:

? ? ?

2 3

.由①②知

5 ?1 2

≤ ? ?

2 3



22. (本小题满分 14 分)
1

设正整数数列{an}满足:a2=4,且对于任何 n∈N ,有 2 ?

*

1 a n ?1



a n ? a n ?1 1 n ? 1 n ?1

<2 ?

1 an



(1)求 a1,a3;

(2)求数列{ an }的通项 an .
1 a n ?1 1 a2 ? 1 1 ? 1 ? n ( n ? 1) ? ? ?? 2? a n ?1 ? an ? an

【解析】 (1)据条件得 2 ?



当 n ? 1 时,由 2 ?
2 3 8 7

? 1 1 ? 1 1 2 2 1 ? 2? ? ? ? 2? ,即有 2 ? ? , ?? 2? 4 a1 4 a1 a2 ? a1 ? a1

解得

? a1 ?

.因为 a 1 为正整数,故 a 1 ? 1 .

当 n ? 2 时,由 2 ?

?1 1 ? 1 ? 6? ? ,解得 8 ? a 3 ? 10 ,所以 a 3 ? 9 . ?? 2? a3 4 ? 4 a3 ? 1

(2)方法一:由 a 1 ? 1 , a 2 ? 4 , a 3 ? 9 ,猜想: a n ? n 2 . 下面用数学归纳法证明. 1 ? 当 n ? 1 , 2 时,由(1)知 a n ? n 2 均成立; 2 ? 假设 n ? k ( k ≥ 2) 成立,则 a k ? k 2 ,则 n ? k ? 1 时 由①得 2 ?
1 a k ?1
2 2 ? 1 1 ? 1 k ( k ? 1) k ( k ? k ? 1) ? a k ?1 ? ? k ( k ? 1) ? 2 ? ? 2? 2 ? 2 ? k ? k ?1 k ?1 a k ?1 ? k ?k

? ( k ? 1) ?
2

( k ? 1)
2

2

k ?1

? a k ? 1 ? ( k ? 1) ?
2

1 k ?1 ( k ? 1) k
2 2

因为 k ≥ 2 时, ( k 2 ? 1) ? ( k ? 1) 2 ? k ( k ? 1)( k ? 2) ≥ 0 ,所以
k ? 1 ≥ 1 ,所以
1 k ?1

?1

? ? 0,? . 1

? ? 0,? .又 a k ? 1 ? N ,所以 ( k ? 1) ≤ a k ? 1 ≤ ( k ? 1) . 1
* 2 2

故 a k ? 1 ? ( k ? 1) 2 ,即 n ? k ? 1 时, a n ? n 2 成立. 由 1 ? ,2 ? 知,对任意 n ? N * , a n ? n 2 . (2)方法二: 由 a 1 ? 1 , a 2 ? 4 , a 3 ? 9 ,猜想: a n ? n 2 . 下面用数学归纳法证明. 1 ? 当 n ? 1 , 2 时,由(1)知 a n ? n 2 均成立; 2 ? 假设 n ? k ( k ≥ 2) 成立,则 a k ? k 2 ,则 n ? k ? 1 时 由①得 2 ?
1 a k ?1 ? 1 1 ? 1 ? k ( k ? 1) ? 2 ? ?? 2? 2 a k ?1 ? k ?k
? k ( k ? 1) a k ?1 ? 2? 1 k
2

即2 ?

1 a k ?1

?

k ?1 k



由②左式,得

k ?1 k

?

k ? k ?1
2

a k ?1

,即 ( k ? 1) a k ? 1 ? k 3 ? k 2 ? k ,因为两端为整数, ③

则 ( k ? 1) a k ? 1 ≤ k 3 ? k 2 ? k ? 1 ? ( k ? 1) 2 ( k ? 1) .于是 a k ? 1 ≤ ( k ? 1) 2

又由②右式,

k ( k ? 1) a k ?1

?

2 k ? 1 ? k ( k ? 1)
2

k

2

?

k ? k ?1
2

k

2

.则 ( k 2 ? k ? 1) a k ? 1 ? k 3 ( k ? 1) .

因为两端为正整数,则 ( k 2 ? k ? 1) a k ? 1 ≥ k 4 ? k 3 ? 1 , 所以 a k ? 1 ≥
k ? k ?1
4 3

k ? k ?1
2

? ( k ? 1) ?
2

k k ? k ?1
2



又因 k ≥ 2 时, a k ? 1 为正整数,则 a k ? 1 ≥ ( k ? 1) 2 据③④ a k ? 1 ? ( k ? 1) 2 ,即 n ? k ? 1 时, a n ? n 2 成立. 由 1 ? ,2 ? 知,对任意 n ? N * , a n ? n 2 .





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