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单调性与最值教案(打印)



1.3.1 函数的单调性与最大(小)值
一、教学重点:函数的单调性、最大(小)值及其几何意义, 二、教学难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性,利用函数的单调性求函数的最大(小)值 三、教学过程: 一、知识导向或者情景引入 1、观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律: y y y

1 -1 -1 1 x -1<

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1 -1 1 x -1

1 -1 1 x

(1)随 x 的增大,y 的值有什么变化? (2)能否看出函数的最大、最小值? (3)函数图象是否具有某种对称性? 2、画出下列函数的图象,观察其变化规律: 2 在区间 ____________ 上,随着 x 的增大,f(x)的 (1)f(x) = x:1 从左至右图象上升还是下降 ______?○ 值随着 ________ . 2 在区间 ____________ 上,随着 x 的增大,f(x) (2)f(x) = -2x+1:1 从左至右图象上升还是下降 ______?○ 的值随着 ________ . (3)f(x) = x
2

1 在区间 ____________ 上,f(x)的值随着 x 的增大而 ________ . ○ 2 在区间 ____________ 上,f(x)的值随着 x 的增大而 ________ . ○ 二、新课教学 (一)函数单调性定义 1.增函数 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function). 思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义.(学生活动) 注意:1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;单调性是与“区间”紧密相关 的概念,一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) .注意“任意”两字绝不能 ○ 丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换,两个任意的自变量是属于同一个单调区间。 2.函数的单调性定义 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间: 3.利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ 2 作差 f(x1)-f(x2);3 变形(通常是因式分解和配方); ○ 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负);5 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性). ○ 4、判定函数单调性的常见方法 (1)定义法:如上述步骤,这是证明或判定函数单调性的常用方法 (2)图象法:根据函数图象的升降情况进行判断。
1

(3)直接法:运用已知的结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可 直接说出。直接判定函数的单调性,可用到以下结论: (3.1)函数 y ? ? f ( x)与函数y ? f ( x) 的单调性相反 (3.2)函数 y ( x) 恒为正或恒为负时,函数 y ?

1 与y ? f ( x) 的单调性相反。 f ( x)

(3.3)在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数 等 提醒:书写函数的单调区间时,区间端点的开或闭没有严格规定,习惯上,若函数在区间端点处有定义,则 写成闭区间,当然写成开区间也可;若函数在区间端点处没有定义,则必须写成开区间。 (二)典型例题 例 1.(教材 P29 例 1)例 2.(教材 P29 例 2)。例 3.函数 y =-x +2 | x | + 3 的单调区间. 巩固练习 证明函数 y ? x ?
2

1 在(1,+∞)上为增函数。 x

归纳小结,强化思想 函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函数的单调区间时 必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步:取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 (三)函数的最大(小)值 画出下列函数的图象,并根据图象解答下列问题: 1 说出 y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上的单调性; ○ 2 指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征? ○ (1) f ( x) ? ?2 x ? 3 (3) f ( x) ? x ? 2 x ? 1
2

(2) f ( x) ? ?2 x ? 3 x ?[?1,2] (4) f ( x) ? x ? 2 x ? 1
2

x ?[?2,2]

(3.1)函数最大(小)值定义 1.最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M;(2)存在 x0∈I,使得 f(x0) = M 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(Maximum Value). 思考:仿照函数最大值的定义,给出函数 y=f(x)的最小值(Minimum Value)的定义.(学生活动) 注意: 1 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; ○ 2 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M(f(x)≥M). ○ 2.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○ 2 利用图象求函数的最大(小)值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 ○ 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); (3.2)典型例题 例 1.(教材 P30 例 3).例 2.(教材 P31 例 4)
2



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