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高考题型冲刺练 穿插滚动练(二)



内容:集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量 一、选择题 1. 设集合 U={x|x<3},A={x|x<1},则?UA 等于 A.{x|1≤x<3} C.{x|1<x<3} 答案 A 解析 因为 U={x|x<3},A={x|x<1},则?UA={x|1≤x<3},选 A. π 1 2. “θ≠ ”是

“cos θ≠ ”的 3 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 1 π π 1 解析 因为“cos θ= ”是“θ= ”的必要不充分条件,所以“θ≠ ”是“cos θ≠ ”的 2 3 3 2 必要不充分条件,选 B. 3. 定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与 f(x)的单调 性不同的是 ( ) B.{x|1<x≤3} D.{x|x≥1} ( )

(

)

A.y=x2+1 B.y=|x|+1 ? ?2x+1?x≥0? C.y=? 3 ?x +1?x<0? ?
?ex?x≥0? ? D.y=? -x ? ?e ?x<0?

答案 C
? ?2x+1?x≥0? 解析 利用偶函数的对称性知 f(x)在(-2,0)上为减函数,又 y=? 3 ,在(-2,0) ?x +1?x<0? ?

上为增函数,故选 C.

π 4. 设函数 f(x)=sin(2x+ ),则下列结论正确的是 6 π A.f(x)的图象关于直线 x= 对称 3 π B.f(x)的图象关于点( ,0)对称 6 π C.f(x)的最小正周期为 π,且在[0, ]上为增函数 12 π D.把 f(x)的图象向右平移 个单位,得到一个偶函数的图象 12 答案 C π 2π 解析 对于函数 f(x)=sin(2x+ ),T= =π; 6 2 π π π π π 当 x∈[0, ]时,2x+ ∈[ , ],∴f(x)在[0, ]上为增函数,故 C 对. 12 6 6 3 12

(

)

5. 若函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x),且 x∈[-1,1]时,f(x)=|x|,函数 g(x)= sin πx,x>0 ? ? ? 1 ,则函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]上的零点的个数为 ( ? ?-x,x<0 A.10 答案 B B.9 C.8 D.7

)

解析 由 f(x+2)=f(x)可知,函数 f(x)是周期为 2 的周期函数.在同一直角坐标系中画出 函数 f(x)与函数 g(x)的图象,结合图象可知,函数 h(x)在[-5,5]上有 9 个零点. 6. 某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平均仓 x 储时间为 天, 且每件产品每天的仓储费用为 1 元. 为使平均到每件产品的生产准备费用 8 与仓储费用之和最小,每批应生产产品 A.60 件 C.100 件 答案 B 800 x 解析 若每批生产 x 件产品,则每件产品的生产准备费用是 ,存储费用是 ,总的费 x 8 800 x 800 x 800 x 用是 + ≥2 ·=20,当且仅当 = 时取等号,即 x=80. x 8 x 8 x 8 7. 设向量 a=(1,x-1),b=(x+1,3),则“x=2”是“a∥b”的 A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 依题意,a∥b?3-(x-1)(x+1)=0?x=± 2,所以“x=2”是“a∥b”的充分但 ( ) B.80 件 D.120 件 ( )

不必要条件.

π 3π? → → 8. 已知 A,B,C 三点的坐标分别是 A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈? BC ?2, 2 ?,若AC· 1+tan α =-1,则 的值为 2sin2α+sin 2α 5 A.- 9 C.2 答案 B → 解析 由AC=(cos α-3,sin α), → BC=(cos α,sin α-3), → → 得AC· BC=(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1, 2 5 ∴sin α+cos α= ,∴2sin αcos α=- , 3 9 sin α 1+ cos α 1+tan α 1 9 = = =- . 2 2 5 2sin α+sin 2α 2sin α+2sin αcos α 2sin αcos α 9. 已知圆的半径为 4,a、b、c 为该圆的内接三角形的三边,若 abc=16 2,则三角形的面 积为 A.2 2 答案 C a b c 解析 ∵ = = =2R=8, sin A sin B sin C c ∴sin C= , 8 1 1 1 ∴S△ABC= absin C= abc= ×16 2= 2. 2 16 16 10.设 f(x)=ax3+bx2+cx+d (a>0),则 f(x)为增函数的充要条件是 A.b2-4ac≥0 C.b=0,c>0 答案 D 解析 f′(x)=3ax2+2bx+c,∵a>0,∴3a>0, B.b>0,c>0 D.b2-3ac≤0 ( ) B.8 2 C. 2 2 D. 2 ( ) ( 9 B.- 5 D.3 )

又 f(x)为增函数,故 f′(x)≥0 恒成立. ∴只需 Δ=(2b)2-4×3ac≤0,即 b2-3ac≤0. 1 11.已知 a>0,b>0,且 2a+b=4,则 的最小值为 ab 1 1 A. B.4 C. 4 2 答案 C 解析 由 2a+b=4,得 2 2ab≤4,即 ab≤2, 1 1 又 a>0,b>0,所以 ≥ , ab 2 1 1 当且仅当 2a=b,即 b=2,a=1 时, 取得最小值 .故选 C. ab 2

( D.2

)

12.给出下列四个命题,其中不正确的命题为 ①若 cos α=cos β,则 α-β=2kπ,k∈Z; π? π ②函数 y=2cos? ?2x+3?的图象关于 x=12对称; ③函数 y=cos(sin x)(x∈R)为偶函数; ④函数 y=sin|x|是周期函数,且周期为 2π. A.①② C.①②③ 答案 D B.①④ D.①②④

(

)

π? π 解析 命题①:若 α=-β,则 cos α=cos β,假命题;命题②:x= ,cos? ?2x+3?=cos 12 π? π π =0,故 x= 不是 y=2cos? ?2x+3?的对称轴;命题④:函数 y=sin|x|不是周期函数. 2 12 二、填空题 1 13.函数 f(x)= x3-x2+ax-5 在区间[-1,2]上不单调,则实数 a 的取值范围是________. 3 答案 (-3,1) 1 1 解析 ∵f(x)= x3-x2+ax-5,∴f′(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1,如果函数 f(x)= x3 3 3 -x2+ax-5 在区间[-1,2]上单调,那么 a-1≥0 或 f′(-1)=3+a≤0 且 f′(2)=a≤0, ∴a≥1 或 a≤-3.于是满足条件的 a∈(-3,1). y? → → 14.平面上有三个点 A(-2,y),B? ?0,2?,C(x,y),若AB⊥BC,则动点 C 的轨迹方程为 __________. 答案 y2=8x (x≠0) y? → ? y ? → 解析 由题意得AB=? ?2,-2?,BC=?x,2?, → → → → 又AB⊥BC,∴AB· BC=0, y y ? ?x, ?=0,化简得 y2=8x (x≠0). 即? ?2,-2?· ? 2? → → 15. 如图, 在矩形 ABCD 中, AB= 2, BC=2, 点 E 为 BC 的中点, 点 F 在边 CD 上, 若AB· AF → → = 2,则AE· BF的值是________.

答案

2

解析 以 A 为坐标原点,AB,AD 所在的直线分别为 x,y 轴建立直角坐标系,则 → → B( 2,0),E( 2,1),D(0,2),C( 2,2).设 F(x,2)(0≤x≤ 2),由AB· AF= 2? 2x → → = 2?x=1,所以 F(1,2),AE· BF=( 2,1)· (1- 2,2)= 2.

π 1 16.①存在 α∈(0, )使 sin α+cos α= ; 2 3 ②存在区间(a,b)使 y=cos x 为减函数且 sin x<0; ③y=tan x 在其定义域内为增函数; π ④y=cos 2x+sin( -x)既有最大、最小值,又是偶函数; 2 π ⑤y=|sin 2x+ |的最小正周期为 π. 6 以上命题错误的为________(填序号). 答案 ①②③ π 解析 ①当 α∈(0, )时,sin α+cos α>1,故①错;②若 y=cos x 为减函数,则 x∈[2kπ, 2 π+2kπ], k∈Z, 此时 sin x>0, 故②错; ③当 x 分别取 π, 2π 时, y 都是 0, 故③错; ④∵y π 2 =cos 2x+sin( -x)=2cos x+cos x-1,∴该函数既有最大、最小值,又是偶函数,故④ 2 π 对;⑤画出图象可得 y=|sin 2x+ |的最小正周期为 π,故⑤对. 6 三、解答题 17.设函数 f(x)=ax2+(b-2)x+3(a≠0),若不等式 f(x)>0 的解集为(-1,3). (1)求 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在 x∈[m,1]上的最小值为 1,求实数 m 的值. 2 , ?-1+3=-b- a (1)由条件得? 3 ?-1×3=a,



解得:a=-1,b=4.

(2)f(x)=-x2+2x+3,对称轴方程为 x=1, ∴f(x)在 x∈[m,1]上单调递增. ∴x=m 时,f(x)min=-m2+2m+3=1, 解得 m=1± 3.∵m<1,∴m=1- 3. 1 18.已知△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 3sin Ccos C-cos2C= ,且 c=3. 2 (1)求角 C; (2)若向量 m=(1,sin A)与 n=(2,sin B)共线,求 a、b 的值. 1 解 (1)∵ 3sin Ccos C-cos2C= , 2 3 1 π ∴ sin 2C- cos 2C=1,即 sin2C- =1, 2 2 6 π π π ∵0<C<π,∴2C- = ,解得 C= . 6 2 3 (2)∵m 与 n 共线,∴sin B-2sin A=0, a b 由正弦定理 = ,得 b=2a, sin A sin B π ∵c=3,由余弦定理,得 9=a2+b2-2abcos , 3

① ②

?a= 3, 联立方程①②,得? ?b=2 3.
19.已知函数 f(x)=x3-3ax2+3x+1. (1)设 a=2,求 f(x)的单调区间; (2)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围. 解 (1)当 a=2 时,f(x)=x3-6x2+3x+1.

f′(x)=3x2-12x+3 =3(x2-4x+1) =3(x-2+ 3)(x-2- 3). 当 x<2- 3,或 x>2+ 3时,得 f′(x)>0; 当 2- 3<x<2+ 3时,得 f′(x)<0. 因此 f(x)的递增区间是(-∞,2- 3)与(2+ 3,+∞); f(x)的递减区间是(2- 3,2+ 3). (2)f′(x)=3x2-6ax+3, Δ=36a2-36,由 Δ>0 得,a>1 或 a<-1,又 x1x2=1, 可知 f′(2)<0,且 f′(3)>0, 5 5 解得 <a< , 4 3 5 5? 因此 a 的取值范围是? ?4,3?. 1? 20.已知向量 m=(sin x,1),n=? m. ? 3cos x,2?,函数 f(x)=(m+n)· (1)求函数 f(x)的最小正周期 T 及单调递增区间; (2)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,A 为锐角,a=2 3,c=4,且 f(A) π? 是函数 f(x)在? ?0,2?上的最大值,求△ABC 的面积 S. 1 1-cos 2x 3 1 3 解 (1)f(x)=(m+n)· m=sin2x+1+ 3sin xcos x+ = +1+ sin 2x+ = sin 2 2 2 2 2 π? 1 2x- cos 2x+2=sin? ?2x-6?+2. 2 2π 因为 ω=2,所以 T= =π. 2 π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z) 2 6 2 π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z), 6 3 π π? 故所求单调递增区间为? ?kπ-6,kπ+3?(k∈Z). π? (2)由(1)知,f(A)=sin? ?2A-6?+2, π? π π 5π 又 A∈? ?0,2?,∴-6<2A-6< 6 . π π 由正弦函数图象可知,当 2A- = , 6 2

π 即 A= 时,f(x)取得最大值 3, 3 由余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A. 1 可得 12=b2+16-2×4b× ,∴b=2. 2 1 1 π 从而 S= bcsin A= ×2×4×sin =2 3. 2 2 3 21.某地需要修建一条大型输油管道通过 240 公里宽的沙漠地带,该段输油管道两端的输油 站已建好,余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压 站(又称泵站).经预算,修建一个增压站的工程费用为 400 万元,铺设距离为 x 公里的 相邻两增压站之间的输油管道费用为 x2+x 万元.设余下工程的总费用为 y 万元. (1)试将 y 表示成 x 的函数; (2)需要修建多少个增压站才能使 y 最小,其最小值为多少? 解 (1)设需要修建 k 个增压站, 240 则(k+1)x=240,即 k= -1. x 240 ? 240 2 96 000 所以 y=400k+(k+1)(x2+x)=400? ? x -1?+ x (x +x)= x +240x-160. 因为 x 表示相邻两增压站之间的距离,则 0<x≤240. 96 000 故 y 与 x 的函数关系是 y= +240x-160(0<x≤240). x 96 000 96 000 (2)y= +240x-160≥2 · 240x-160=2×4 800-160=9 440. x x 96 000 当且仅当 =240x,即 x=20 时取等号. x 240 240 此时,k= -1= -1=11. x 20 故需要修建 11 个增压站才能使 y 最小, 其最小值为 9 440 万元. 22.设函数 f(x)=ln x-p(x-1),p∈R. (1)当 p=1 时,求函数 f(x)的单调区间; 1 (2)设函数 g(x)=xf(x)+p(2x2-x-1)(x≥1),求证:当 p≤- 时,有 g(x)≤0. 2 (1)解 当 p=1 时,f(x)=ln x-x+1, 其定义域为(0,+∞), 1 ∴f′(x)= -1, x 1 由 f′(x)= -1>0,得 0<x<1, x 由 f′(x)<0,得 x>1, ∴f(x)的单调递增区间为(0,1), 单调递减区间为(1,+∞). (2)证明 由函数 g(x)=xf(x)+p(2x2-x-1)

=xln x+p(x2-1), 得 g′(x)=ln x+1+2px. 由(1)知,当 p=1 时,f(x)≤f(1)=0, 即不等式 ln x≤x-1 成立, 1 所以当 p≤- 时,g′(x)=ln x+1+2px≤(x-1)+1+2px=(1+2p)x≤0, 2 即 g(x)在[1,+∞)上单调递减, 从而 g(x)≤g(1)=0 满足题意.



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