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2.1.曲线的参数方程



呼和浩特第一中学

高二数学 选修4-4

第二章

参数方程

2.1 曲线的参数方程

http://www.hhyz.net

1、参数方程的概念:
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援

物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢? 提示: 即求飞行员在离救援点的水平 距离多远时,开始投放物资?

投放点



救援点

参数方程的概念

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如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢? 设飞机在点A将物资投出机舱,

y A

在经过飞行航线(直线)且垂直于地平面的平面上建立平面 直角坐标系,其中x轴为地平面与这个平面的交线,y轴经 过点A. 记物资投出机舱时为时刻0,在时刻 t 时物资 的位置为M(x,y).则x表示物资的水平位移量, y表示物资距地面的高度。 由于水平位移量x与高度y 是两种不 同的运动得到的,因此直接建立x,y 所要满足的关系式并不容易。

o

x

参数方程的概念

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如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢? 物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成:

y 500

(1)沿ox作初速度为100m/s的匀速直线运动; (2)沿oy反方向作自由落体运动。

o

x

参数方程的概念

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在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点 的坐标x, y都是某个变量 t 的函数
? x ? f (t ), a?t?b ? ? y ? g(t ).
(1)

并且对于 t 的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定 的点M(x,y)都在这一曲线上;则方程(1) 就叫做这 条曲线的参数方程, 联系变量x,y的变量t叫做参数.

参数方程的概念

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? x ? f ( t ), a ? t ? b (1) ? ? y ? g( t ). 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标 间关系的方程叫做普通方程。 关于参数几点说明: 参数是联系变数x,y的桥梁,

1.参数方程中参数可以有物理意义, 几何意义, 也可 以没有明显意义。 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不 一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围

参数方程的概念

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? x ? 3t , ( t为参数 ) 例1. 已知曲线C的参数方程是 ? 2 ? y ? 2t ? 1.
(1)判断点M1(0, 1),M2(5, 4)与曲线C的位置关系; (2)已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。 解:(1)把点M1(0,1)代入方程组,解得:t=0, 因此M1在曲线C上。把点M2(5,4)代入方程
? 6 ? 3t , (2)因为M3 (6,a)在曲线C上。? ? 2 a ? 2 t ? 1. ?

组,方程组无解, 因此M2不在曲线C上。

解得:t=2,a=9 ∴a=9

参数方程的概念

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例2.设质点沿以原点为圆心半径为2的圆作匀角速运动, 角速度为
?
60 rad s ,试以时间为参数建立质点运动轨迹

的参数方程。 解: 如果在时刻t,点M 转过的角度是?,

y M ( x,y ) r

坐标是M ( x, y ),那么?=? t,

? x ? r cos ? t (t为参数) ? ? y ? r sin ? t

o

?

x

参数方程的概念

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例3.动点M作匀速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速度

分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的
轨迹参数方程。 解:设动点M (x,y) ,运动时间为t, 依题意,得

y

M(x,y)

? x ? 1+5t (t ? 0) ? ? y ? 2+12t
即M的轨迹参数方程。

o

P(1,2)

x

参数方程的概念

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? x ? 1? t2 1、曲线 ? ( t为参数)与x轴的交点坐标是( B ) ? y ? 4t ? 3
25 ( , 0); C、(1, ?3); A、(1,4);B、 16 25 D、 (? , 0); 16

? x ? sin? (? 为参数) 所表示的曲线上一点的坐标是 2、方程 ? ? y ? cos?
(D )

1 1 1 2 ( , ); C、( , ); D、(1,0) A、(2,7);B、 2 2 3 3

参数方程的概念

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? x =1+2t (t ? R) 3、已知曲线C的参数方程是? 2 ? y =at

点M(5,4)在该 曲线上. (1)求常数a; a=1 (2)求曲线C的普通方程.

( x ? 1) ? 4 y
2

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参数方程求法:

(1)建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为(x,y)
(2)选取适当的参数 (3)根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建立点P坐标与参数的函数式 (4)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程

参数方程的概念

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小结: 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点 的坐标x, y都是某个变量 t 的函数
? x ? f (t ), a?t?b ? ? y ? g(t ).
(1)

并且对于 t 的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定 的点M(x,y)都在这一曲线上;则方程(1)就叫做这 条曲线的参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参数.

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再见!

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2.圆的参数方程

如果在时刻t,点M 转过的角度是?, 坐标是M ( x, y),那么?=?t, y

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设 OM =r,那么由三角函数的定义有: M(x,y) x y cos ?t ? ,sin ?t ? r r r x ? r cos ?t ? 即{ (t为参数) o y ? r sin ?t M0 x 这就是圆心在原点O,
半径为r的圆的参数方程。

其中参数t有明确的物理意义 (质点作匀速圆周运动的时刻)

考虑到?=?t,也可以取? 为参数,

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x ? r cos ? 于是有 { (? 为参数) y ? r sin ?
这也是圆心在原点O, 半径为r的圆的参数方程
其中参数?的几何意义是:

y

M(x,y)
r

?
o
M0 x

OM 0绕点O逆时针旋转到OM 的位置时,OM 0转过的角度。

思考1:圆心为原点,半径为r 的圆的参数方程?

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如果点P的坐标为( x, y),圆半径为r, ?POP ??, 0
5

根据三角函数定义, 点P的横坐标x、 纵坐标y都是?的函数,即
P(x,y)

x ? r cos? y ? r sin ?

r

?



o

p0
5

-5

并且对于 ? 的每一个允许值,由方程组① 所确定的点P(x,y),都在圆O上.
-5

我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为r的圆的 参数方程, ? 是参数.

呼和浩特第一中学 思考2 : 圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆的标准方程

为( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 , 那么参数方程是什么呢 ?
圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆可以 看作由圆心为原点O、半径为r的圆 平移得到,
(a,b)
5

O1

P(x,y)

设圆O1上任意一点P( x, y )是圆O 上的点P 1 ( x1 , y1 )平移得到的,
由平移公式, 有
? x ? x1 ? a ? ? y ? y1 ? b
-5

v(a,b)

r

P 1 ( x1 , y1 )
5

o

? x1 ? r cos ? 又? ? y1 ? r sin ?

? x ? a ? r cos ? ?? ? y ? b ? r sin ?
-5

圆的参数方程的一般形式
圆心为原点,半径为r 的圆的参数方程:

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? x ? r cos ? (? 为参数) ? ? y ? r sin ? 对应的普通方程为x 2 ? y2 ? r2

圆心在点o?( x0 , y0 )半径为r的圆的参数方程

{

x ? x0 ? r cos ? y ? y0 ? r sin ?

(? 为参数)
2 2 2

对应的普通方程为( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? r

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由于选取的参数不同,圆有不同的参 数方程,一般地,同一条曲线,可以 选取不同的变数为参数,因此得到的 参数方程也可以有不同的形式,形式 不同的参数方程,它们表示 的曲线可 以是相同的,另外,在建立曲线的参 数参数时,要注明参数及参数的取值 范围。

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x2+y2=r2

x ? r cos? y ? r sin ?
2 2

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2

? x ? a ? r cos? ? ? y ? b ? r sin ?

注:1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的 横、纵坐标之间的关系,而是分别体现了点的横、纵 坐标与参数之间的关系。 2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难 或不可能体现时,通过参数建立间接的联系。

呼和浩特第一中学 例2 如图,圆O的半径为2,P是圆上的动点, Q(6,0) 是x轴上的定点,M是PQ的中点,当点P绕O作匀速圆 周运动时,求点M的轨迹的参数方程。

y

解:设点M的坐标是( x, y),?xOP ? ? , P 则点P(2cos ? , 2sin ? ),

M

?
o

由中点坐标公式得: 2 cos ? ? 6 ? cos? ? 3, x? 2 Q x 2sin ? y? ? sin ? 2

所以,点M 的轨迹的参数方程是 ? x ? cos ? ? 3 (? 为参数) ? ? y ? sin ?

呼和浩特第一中学 例2 如图,圆O的半径为2,P是圆上的动点, Q(6,0) 是x轴上的定点,M是PQ的中点,当点P绕O作匀速圆 周运动时,求点M的轨迹的参数方程。

思考:
这里定点Q在圆O外,你能判断这个轨迹表示什么曲线?

点M 的轨迹的参数方程是 ? x ? cos ? ? 3 (? 为参数) ? ? y ? sin ? 消去?,点M的轨迹方程是:(x ? 3)2 ? y 2 ? 1
如果定点Q在圆O上,轨迹是什么曲线?

点M的轨迹方程是:(x ?1)2 ? y 2 ? 1( x ? 1)
如果定点Q在圆O内,轨迹又是什么?

点M的轨迹方程是:(x ? a / 2)2 ? y 2 ? 1

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3.参数方程和普通 方程的互化

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? x ? cos? ? 3, 由参数方程 ? (? 为参数)直接判断点M 的轨迹的 ? y ? sin ? 曲线类型并不容易,但如果将参数方程转化为熟悉的普通 方程,则比较简单。

由参数方程得:

?cos ? ? x ? 3 , ? ?sin ? ? y

sin2 ? ? cos2 ? ? ( x ? 3)2 ? y2 ? 1 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1

所以点M的轨迹是圆心在(3,0),半径为1的圆。

3.参数方程和普通方程的互化:

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(1)普通方程化为参数方程需要引入参数 如:①直线L 的普通方程是2x-y+2=0,可以化为参 数方程

?x ? t, (t为参数) ? ? y ? 2t ? 2.

②在普通方程xy=1中,令x = tan?,可以化为参数方程

? x ? t an? , (?为参数) ? ? y ? cot? .

呼和浩特第一中学 (2)参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为 普通方程

? x ? a ? r cos? , 如:①参数方程 ? 消去参数? ? y ? b ? r sin ? . 可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
? x ? t, ? ②参数方程 ? (t为参数) ? ? y ? 2 t ? 4.

通过代入消元法消去参数t ,

可得普通方程:y=2x-4 (x≥0) 注意:
在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取 值范围保持一致。 否则,互化就是不等价的.

类型一:参数方程化为普通方程

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例3、把下列参数方程化为普通方程,并说明各表示什么曲线? ? x ? sin ? ? cos ? (2) ? (? 为参数) ? y ? 1 ? sin 2?

? ?x ? t ?1 () 1? (t为参数) ? ? y ? 1? 2 t

解:(1)由x ? t ? 1 ? 1

有 t ? x ?1

得到y ? ?2 x ? 3 代入y ? 1 ? 2 t , y ?与参数方程等价的 (1,1) 普通方程是y ? ?2 x ? 3( x ? 1)

这是以(1,1)为端点的 一条射线(包括端点)
代入消元法

o

x

类型一:参数方程化为普通方程

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例3、把下列参数方程化为普通方程,并说明各表示什么曲线? ? x ? sin ? ? cos ? (2) ? (? 为参数) ? y ? 1 ? sin 2?
?

? ?x ? t ?1 () 1? (t为参数) ? ? y ? 1? 2 t

解: (2)把x ? sin ? ? cos? 平方后减去y ? 1 ? sin 2? 得到x2 ? y,
又x ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ), 4

y

? x ?[? 2, 2],
?与参数方程等价的普通方程为: x 2 ? y, x ? [? 2, 2].

这是抛物线的一部分。

? 2

o

2

x

三角变换消元法

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参数方程化为普通方程的步骤

步骤:

1、消掉参数(代入消元,三角变形,配 方消元) 2、写出定义域(x的范围) 注意:
在参数方程与普通方程的互化中,必须 使x,y前后的取值范围保持一致。

练习:参数方程
? ? ? x ?| cos ? sin |, ? ? 2 2 (0 ? ? ? 2? ) 表示 ? ? y ? 1 (1 ? sin ? ) ? ? 2

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(B )

1 (A)双曲线的一支,这支过点(1, ): 2 1

1 2 (C)双曲线的一支,这支过点(–1, ); 2

(B)抛物线的一部分,这部分过( 1, );

1 (D)抛物线的一部分,这部分过(–1, ) 2

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分析 一般思路是:化参数方程为普通方程 求出范围、判断。 解 ?x2= (cos ? ? sin ? ) 2 =1+sin?=2y,
2 2

? 普通方程是x2=2y,为抛物线。 ? ? ? ? ? x ?| cos ? sin |? 2 sin( ? ),又0<?<2?, 2 2 2 4 ? ? ? 3? ? ? ? ? 故应选( B ) ? 0 ? x ? 2 4 2 4 4
说明: 这里切不可轻易去绝对值讨论, 平方法是最好的方法。

类型二:普通方程化为参数方程

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x2 y2 例4、求椭圆 ? ?1 的参数方程 9 4 ( 1 )设x ? 3 cos? , ?为参数。 (2)设y ? 2t , t为参数

1.如果没有明确x、y与参数的关系,则参数方程是有 限个还是无限个? 2.为什么(1)的正负取一个,而(2)却要取两个? 如何区分?

x y 例4、求椭圆 ? ? 1的参数方程 9 4 ()设 1 x ? 3cos ? , ?为参数。 (2)设y ? 2t , t为参数
2 2

2

2

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9cos ? y 解:(1)把x ? 3cos ? 代入椭圆方程,得: ? ? 1, 9 4

? y ? 4(1 ? cos ? ) ? 4sin ? ,
2 2 2

即y ? ?2sin ?

由参数?的任意性,可取y ? 2sin ? ,
x2 y 2 ? 椭圆 ? ? 1的参数方程是 9 4

? x ? 3cos ? (?为参数) ? ? y ? 2sin ?

x y 呼和浩特第一中学 例4、求椭圆 ? ? 1的参数方程 9 4 ()设 1 x ? 3cos ? , ?为参数。 (2)设y ? 2t , t为参数 x 2 4t 2 解:(2)把y ? 2t代入椭圆方程,得 ? ?1 9 4

2

2

于是x ? 9(1 ? t ),
2 2
2 2

x y ? 椭圆 ? ? 1的参数方程是: 9 4

? x ? ?3 1 ? t

2

? ? ?x ? 3 1? t2 ? x ? ?3 1 ? t 2 (t为参数)和 ? (t为参数) ? ? ? ? y ? 2t ? y ? 2t
注:本题两个参数方程和起来才是椭圆的参数方程。

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x y 例4、求椭圆 ? ?1 的参数方程 9 4 ( 1 )设x ? 3 cos? , ?为参数。 (2)设y ? 2t , t为参数

2

2

1.如果没有明确x、y与参数的关系,则参数方程是有 无限个 限个还是无限个? 2.为什么(1)的正负取一个,而(2)却要取两个? 如何区分? 两个解的范围一样只取一个;不一样时,两个都要取.

练习:

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1.已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0,将它化为参 数方程。
解: x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程, (x+1)2+(y-3)2=1,

∴参数方程为

? x ? ?1 ? cos? ? ? y ? 3 ? sin ?

(θ为参数)

2、曲线y=x2的一种参数方程是(

).

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分析: 在y=x2中,x∈R, y≥0, 在A、B、C中,x,y的范围都
发生了变化,因而与 y=x2不等价; 而在D中,

2 ? ?x ? t x ? t ? x ? sin t ?x ? t ? ? A、 C、 D、 ? 4 B、 ? ? ? 2 2 ? ? ? y ? sin t ?y ? t ?y ? t ?y ? t

x,y范围与y=x2中x,y的范围相同,

? ?x ? t 且以 ? 2 ? ?y ? t

代入y=x2后满足该方程,从而D是曲线y=x2的一种参数方程.

注意: 在参数方程与普通方程的互化中,必须 使x,y的取值范围保持一致。否则,互化就是 不等价的.

练习: 将下列参数方程化为普通方程:
(1)

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? x ? 2 ? 3 cos? ? ? y ? 3 sin ?
x=t+1/t

(2)

? x ? sin ? ? ? y ? cos 2?

步骤:(1)消参; (2)求定义域。

(3)

y=t2+1/t2 (1)(x-2)2+y2=9

(2)y=1- 2x2(- 1≤x≤1)

(3)x2- y=2(X≥2或x≤- 2)

练习: 将下列参数方程化为普通方程:
? ?x ? t ?1 ( 1) ? ? ? y ? 1? 2 t
?x ? t (2) ? 2 ?y ? t

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? x ? sin t (3) ? 2 ? y ? sin t

1 t ? ?t 1 ? x ? ( e ? e ) x ? t ? ? ? ? 2 (5) ? t (4) ? ? ? y ? 1 (e t ? e ? t ) ?y ? 2 ? ? 2 (2) y ? x2 ( 1)2x ? y ? 3 ? 0( x ? 1)

(3) y ? x (?1 ? x ? 1)
2

(4) x ? y ? 1
2 2

(5) y ? 2( x ? 2或x ? ?2)

练习:

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? x ? 1 ? cos 2? 1、若曲线 ? (? 为参数), 则点( x, y)的轨迹是 2 ? y ? sin ? (D ) A、直线x ? 2 y ? 2 ? 0, B、以(2,0)为端点的射线 C、圆( x ?1)2 ? y 2 ? 1 , D、以(2,0)和(0,1)为端点的线段

? x ? 2cos ? ? 5 2、指出参数方程 ? (?为参数)所 ? y ? 3 ? 2sin ? 表示圆的圆心坐标、半径,并化为普通方程。

( x ? 5) ? ( y ? 3) ? 4
2 2

练习: ? x ? r ? r cos ? ? 3、圆 ? (? 为参数,r ? 0)的直径 r y ? ? r sin ? ? ? 2 (2,1) 是4,则圆心坐标是 _____________
? x ? 2 ? cos ? 4、P( x, y )是曲线 ? (? 为参数)上任 ? y ? sin ? 2 2 意一点, 则( x ? 5) ? ( y ? 4) 的最大值为 ( A )
A.36 B.6 C.26 D.25

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?x ? 1? t 5、若已知直线的参数方程为 ? (t为参数) ? y ? 1? t ? x ? 2 cos ? 求它与曲线 ? (? 为参数)的交点。 ? y ? 2sin ? (2,0),(0,2)

练习:

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6.下列参数方程与方程y ? x表示同一曲线的是 2 ?x ? t ? x ? sin t A、 (t为参数) B、 ? (t为参数) 2 ? ?y ? t ? y ? sin t 1 ? cos 2t ? x ? t ? ? x? ? C、 (t为参数) D、 ? ? 1 ? cos 2t (t为参数) ? ?y ? t D ? y ? tan t ?
2

练习:

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? x ? cos ? 1、若已知曲线的参数方程为 ? (? 为参数) ? y ? cos 2? ? 1 a>-2 与直线y ? a有两个交点,则a的取值范围为 _______

3 [0, ] y ? ? [? , 2? )上,则 的取值范围是 __________ . 3
x

? x ? 1 ? 2t 2、若直线 ? (t为参数)与直线4x ? ky ? 1 ? y ? 2 ? 3t -6 垂直,则常数k ? _____ ? x ? ?2 ? cos ? 3、已知点P( x, y )在曲线 ? (? 为参数) ? y ? sin ?

呼和浩特第一中学 例3、已知点P(x,y)是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0 上动 点,求(1) x2+y2 的最值, (2)x+y的最值,

(3)P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。 解:圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即(x- 3)2+(y- 2)2=1, 用参数方程表示为 ? x ? 3 ? cos? ? ? y ? 2 ? sin ? 由于点P在圆上,所以可设P(3+cosθ,2+sinθ) (1) x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2

=14+4 sinθ +6cosθ=14+2

sin(θ +ψ). 13
(其中tan ψ =3/2)

∴ x2+y2 的最大值为14+2 13 ,最小值为14- 2 13 。

呼和浩特第一中学 例3、已知点P(x,y)是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0 上动 点,求(1) x2+y2 的最值, (2)x+y的最值,

(3)P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。 (2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+
2 (θ + sin

? ) 4

∴ x+y的最大值为5+ 2 ,最小值为5 - 2 。

(3)

? 4 ? 2 sin(? ? ) 3 ? cos? ? 2 ? sin ? ? 1 4 d? ? 2 2
?
)= 4

显然当sin(θ+

?1时,d取最大值,最

小值,分别为 1 ? 2 2 ,2 2 ? 1 。

练习:

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1.填空:已知圆O的参数方程是

? x ? 5 cos? ? ? y ? 5 sin ?

(0≤ ? <2 ? )

⑴如果圆上点P所对应的参数? ? 5? ,则点P的坐标是
3

?5 5 3? ? ,? ? ?2 ? 2 ? ?

? 5 5 3? ? , , 则点 Q 对应 ? 2 ? 如果圆上点Q所对应的坐标是 ? ? ? 2 2 ? ? ? 2? 的参数? 等于 3

呼和浩特第一中学 ? x ? ?2 cos ? 2.选择题:参数方程 ? (? 为参数)表示的曲线是 ? ? A ? y ? 2sin ? A.圆心在原点, 半径为2的圆

B.圆心不在原点, 但半径为2的圆 C.不是圆 D.以上都有可能

3、填空题 : ? x ? 2 ? cos? (1)参数方程? 表示圆心为(2,-2) ? y ? ?2 ? sin ? 2 2 的圆,化为标准方程为 ?x ? 2? ? ? y ? 2? ? 1 半径为 1
( 2 ) 把圆方程 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 化为参数方程为
? x ? ?1 ? 2 cos? ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

小 结:
1、圆的参数方程 2、参数方程与普通方程的概念

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3、圆的参数方程与普通方程的互化
4、求轨迹方程的三种方法:⑴相关点点问 题(代入法); ⑵参数法;⑶定义法 5、求最值

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1、参数方程化为普通方程的步骤
(1)写出定义域(x的范围)
(2)消去参数(代入消元,三角变换消元)

在参数方程与普通方程的互化中,必须 注意: 使x,y前后的取值范围保持一致。

2、普通方程化为参数方程的步骤
把含有参数等式代入即可

习题2.1答案

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x ? 100t 1 2 (t为参数,表示时间 1、 { ) y ? h ? gt 2
2、设经过时间t,动点的位置是 M ( x, y ), 则 x ? 2 ? 3t , y ? 1 ? 4t , 于是点M的轨迹的参数方程为 x ? 2 ? 3t { (以时间t为参数) y ? 1 ? 4t

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y

B

O

A

x

C

呼和浩特第一中学 3、解:不妨设?ABC的外接圆的半径为 1,建立

如图的平面直角坐标系 ,时点B, C关于x轴对称 x ? cos? 那么外接圆的参数方程 是{ (?为参数) y ? sin ? 1 3 1 3 A, B, C的坐标分别为 (1,0), (? , ), (? ,? ) 2 2 2 2 设点M (cos? , sin ? )则 MA ? MB ? MC ? [(cos? ? 1) 2 ? sin 2 ? ] ? 1 2 3 2 1 2 [(cos? ? ) ? (sin ? ? ) ] ? [(cos? ? ) ? 2 2 2 3 2 (sin ? ? ) ]?6 2
2 2 2

4、解; (1)2 x ? y ? 7 ? 0, 直线;
2

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(2)y ? 2 x , x ? [?1,1],以(?1,2), (1,2)为端点的 一段抛物线; (3)x ? y ? 4, 双曲线;
2 2

x ? t ? 3t ? 1 5、 (1){ (t为参数) y ? t ?1
2

x ? a cos ? (2){ ( ? 为参数 ) 4 y ? a sin ?
4



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