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山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试 理科数学



山东省实验中学 2010 级第三次诊断性测试 数学试题(理科)
注意事项:本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,共两卷。其中第Ⅰ卷为 第 1 页至第 2 页,共 60 分;第Ⅱ卷为第 3 页至第 6 页,共 90 分;两卷合计 150 分。考试时 间为 120 分钟。本科考试不允许使用计算器。

第Ⅰ卷(选择题

60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项。 1、设 M ? {1, 2}, N ? {a } ,则 a ? 1 是 N ? M ” 的( “ ”“
2

) D.既不充分又不必要条件

A.充分不必要条件 【答案】A

B.必要不充分条件

C.充要条件

“ 【解析】若 N ? M ” ,则有 a ? 1 或 a ? 2 ,解得 a ? ?1 或 a ? ? 2 ,所以 a ? 1 是 “ ”
2 2

充分不必要条件,选 A. “N ? M ” 2、下列函数中,在其定义域内,既是奇函数又是减函数的是( A. f ( x ) ? 【答案】C 【 解 析 】 f ( x) ? ) D. f ( x ) ? ? tan x

1 x 1 x

B. f ( x ) ?

?x

C. f ( x ) ? 2

?x

? 2x

在 定 义 域 上 是 奇 函 数 , 但 不 单 调 。 f ( x) ?

? x 为非奇非偶函数。

f ( x) ? ? t a nx 在定义域上是奇函数,但不单调。所以选 C.
3.若 tan( A.2 【答案】D

?
4

? ? ) ? 3 ,则 cot ? 等于(
B. ?

) C.

1 2

1 2

D.-2

【解析】 tan( 由

?
4 1

tan ? ? tan[

?
4

?(

?
4

? ? )] ?

tan

?
4

? tan(

?
4

??)

? ? ) ? 3 得,

1 ? tan(

?
4

?

1? 3 1? 3

??

1 2,

??)

所以

cot ? ?

tan ?

? ?2

选 D. ) C.2 个 D.3 个

4.函数 f ( x ) ? ( x ? 1) ln x 的零点有( A.0 个 【答案】B B.1 个

-1-

【解析】由 f ( x ) ? ( x ? 1) ln x ? 0 得

ln x ?

1 x ? 1 ,做出函数

y ? ln x, y ?

1 x ? 1 的图象,如图

由图象中可知交点个数为 1 个,即函数的零点个数为 1 个,选 B. 5.已知两条直线 y ? ax ? 2 和 3 x ? ( a ? 2) y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 等于( A.1 或-3 【答案】A B.-1 或 3 C.1 或 3 D.-1 或 3 )

【解析】 因为直线 y ? ax ? 2 的斜率存在且为 a , 所以 ?( a ? 2) ? 0 , 所以 3 x ? ( a ? 2) y ? 1 ? 0 的斜截式方程为 y ?

3 a?2
?x

x?

1 a?2

,因为两直线平行,所以

3 a?2

?a且

1 a?2

? ?2 ,解得

a ? ?1 或 a ? 3 ,选 A.
6.设命题 p : 曲线 y ? e 若 a ? b ,则 在点 ? 1,e) 处的切线方程是:y ? ?ex ; 命题 q : a, b 是任意实数, ( ,则( ) C. p 假 q 真 D. p , q 均为假命题

1 a ?1

?

1 b ?1

A.“ p 或 q ”为真 【答案】A
?x

B.“ p 且 q ”为真
?x

【解析】y ' ? (e ) ' ? ? e

, 所以切线斜率为 ?e , 切线方程为 y ? e ? ?e( x ? 1) , y ? ?x , 即 e

所以 P 为真。当 a ? 0, b ? ?2 时,

1 a ?1

? 1,

1 b ?1

?

1 ?2 ? 1

? ?1 ,此时

1 a ?1

?

1 b ?1

,所以命

题 q 为假。所以“ p 或 q ”为真,选 A. 7.已知函数 f ( x ) ?

1 2

x 2 ? sin x ,则 f ' ( x ) 的大致图象是(



-2-

【答案】B

x 【 解 析 】 f '( x ) ? x ? cos x , 所 以 f ' ( x ?) ?

c o xs 奇 非 偶 , 排 除 非

A,C.

f '( ) ? ? cos ? ( , ) 2 2 2 2 ,即过点 2 2 ,选 B.
8.在等差数列 ?a n ? 中, a1 ? ?2013 ,其前 n 项和为 S n ,若 ( ) A.-2012 【答案】B 【 解 析

?

?

?

?

? ?

S12 12

?

S10 10

? 2 ,则 S 2013 的值等于

B.-2013

C.2012

D.2013



S12 ? 12 a1 ?

12 ? 11 2

d



S10 ? 10 a1 ?

10 ? 9 2

d







12 ? 11 d S S S 9 S12 11 2 ? ? a1 ? d , 10 ? a1 ? d , 所 以 12 ? 10 ? d ? 2 , 所 以 10 2 12 10 12 12 2 2013 ? 2012 S 2013 ? 2013a1 ? d ? 2013( ?2013 ? 2012) ? ?2013 ,选 B. 2 12 a1 ?
9.已知 P(x,y)是直线 kx ? y ? 4 ? 0( k ? 0) 上一动点,PA,PB 是圆 C: x ? y ? 2 y ? 0 的
2 2

两条切线,A、B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为( A.3 【答案】D B.



21 2

C. 2 2

D.2

【解析】由圆的方程得 x ? ( y ? 1) ? 1 ,所以圆心为 (0,1) ,半径为 r ? 1 ,四边形的面积
2 2

S ? 2 S ? PBC ,所以若四边形 PACB 的最小面积是 2,所以 S ? P B C 的最小值为 1,而

S? P B C ?
d? 5

1 2

r P B ,即 PB 的 最小值 为 2 ,此时 PC 最 小为圆心到直 线的距离 ,此时
? 12 ? 2 2 ? 5 , 即 k 2 ? 4 , 因 为 k ? 0 , 所 以 k ? 2 , 选

k ?1
2

D.
-3-

10.已知等差数列 ?a n ? 的公差 d 不为 0,等比数列 ?bn ? 的公比 q 是小于 1 的正有理数。若

a1 ? d , b1 ? d 2 , 且
A.

a1 ? a 2 ? a3
2 2

2

b1 ? b2 ? b3

是正整数,则 q 的值可以是(



1 7

B.-

1 7

C.

1 2

D.-

1 2
2 2 2 2

【答案】C 【解析】由题意知 a2 ? a1 ? d ? 2 d , a3 ? a1 ? 2 d ? 3d ,b2 ? b1q ? d q , b3 ? b1q ? d q ,所 以

a12 ? a2 2 ? a3 2 b1 ? b2 ? b3

?

d 2 ? 4d 2 ? 9d 2 d 2 ? d 2q ? d 2q 2

?

14 1? q ? q2

,因为

a1 ? a 2 ? a3
2 2

2

b1 ? b2 ? b3
2

是正整数,所以令

14 1? q ? q
2

2 ? t , t 为 正 整 数 。 所 以 q ? q ?1 ?

t 14

, 即 q ? q ?1?

t 14

?0 ,解得

?1 ? 1 ? 4(1 ? q? 2

14 ) t

?1 ? 1 ? 4(1 ? ? 2
?
2

14 ) t

?1 ? ?3 ? ? 2

56 t ,因为 为正整数,所以当 t

t ? 8 时, q ?

?1 ? ?3 ? 7 2

?1 ? 2 2

?

1 2

。符合题意,选 C.

11.已知二次函数 f ( x ) ? ax ? bx ? c 的导数 f ' ( x ), f ' (0) ? 0 ,且 f ( x ) 的值域为 [ 0,?? ) ,则

f (1) f ' (0)
A.3

的最小值为(



B.

5 2

C.2

D.

3 2

【答案】C 【解析】 f '( x ) ? 2ax? b, f '(0) ? b ? 0 ,函数 f ( x ) 的值域为 [ 0,?? ) ,所以 a ? 0 ,且

4 ac ? b2 4a
f (1) f '(0) ?

? 0 , 即 4 ac ? b 2 , , 所 以 c ? 0 。 所 以 f ( 1? ) a ? b ? , 所 以 c
a?b?c b
x2 a2 ?

? 1?
y2 b2

a?c b

? 1?

2 ac b

? 1?

4 ac b

? 1 ? 1 ? 2 ,所以最小值为 2,选 C.

12.已知椭圆

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、 右焦点分别为 F1 ? c,0), F2 (c,0) , 若椭圆上存在点 (

P使

a sin ? PF1 F2

?

c sin ? PF2 F1

,则该椭圆的离心率的取值范围为(



-4-

A.(0, 2 ? 1 ) 【答案】D 【解析】 根据正弦定理得

B.(

2 2

,) 1

C.(0,

2 2



D.( 2 ? 1 ,1)

PF2 sin ? PF1 F2
PF1 PF2 ?

?

PF1 sin ? PF2 F1
?e


, 所以由

a sin ? PF1 F2

?

c sin ? PF2 F1


可得

a PF2
P

?

c PF1





c a





PF1 ? e PF2



1

? F

2

P?

F

2

? e

P(

2

? 1 F

, PF ? 2 a , 即 因为 , 22 )2P ? F e ? 1 P ? F ? c ? ePF2 ? a ? c a a

(不等式两边不能取等号,否则分式中的分母为 0,无意义)所以 a ? c ? 2 a ? a ? c ,即

e ?1

1?

c a

?

2 e ?1

? 1?

c ,所以 a

?1 ? e 2 ? 2 ? (1 ? e )(1 ? e ) ? 2 ? ,所以 ? ,解 1? e ? ? 1 ? e ,即 ? 2 ? 2 ? 1? e ? 2 ? (1 ? e ) e ?1 ?

2

得 2 ? 1 ? e ? 1 ,即 ( 2 ? 1,1) ,选 D.

第Ⅱ卷(非选择题
题号 分数 二 17 18 19

90 分)
20 21 22 总分

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.若焦点在 x 轴上的椭圆 【答案】

x2 2

?

y2 m

? 1 的离心率为

1 2

,则 m =

.

3 2
2 2 2 2 2

【解析】因为焦点在 x 轴上。所以 0 ? m ? 2 ,所以 a ? 2, b ? m, c ? a ? b ? 2 ? m 。椭 圆的离心率为 e ?

1 2

,所以 e ?
2

1 4

?

c2 a
2

?

2?m 2

,解得 m ?

3 2



14.若直线 y ? 2 a 与函数 y ?| a ? 1 | ( a ? 0且 a ? 1) 的图像有两个公共点,则 a 的取值范围
x

是 【答案】 (0, )

.

1

2

【解析】因为 y ? a ? 1 的图象是由 y ? a 向下平移一个单位得到,当 a ? 1 时,作出函数
x

x

y ? a x ? 1 的图象如图,此时 y ? 2a ? 2 ,如图象只有一个交点,不成立。

-5-

当 0 ? a ? 1 时 , 0 ? 2a ? 2 , 要 使 两 个函 数的 图 象 有两 个 公 共点 ,则 有 0 ? 2a ? 1 ,即

0?a?

1

1 2 ,所以 a 的取值范围是 (0, ) 。 2

? x 2 ? x ? 2 ? 0, ? 15. 若 不 等 式 组 ? 的 解 集 中 所 含 整 数 解 只 有 -2 , 求 k 的 取 值 范 ? 2 x 2 ? (5 ? 2 k ) x ? 5 k ? 0 ?
围 【答案】 [ ?3, 2) .

? x 2 ? x ? 2 ? 0, ? ? x ? 2或 x ? ? 1 【解析】由 ? 得? 要使解集中只有一个整数 ?2 , ?2 x 2 ? (5 ? 2 k ) x ? 5k ? 0 ? ( x ? k )(2 x ? 5) ? 0 ?
则由 可知,不等式 的解为 ?

5 2

( x ? k ) ( 2x? 5 ? )

0

( x ? k ) ( 2x? 5 ? )

? x ? ?k , 且

0

?2 ? ? k ? 3 ,即 ?3 ? k ? 2 ,所以 k 的取值范围是 [?3, 2) 。
?x ? 0 ? 16.当实数 x, y 满足约束条件 ? y ? x ( a 为常数)时 z ? x ? 3 y 有最大值为 12,则 ?2 x ? 2 y ? a ? 0 ?
实数 a 的值为 【答案】-12 .

【解析】 z ? x ? 3 y 的最大值为 12,即 x ? 3 y ? 12

,由图

-6-

? x ? 3 y ? 12 ?x ? 3 ? ? 象可知直线 2 x ? 2 y ? a ? 0 也经过点 B.由 ? y ? x ,解得 ? y ? 3 ,即点 B (3, 3) ,代入直
线 2 x ? 2 y ? a ? 0 得 a ? ?12 。

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 得分 评卷人 17.(本小题满分 12 分)记 f ( x ) ? ax ? bx ? c ,若不等式 f ( x ) ? 0 的解
2

集为(1,3) ,试解关于 t 的不等式 f (| t | ?8) ? f ( 2 ? t ) .
2

得分

评卷人

18.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 内, a , b, c 分别为角 A,B,C 所对 的边,a,b,c 成等差数列,且 a=2c。 (1)求 cos A 的值; (Ⅱ)若 S ?ABC ?

3 15 4

,求 b 的值。

得分

评卷人 19.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x ) ?

3 sin x cos x ? cos 2 x ? a .

(Ⅰ)写出函数的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)当 x ? [ ?

? ?

3 , ] 时,函数 f ( x ) 的最大值与最小值的和为 ,求 f ( x ) 的解析式; 2 6 3

(Ⅲ)将满足(Ⅱ)的函数 f ( x ) 的图像向右平移 倍,再向下平移 的面积。

?

12

个单位,纵坐标不变横坐标变为原来的 2

1 2

,得到函数 g (x) ,求 g (x) 图像与 x 轴的正半轴、直线 x ?

?
2

所围成图形

-7-

得分

评卷人

20.( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 单 调 递 增 的 等 比 数 列 {a n } 满 足 :

a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a 2 , a 4 的等差中项。
(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? an log 1 an , S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求 S n ? n ? 2
2
n ?1

? 50 成立的正整数 n 的最小

值。

得分

评卷人

21.(本小题满分 12 分)已知长方形 ABCD, AB ? 2 2 ,BC=1。以 AB

的中点 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系 xoy. (Ⅰ)求以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l ,使得弦 MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由。

-8-

22. ( 本 小 题 满 分 得分 评卷人

14

分 ) 已 知 函 数

f (x ) 的 导 数

f ' ( x ) ? 3 x 2 ? 3ax, f (0) ? b, a , b 为实数, 1 ? a ? 2 .
(Ⅰ)若 f (x ) 在区间[-1,1]上的最小值、最大值分别为-2、1,求 a、 b 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求经过点 P(2,1 且与曲线 f (x ) 相切的直线 l 的方程; ) (Ⅲ)设函数 F ( x ) ? [ f ' ( x ) ? 6 x ? 1] ? e
2x

,试判断函数 F ( x ) 的极值点个数。

实验中学三诊数学(理)参考答案及评分标准 一、选择题 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 A 6 A 7 B 16.-12 8 B

2012.2 9 D 10 C 11 C 12 D

二、填空题:13.

3 2

;14. 0 ? a ?

1 2

;15. [?3,2);

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.由题意知 f ( x ) ? a ( x ? x1 )( ? x2 ) ? a ( x ? 1)( x ? 3) . 且 a ? 0 故二次函数在区间 [ 2,?? ) 上是增函数.…………………………4 分 又因为 8? | t |? 8,2 ? t ? 2 ,……………………………………6 分
2

故由二次函数的单调性知不等式 f (| t | ?8) ? f ( 2 ? t )
2

-9-

等价于 8? | t |? 2 ? t 即 | t | ? | t | ?6 ? 0
2 2

……………………10 分

故 | t |? 3 即不等的解为: ? 3 ? t ? 3 .……………………12 分 18.解: (Ⅰ)因为 a,b,c 成等差数列,所以 a+c=2b, ……………………2 分 又 a ? 2c ,可得 b ?
2 2

3 2

c,
2

…………………………4 分

9 2 c ? c 2 ? 4c 2 b ?c ?a 1 4 所以 cos A ? ? ? ? ,……………………6 分 3 2 2bc 4 2? c 2
(Ⅱ)由(Ⅰ) cos A ? ?

1 4

, A ? (0, ? ) ,所以 sin A ?

15 4

, ……………………8 分

因为 S ?ABC ?

3 15 4 1 2

, S ?ABC ? 1 2

1 2 3 2

bc sin A ,

所以 S ?ABC ?
2

bc sin A ?

?

c2

15 4

?

3 15 4

,………………………………10 分

得 c ? 4, 即 c ? 2, b ? 3 . 19.解(Ⅰ) f ( x ) ? ∴T ? ? . 由

…………………………12 分

3 2

sin 2 x ?

1 ? cos 2 x 2

? a ? sin( 2 x ?

?
6

)?a?

1 2



(2 分)

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

3? 2

? 2 k? ,得

?
6

? kx ? x ? 2? 3

2? 3

? k? .
(6 分)

故函数 f (x ) 的单调递减区间是 [ (2) Q ? 当 x ? ??

?
6

? k? , ? 5? 6

? k? ]( k ? Z ) . 1 2 ? sin( 2 x ?

?
6

?x?

?
3

,? ?

?
6

? 2x ?

?
6

.? ?

?
6

) ?1.

1 1 1 3 ? ? ?? , ? 时,原函数的最大值与最小值的和 1 ? a ? ) ? ( ? ? a ? ) ? , ( 2 2 2 2 ? 6 3?

? a ? 0,? f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6

)?

1 2

.

(8 分) (10 分) (12 分)

(3)由题意知 g ( x ) ? sin x

?

?
2

s i nx d x? ? c o s | 2 =1 x
0

?

0

20、解: (Ⅰ)设等比数列 ?a n ? 的首项为 a1 ,公比为 q,

2 依题意,有 ( a3 ? 2) ? a2 ? a4 ,
- 10 -

代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 , 得 a3 ? 8,? a 2 ? a 4 ? 20 …………………………2 分

?a1q ? a1q 3 ? 20 ? ?? ?a3 ? a1q 2 ? 8 ?

1 ? ?q ? 2 ?q ? 或? 解之得 ? 2 ? a1 ? ? a1 ? 32 ?
n

…………………………4 分

又 ?a n ? 单调递增,? q ? 2,? a1 ? 2,? a n ? 2

………………………………6 分

(Ⅱ) bn ? 2 n ? log 1 2 n ? ? n ? 2 n ,………………………………7 分
2

? ? sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n

① ②

? ?2 s n ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? 3 ? 2 4 ? ? ? ( n ? 1) ? 2 n ? n 2 n ?1

? ①-② 得
10 分

sn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? n ? 2 n ?1 ?

2(1 ? 2 n ) 1? 2

? n ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 ? n ? 2 n ?1 ? 2

n ?1 n ?1 ? s n ? n ? 2 n ?1 ? 50 ,? 2 ? 2 ? 50 ,? 2 ? 52

2 又 当 n ? 4时,
当 n ? 5 时,2 分

n ?1

? 2 5 ? 32 ? 52 , …………………………11 分

n ?1

? 2 6 ? 64 ? 52 .故使 s n ? n ? 2 n ?1 ? 50 ,成立的正整数 n 的最小值为 5. …12

0 ( 0 ( 1) 21.解: (Ⅰ)由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为 (? 2,), 2,), 2, .
设椭圆的标准方程是 则

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a ? b ? 0).

2 a ? AC ? BC ?
2分

( 2 ? ( ? 2 )) 2 ? (1 ? 0 ) 2 ? ( 2 ? 2 ) 2 ? (1 ? 0 ) 2 ? 4 ? 2 2 ,? a ? 2

?b2 ? a2 ? c2 ? 4 ? 2 ? 2 .
∴椭圆的标准方程是

x2 4

?

y2 2

? 1 . ……………………4 分

(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2( k ? 0) .……5 分 设 M,N 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) .

- 11 -

联立方程: ?

? y ? kx ? 2
2 2 ?x ? 2 y ? 4

消去 y 整理得, (1 ? 2 k ) x ? 8kx ? 4 ? 0
2 2

有 x1 ? x2 ? ?

8k 1 ? 2k
2

, x1 x2 ?

4 1 ? 2k 2

………………7 分

若以 MN 为直径的圆恰好过原点,则 OM ? ON ,所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,…………8 分 所以, x1 x2 ? ( kx1 ? 2)( kx2 ? 2) ? 0 ,

( 即 1 ? k ) x1 x2 ? 2 k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0
2

所以,

4(1 ? k 2 ) 1 ? 2k 2

?

16 k 2 1 ? 2k 2

?4?0



8 ? 4k 2 1 ? 2k 2
2

?0,

……………………9 分

得 k ? 2, k ? ? 2 .

……………………10 分

所以直线 l 的方程为 y ?

2 x ? 2 ,或 y ? ? 2 x ? 2 .………………11 分

y 所在存在过 P (0, 的直线 l : ? ? 2 x ? 2 使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点。 2) …………12
分 22.解: (Ⅰ)由已知得, f ( x ) ? x ?
3

3 2

ax 2 ? b ,……………………1 分

由 f ' ( x ) ? 0, 得 x1 ? 0, x2 ? a .

Q x ? [ ?1,1],1 ? a ? 2 ,当 x ? [?1,0) 时, f ' ( x ) ? 0, f ( x ) 递增;
当 x ? (0,1] 时, f ' ( x ) ? 0 , f (x ) 递减.

? f (x ) 在区间[-1,1]上的最大值为 f (0) ? b,? b ? 1 .………………3 分
又 f (1) ? 1 ?

a ,? f ( ?1) ? f (1) . 2 3 4 4 由题意得 f ( ?1) ? ?2 ,即 ? a ? ?2 ,得 a ? , 故 a ? , b ? 1 为所求。 ………………5 分 2 3 3 2 2 2
(Ⅱ)解:由(1)得 f ( x ) ? x ? 2 x ? 1, f ' ( x ) ? 3 x ? 4 x ,点 P(2,1)在曲线 f (x ) 上。
3 2 2

3

a ?1 ? 2 ?

3

a , f ( ?1) ? ?1 ?

3

a ?1 ? ?

3

(1)当切点为 P(2,1)时,切线 l 的斜率 k ? f ' ( x )
- 12 -

x?2 ?

4,

? l 的方程为 y ? 1 ? 4( x ? 2), 即4 x ? y ? 7 ? 0 .………………6 分
(2)当 切 点 P 不 是 切 点 时 , 设 切 点 为 Q ( x0 , y 0 )( x0 ? 2), 切 线 l 的 余 率

k ? f ' ( x)

x ? x0

2 ? 3 x0 ? 4 x0 ,

2 ? l 的 方 程 为 y ? y0 ? (3 x0 ? 4 x0 )( x ? x0 ) 。 又 点 P ( 2 , 1 ) 在 l 上 , 2 ?1 ? y 0 ? (3 x0 ? 4 x0 )( 2 ? x0 ) , 3 2 2 2 2 ?1 ? ( x0 ? 2 x0 ? 1) ? (3 x0 ? 4 x0 )( 2 ? x0 ),? x0 ( 2 ? x0 ) ? (3 x0 ? 4 x0 )( 2 ? x0 ) , 2 2 ? x0 ? 3 x0 ? 4 x0 , 即2 x0 ( x0 ? 2) ? 0,? x0 ? 0 .?切线 l 的方程为 y ? 1 .

故所求切线 l 的方程为 4 x ? y ? 7 ? 0 或 y ? 1 .……………………………………8 分 (Ⅲ)解: F ( x ) ? (3 x ? 3ax ? 6 x ? 1) ? e
2 2x

? [3 x 2 ? 3( a ? 2) x ? 1] ? e 2 x .

? F ' ( x ) ? [6 x ? 3( a ? 2)] ? e 2 x ? 2[3 x 2 ? 3( a ? 2) x ? 1] ? e 2 x . ? [6 x 2 ? 6( a ? 3) x ? 8 ? 3a ] ? e 2 x . ……………………10 分
二次函数 y ? 6 x ? 6( a ? 3) x ? 8 ? 3a 的判别式为
2

? ? 36 ( a ? 3) 2 ? 24 (8 ? 3a ) ? 12 (3a 2 ? 12 a ? 11) ? 12[3( a ? 2) 2 ? 1], 令 ? ? 0 得:

( a ? 2) 2 ?

1 3

,2 ?

3 3

? a ? 2?

3 3

.令 ? ? 0 ,得 a ? 2 ?

3 3

,或 a ? 2 ?

3 3



? e 2 x ? 0,1 ? a ? 2 ,

? 当2 ?


3 3

? a ? 2 时,F ' ( x) ? 0 , 函数 F ( x ) 为单调递增, 极值点个数 0; ………………12

当1 ? a ? 2 ?

3 3

时,此时方程 F ' ( x ) ? 0 有两个不相等的实数根,根据极值点的定义,

可知函数 F ( x ) 有两个极值点. ……………………………………14 分

- 13 -



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