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数学理卷·2015届辽宁省东北育才学校、省实验中学、大连二十高(新疆部)三校高二下学期期末联考



【试卷综析】 试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。 整份试卷 难易适中,没有偏、难、怪题,保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情;在选题 和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础,突出知识体系中的重点,培养能力”的命题原 则,重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60

分,每题四个选项中只有一项是符 合题目要求的) 3 3 1. 等于( ) A. -3i B.- i C. i D.-i 2 i 【知识点】复数代数形式的乘除运算. 【答案解析】A 解析 :解 : = 故答案选:A. 【思路点拨】利用复数的运算法则即可得出. 2.用数学归纳法证明 1+ a + a +?+ a 时,左边的项是( A.1 ) B.1+ a
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=﹣3i.

2

n ?1

1 ? a n?2 * =( a ≠1,n∈N ),在验证 n=1 成立 1? a
D.1+ a + a 2 + a 4
2

C.1+ a + a 2

【知识点】数学归纳法.

【答案解析】C 解析 :解 : 当 n=1 时,易知左边=1+a+a , 故答案选 C 【思路点拨】在验证 n=1 时,左端计算所得的项.只需把 n=1 代入等式左边即可得到答案. 3 在验证吸烟与否与患肺炎与否有关的统计中, 根据计算结果, 认为这两件事情无关的可能 性不足 1%,那么 K 的一个可能取值为( A.6.635
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2

) C.7.897 D.3.841

B.5.024

【知识点】独立性检验. 2 【答案解析】C 解析 :解 : ∵ 计算出 P(Χ ≥6.635)≈0.01, 这说明两件事情无关的可能性不足 1%, 即判断吸烟与患肺炎有关,合理的程度约为 99%以上,由此可得 C 正确. 故答案选:C. 【思路点拨】同临界值表进行比较,得到假设两件事情无关不合理的程度约为 99%,即无关 的可能性不足 1%,由临界值表可得答案. 【典型总结】本题是一个独立性检验,熟练掌握临界值表及独立性检验的思想方法是解题 的关键. 4 在极坐标系中,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴,建立直角坐标系,点 M(2,

?
6



的直角坐标是( A. (2,1)

) B. ( 3 ,1) C. (1, 3 ) D. (1,2)

【知识点】极坐标刻画点的位置;简单曲线的极坐标方程. 【答案解析】B 解析 :解 : 根据直角坐标和极坐标的互化公式 x=ρcosθ、y=ρsinθ, 可得点 M(2, 故答案选:B. 【思路点拨】根据直角坐标和极坐标的互化公式 x=ρcosθ、y=ρsinθ,把点 M(2, )化为 )的直角坐标为( ,1) ,

直角坐标. 5.在一个投掷硬币的游戏中, 把一枚硬币连续抛两次, 记“第一次出现正面”为事件 A, “第 二次出现正面”为事件 B,则 P(B|A)等于( A. 1 2 1 B. 4 C. 1 6 ) 1 D. 8

【知识点】条件概率与独立事件. 【答案解析】A 解析 :解 : 由题意知本题是一个条件概率, 第一次出现正面的概率是 , 第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是 ,

∴ P(B|A)= 故答案选 A. 【思路点拨】本题是一个条件概率,第一次出现正面的概率是 ,第一次出现正面且第二次 也出现正面的概率是 ,代入条件概率的概率公式得到结果.

【典型总结】本题解题的关键是看出事件 AB 同时发生的概率,正确使用条件概率的公式. 6.如图,阴影部分的面积是( )

A.2 3

B.2- 3

32 C. 3

35 D. 3

【知识点】定积分在求面积中的应用. 2 【答案解析】C 解析 :解 : 直线 y=2x 与抛物线 y=3﹣x

解得交点为(﹣3,﹣6)和(1,2) 抛物线 y=3﹣x 与 x 轴负半轴交点(﹣ 设阴影部分面积为 s,则
2

,0)

= = 所以阴影部分的面积为 故答案选:C. 【思路点拨】求阴影部分的面积,先要对阴影部分进行分割到三个象限内,分别对三部分进 行积分求和即可. 7 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有 5 架歼-15 飞机准备着 舰. 如果甲、 乙两机必须相邻着舰, 而丙、 丁两机不能相邻着舰, 那么不同的着舰方法有( A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.48 种 ) ,

【知识点】排列、组合及简单计数问题. 【答案解析】C 解析 :解 :把甲、乙看作 1 个元素和戊全排列,调整甲、乙,共有 种方法,再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的 3 个空位种,有 由分步计算原理可得总的方法种数为: 故答案选 C 【思路点拨】分两大步:把甲、乙看作 1 个元素和戊全排列,调整甲、乙,共有 方法,再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的 3 个空位种,有 算原理可得答案. 8. (3 x ? )8 (n∈N+)的展开式中含有常数项为第( A.4 B.5 C.6 种 =24 种方法,

种方法,由分步计

1 x

)项 D.7

【知识点】二项式定理的应用. 【答案解析】B 解析 :解 : 由于 (3 x ? )8 (n∈N+)的展开式的通项公式为

1 x

1 r 8 ﹣ r Tr ?1 ? C( ) ? ( ) r ? 3n﹣r C8r x8﹣2 r, 8 3x x
令 8﹣2r=0,则 r=4, ∴ (3 x ? )8 (n∈N+)的展开式中含有常数项为第 5 项. 故答案选:B.

1 x

【思路点拨】先求出二项式展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于 0,即可求得结论. * 9. 口袋中有 n(n∈N )个白球,3 个红球.依次从口袋中任取一球,如果取到红球,那么继 续取球,且取出的红球不放回;如果取到白球,就停止取球.记取球的次数为 X.若 P(X=2) 7 = ,则 n 的值为( 30 A.5 B.6 ) C.7 D.8

【知识点】等可能事件的概率. 【答案解析】C 解析 :解 : P(X=2)= 即 7n ﹣55n+42=0,即(7n﹣6) (n﹣7)=0.因为 n∈N ,所以 n=7. 故答案选:C. 【思路点拨】x=2 说明第一次取出的是红球,第二次取出的是白球,取球方法数为 A3 ?AN , 所有的取球方法数 An ?32 . 10 有四辆不同特警车准备进驻四个编号为 1,2,3,4 的人群聚集地, 其中有一个地方没有特 警车的方法共________种. A.144 B.182 C.106 D.170
1 1

2

*

【知识点】排列、组合及简单计数问题. 【答案解析】A 解析 :解 : 由题意,四辆不同特警车准备进驻四个编号为 1,2,3,4 的 人群聚集地,其中有一个地方没有特警车,说明必须恰有一个地方有 2 辆特警车,再从四辆 不同特警车中选两个作为一个元素, 同另外两个元素在三个位置全排列, 故共有 C4 A4 =144 种不同的放法. 故答案选:A 【思路点拨】要保证恰好有一个地方没有特警车,则必须恰有一个地方有 2 辆特警车.先选 两个元素作为一组再排列, 再从四辆不同特警车中选两个作为一个元素, 同另外两个元素在 三个位置全排列,根据分步计数原理得到结果 【典型总结】本题的考点是排列、组合的实际应用,主要考查分步计数原理,注意这种有 条件的排列要分两步走,先选元素再排列. 11 直线的参数方程为 ? A. 400
0 ? ? x ? t sin 50 ? 1 (t 为参数),则直线的倾斜角为( 0 y ? ? t cos 50 ? ?

2

3

)

B. 500

C. 1400

D. 1300

【知识点】直线的倾斜角. 【答案解析】C 解析 :解 : 由直线的参数方程为 (t 为参数) ,

可得 故答案选:C.

,∴ α=140 ,

0

【思路点拨】利用直线斜率的计算公式、正切函数的诱导公式即可得出. 12. 已知函数 f ( x) = x ? 2 x ,则下列结论正确的是( 1 A.当 x= 时 f ( x) 取最大值 ln2 1 C.当 x=- 时 f ( x) 取最大值 ln2 【知识点】利用导数求最值. 【答案解析】D 解析 :解 : )

1 B.当 x= 时 f ( x) 取最小值 ln2 1 D.当 x=- 时 f ( x) 取最小值 ln2

x f (x ) ? x ? 2 ? , f? x ( ) ? x2? ? 1 x ln 2 ?,

f ?( x) ? 0 ? x ? ?
故答案选:D.

1 1 1 , f ?( x) ? 0 ? x ? ? ,故当 x= ? 时 f ( x) 取最小值 ln 2 ln 2 ln 2

【思路点拨】先对原函数求导,借助导数与单调性的关系判断出最值.

卷 II
二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13 在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ )(σ >0).若 ξ 在(0,1)内取值的概 率为 0.4,则 ξ 在(0,2)内取值的概率为________. 【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义;概率的基本性质. 【答案解析】0.8 解析 :解 :∵ ξ 服从正态分布 N(1,σ ) ,ξ 在(0,1)内的概率为 0.4, 由正态分布的对称性可知 ξ 在(1,2)内的取值概率也为 0.4, ∴ P(0<ξ<2)=P(0<ξ<1)+P(1<ξ<2)=0.4+0.4=0.8 故答案为:0.8 【思路点拨】根据变量符合正态分布和 ξ 在(0,1)内的概率为 0.4,由正态分布的对称性 可知 ξ 在(1,2)内的取值概率也为 0.4,根据互斥事件的概率得到要求的区间上的概率. 14 复数 z 满足方程 z ? (?1 ? i ) = 4 ,那么复数 z 在复平面内对应的点 P 的轨迹方程 ____________ 【知识点】复数求模;复数的代数表示法及其几何意义. 【答案解析】( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 16 解析 :解 :设 z=x+yi,则由|z﹣(﹣1+i)|=4 得|(x+1)
2 2
2

2

+(y﹣1)i|=4, 即 则(x+1) +(y﹣1) =16, 故答案为: ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 16 .
2 2


2 2

【思路点拨】根据复数模长的公式,建立方程即可得到结论. 15 下列五个命题 ①任何两个变量都具有相关关系 ②圆的周长与该圆的半径具有相关关系 ③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系

④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的 ⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线,把非确定性问题转化为确定性问题进行研究 正确命题的序号为____________. 【知识点】命题的真假判断与应用. 【答案解析】③④⑤解析 :解 : ①任何两个变量不一定具有相关关系,故①错; ②圆的周长与该圆的半径是函数关系,而不是具有相关关系,故②错; ③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系,故③正确; ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的,故④正确; ⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线,把非确定性问题转化为确定性问题进行研究, 故⑤正确. 故答案为:③④⑤ 【思路点拨】客观现象之间存在的互相依存关系叫相关关系,全称为统计相关关系.有如下 两个特点: 1.现象之间确实存在着数量上的依存关系. 2.现象之间数量上的关系是不确定、不严格的依存关系. 根据相关关系的定义与回归分析的统计意义进行判断. 16 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数 1,3,6,10· · · ,第 n 个三角形数为

n(n ? 1) 1 2 1 记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)( k ? 3 ),以下列出了部分 ? n ? n。 2 2 2
1 2 1 n ? n 2 2

k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 N(n,3)=

N(n,4)= n 2 N(n,5)=

3 2 1 n ? n 2 2

N(n,6)= 2n 2 ? n

可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)= ____________ 【知识点】归纳推理. 【答案解析】1000 解析 :解 : 原已知式子可化为: , , , 由归纳推理可得 故 故答案为:1000 , =1100﹣100=1000 ,

【思路点拨】观察已知式子的规律,并改写形式,归纳可得 把 n=10,k=24 代入可得答案. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程演算步骤)



17 (本小题满分 10 分) 如果复数 z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i (m∈R)的共轭复数 z 对 应的点在第一象限,求实数 m 的取值范围. 【知识点】复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义. -1+ 5 3 【答案解析】 <m< . 2 2 解析 :解 : ∵z=(m +m-1)+(4m -8m+3)i, ∴ z =(m +m-1)-(4m -8m+3)i.-----------------------4 分
?m +m-1>0 ? 由题意得? 2 ?4m -8m+3<0 ?
2 2 2 2 2

-------------------------------8 分

-1+ 5 3 解得 <m< .--------------------------------------10 分 2 2 -1+ 5 3 即实数 m 的取值范围是 <m< . 2 2 【思路点拨】写出复数 z 的共轭复数,对应的点在第一象限,说明其实部大于 0,虚部大于 0, 列不等式求解 a 的取值范围. 【典型总结】 本题考查了复数的基本概念,关键是读懂题意,把问题转化为方程或不等式组求 解,此题是基础题. 18. (本小题 12 分)打鼾不仅影响别人休息,而且可能与患某种疾病有关.下表是一次调查 所得的数据,(1)将本题的 2*2 联表格补充完整。 (2)用提示的公式计算,每一晚都打鼾与患心脏病有关吗?

n(n11n22 ? n 12 n21 ) 2 提示: K ? n1? n2? n?1n?2
2

患心脏病 每一晚都打鼾 不打鼾 合计 3 2 c=

未患心脏病 17 128 d=

合计 a= b= n=

【知识点】独立性检验. 【答案解析】(1) a=20 b=130 c=5 d=145 n=150 (2) 有 99%的把握说“每一晚都打鼾与患 心脏病有关”. 解析 :解 : (1)根据表中数据,得到 a=20 b=130 c=5 d=145 n=150------------------------------------------4 分

(2) K ?
2

(3 ?128 ? 17 ? 2) 2 ?150 ? 9.8 --------------------------------------10 分 20 ?130 ? 5 ?145

∵9.8>6.635,∴有 99%的把握说“每一晚都打鼾与患心脏病有关”.--------12 分 【思路点拨】 (1)根据列联表中各数据之间的关系求 a、b、c、d 及 n 的值; (2)公式相关 2 指数公式计算 k 的观测值,根据临界值表判定“每一晚都打鼾与患心脏病有关”的可靠性. 【典型总结】本题考查了由列联表求两个变量的相关指数及独立性检验方法,考查学生的 运算能力,正确理解独立性检验思想方法是解题的关键. 19(本小题 12 分)给出四个等式: 1=1 1-4=-(1+2) 1-4+9=1+2+3 1-4+9-16=-(1+2+3+4) ?? (1)写出第 5,6 个等式,并猜测第 n(n∈N )个等式 (2)用数学归纳法证明你猜测的等式. 【知识点】数学归纳法;归纳推理. 【答案解析】(1) 1-4+9-16+25=1+2+3+4+5;1-4+9-16+25-36=-(1+2+3+4+5+6) 1 -2 +3 -4 +?+(-1) 解析 :解 : 第 5 行 1-4+9-16+25=1+2+3+4+5-----------------------------------------2 分 第 6 行 1-4+9-16+25-36=-(1+2+3+4+5+6)-------------------------------4 分 第 n 行等式为: 1 -2 +3 -4 +?+(-1)
2 2 2 2 2 2 2 2 *

n-1 2

n =(-1)n-1 ·(1+2+3+?+n).(2)见解析

n-1 2

n =(-1)n-1 ·(1+2+3+?+n).-------------6 分
2

证明:(1)当 n=1 时,左边=1 =1, 1×(1+1) 0 右边=(-1) × =1,左边=右边,等式成立.--------------------8 分 2 (2)假设 n=k(k∈N )时, 等式成立, 即 1 -2 +3 -4 +?+(-1) 则当 n=k+1 时, 1 -2 +3 -4 +?+(-1)
k
2 2 2 2 * 2 2 2 2

k-1 2

k(k+1) k =(-1)k-1· .
2

k-1 2

k(k+1) k 2 k +(-1)k(k+1)2=(-1)k-1· +(-1) (k+1)
2
k

=(-1) (k+1)·?(k+1)- ?=(-1) · 2? ? ∴当 n=k+1 时,等式也成立

?

k?

(k+1)[(k+1)+1] . 2

根据(1)、(2)可知,对于任何 n∈N 等式均成立.--------------------------12 分 【思路点拨】 (1) 本题考查归纳推理, 解题时要认真分析题意中的等式, 发现其变化的规律, 注意验证即可; (2)根据数学归纳法证明步骤即可证明. 20(本小题 12 分)厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商

*

家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品. (1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8,从中任意取出 4 件进行检验,求至少 有 1 件是合格品的概率; (2)若厂家发给商家 20 件产品, 其中有 3 件不合格. 按合同规定该商家从中任取 2 件进 行检验,只有 2 件都合格时才接收这批产品,否则拒收.求该商家可能检验出不合格产 品数 ξ 的分布列及数学期望 E(ξ ),并求该商家拒收这批产品的概率. 【知识点】互斥事件的概率加法公式;离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望 与方差. 【答案解析】(1) 0.9984. (2) 分布列为 ξ 0 68 95 3 10 1 51 190 2 3 190 27 95

P

E(ξ )= .商家拒收这批产品的概率为 .
解析 :解 : (1)记“厂家任取 4 件产品检验,其中至少有 1 件是合格品”为事件 A,有

P(A)=1-P( A )=1-0.24=0.9984.-------------------------------------4 分
(2)ξ 可能的取值为 0、1、2.

P(ξ =0)= 2 = ;
C3C17 51 P(ξ =1)= 2 = ; C20 190
1 1

C17 68 C20 95

2

P(ξ =2)= 2 =

C3 C20

2

3 .---------------------------------------------------8 分 190 ξ 0 68 95 1 51 190 2 3 190

P E(ξ )=0× +1×
68 95

51 3 3 +2× = .------------------------------------10 分 190 190 10

记“商家任取 2 件产品检验都合格”为事件 B,则商家拒收这批产品的概率 P=1-P(B)=1 27 -P(ξ =0)= . 95 27 所以商家拒收这批产品的概率为 .---------------------------------------12 分 95 【思路点拨】 (1)由对立事件概率公式,及产品合格的概率为 0.8,我们易得从产品中任意 取出 4 件进行检验.求至少有 1 件是合格品的概率; (2)根据(1)的结论,根据分布列及 数学期望的计算公式,易得到最终结果. 21(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b 的图象上一点 P(1,0),且在 P 点处的切
3 2

线与直线 3 x ? y ? 0 平行. (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求函数 f ( x) 在区间[0,t](0<t<3)上的最大值和最小值; (3)在(1)的结论下,关于 x 的方程 f ( x) ? c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根,求实 数 c 的取值范围 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭 区间上函数的最值. 【答案解析】(1) (2) 解析 :解 : (1)因为 f′(x)=3x +2ax,曲线在 P(1,0)处的切线斜率为 f′(1)=3+2a, 即 3+2a=-3,所以 a=-3. 又函数过(1,0)点,即-2+b=0,所以 b=2. 所以 f(x)=x -3x +2.------------------- ------------------------------2 分 (2)由 f(x)=x -3x +2,f′(x)=3x -6x. 由 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2. ①当 0<t≤2 时,在区间(0,t)上 f′(x)<0,f(x)在[0,t]上是减函数, 所以 f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(t)=t -3t +2.---------------------------4 分 ②当 2<t<3 时,当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况见下表:
3 2 3 2 2 3 2 2

x f′(x) f(x)

0 0 2

(0,2) -

2 0 -2

(2,t) +

t


t3-3t2+2

--------------------------------------------------------------------6 分 f(x)min=f(2)=-2,f(x)max 为 f(0)与 f(t)中较大的一个. f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0.
所以 f(x)max=f(0)=2.--------------------------------------------------8 分 (3)令 g(x)=f(x)-c=x -3x +2-c,g′(x)=3x -6x=3x(x-2). 在 x∈[1,2)上,g′(x)<0;在 x∈(2,3]上,g′(x)>0.要使 g(x)=0 在[1,3]上恰有两个相 异的实根,则
3 2 2

? g (1) ? 0 ? ? g (2) ? 0 ? g (3) ? 0 ?

解得-2<c≤0. -------------------------------------------12 分

【思路点拨】1)由题目条件知,点 P(1,0)为切点,且函数在改点处的导数值为切线的 斜率,从而建立关于 a,b 的方程,可求得 a,b 的值; (2)由(1)确定了函数及其导数的解析式,解不等式 f'(x)>0 与 f'(x)<0,可求出 函数的单调区间,讨论 t 与区间(0,2]的位置关系,根据函数的单调性分别求出函数 f(x)

在区间[0,t](t>0)上的最小值和最大值. 22(本小题 12 分) 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ =2,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半 轴建立平面直角坐标系,直线 L 的参数方程为 ?

? ?x ? 1? t (t 为参数) y ? 2 ? 3 t ? ?

(1)写出直线 L 的普通方程与 Q 曲线 C 的直角坐标方程;

? x' ? x ? (2)设曲线 C 经过伸缩变换 ? ' 1 得到曲线 C ' ,设 ?y ? y ? 2
x 2 ? 3 xy ? 2 y 2 的最小值,并求相应的点 M 的坐标
【知识点】椭圆的参数方程. 【答案解析】(1) 式的最小值为 1.

M(x,y) 为 C ' 上 任 意 一 点 , 求

3 x ? y ? 3 ? 2 ? 0 (2) 当 M 为(

)或

时原

解析 :解 : (1)圆 C 的方程为 x ? y ? 4 ---------------------------------2 分
2 2

直线 L 方程为 3 x ? y ? 3 ? 2 ? 0 -------------------------------4 分

? x' ? x 2 ? 2 2 ' x (2)由 ? ' 1 和 x ? y ? 4 得 C ? y 2 ? 1 -----------------------6 分 4 ?y ? y ? 2
设 M 为?

? x ? 2cos? ? y ? sin?
)或

--------------------10 分

所以当 M 为(

时原式的最小值 1.-----------------12 分
2 2 2

【思路点拨】 (1)直接消去参数 t 得直线 l 的普通方程,根据 ρ =x +y 可得曲线 C 的直角 坐标方程; (2) 先根据伸缩变换得到曲线 C′的方程, 然后设 M (2cosθ , sinθ ) , 则 x=2cosθ , y=sinθ 代入,根据三角函数的性质可求出所求.

2013--2014 学年度下学期期末考试
高二数学答案

13、0.8 三解答题

14、 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 16

15、③④⑤

16、1000

17 ∵z=(m +m-1)+(4m -8m+3)i, ∴ z =(m +m-1)-(4m -8m+3)i.-----------------------4 分
? ?m +m-1>0 由题意得? 2 ?4m -8m+3<0 ?
2 2 2

2

2

-------------------------------8 分

-1+ 5 3 解得 <m< .--------------------------------------10 分 2 2 -1+ 5 3 即实数 m 的取值范围是 <m< . 2 2 18 [解析] 根据表中数据,得到 n=150------------------------------------------4 分

a=20 b=130 c=5 d=145
2

(3 ?128 ? 17 ? 2) 2 ?150 K ? ? 9.8 --------------------------------------10 分 20 ?130 ? 5 ?145
∵9.8>6.635,∴有 99%的把握说“每一晚都打鼾与患心脏病有关”.--------12 分 19 [解析]

第 5 行 1-4+9-16+25=1+2+3+4+5-----------------------------------------2 分 第 6 行 1-4+9-16+25-36=-(1+2+3+4+5+6)-------------------------------4 分 第 n 行等式为: 1 -2 +3 -4 +?+(-1)
2 2 2 2

n-1 2

n =(-1)n-1 ·(1+2+3+?+n).-------------6 分
2

证明:(1)当 n=1 时,左边=1 =1, 1×(1+1) 0 右边=(-1) × =1,左边=右边,等式成立.--------------------8 分 2 (2) 假设 n = k(k∈N ) 时,等式成立,即 1 - 2 + 3 - 4 +?+ ( - 1)
1 * 2 2 2 2

k-1 2

k = ( - 1)k -

·

k(k+1)
2

.

则当 n=k+1 时,

1 -2 +3 -4 +?+(-1) =(-1)
k-1

2

2

2

2

k-1 2

k +(-1)k(k+1)2
2

·

k(k+1)
2

+(-1) (k+1)

k

=(-1) (k+1)·?(k+1)- ? 2? ?
k

?

k?

(k+1)[(k+1)+1] k =(-1) · . 2 ∴当 n=k+1 时,等式也成立 根据(1)、(2)可知,对于任何 n∈N 等式均成立.--------------------------12 分 20 (1)记“厂家任取 4 件产品检验,其中至少有 1 件是合格品”为事件 A,有
*

P(A)=1-P( A )=1-0.24=0.9984.-------------------------------------4 分
(2)ξ 可能的取值为 0、1、2.

P(ξ =0)= 2 = ;
C3C17 51 P(ξ =1)= 2 = ; C20 190
1 1

C17 68 C20 95

2

P(ξ =2)= 2 =

C3 C20

2

3 .---------------------------------------------------8 分 190 ξ 0 68 95 1 51 190 2 3 190

P E(ξ )=0× +1×
68 95

51 3 3 +2× = .------------------------------------10 分 190 190 10

记“商家任取 2 件产品检验都合格”为事件 B, 则商家拒收这批产品的概率 P=1-P(B) 27 =1-P(ξ =0)= . 95 27 所以商家拒收这批产品的概率为 .---------------------------------------12 分 95 21 (1)因为 f′(x)=3x +2ax,曲线在 P(1,0)处的切线斜率为 f′(1)=3+2a,即 3
2

+2a=-3,所以 a=-3. 又函数过(1,0)点,即-2+b=0,所以 b=2. 所以 f(x) = x - 3x + 2.------------------- --------------------------------2 分 (2)由 f(x)=x -3x +2,f′(x)=3x -6x. 由 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2. ①当 0<t≤2 时,在区间(0,t)上 f′(x)<0,f(x)在[0,t]上是减函数,
3 2 2 3 2

所以 f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(t)=t -3t +2.---------------------------4 分 ②当 2<t<3 时,当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况见下表:

3

2

x f′(x) f(x)

0 0 2

(0,2) -

2 0 -2

(2,t) +

t


t3-3t2+2

--------------------------------------------------------------------6 分 f(x)min=f(2)=-2,f(x)max 为 f(0)与 f(t)中较大的一个. f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0.
所以 f(x)max=f(0)=2.--------------------------------------------------8 分 (3)令 g(x)=f(x)-c=x -3x +2-c,g′(x)=3x -6x=3x(x-2). 在 x∈[1,2)上,g′(x)<0;在 x∈(2,3]上,g′(x)>0.要使 g(x)=0 在[1,3]上恰有两 个相异的实根,则
3 2 2

? g (1) ? 0 ? ? g (2) ? 0 ? g (3) ? 0 ?

解得-2<c≤0. -------------------------------------------12 分

22 (1)圆 C 的方程为 x ? y ? 4 ---------------------------------------2 分
2 2

直线 L 方程为 3 x ? y ? 3 ? 2 ? 0 -------------------------------4 分

? x' ? x 2 ? 2 2 ' x (2)由 ? ' 1 和 x ? y ? 4 得 C ? y 2 ? 1 -----------------------6 分 4 ?y ? y ? 2



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