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1.1.2 集合间的基本关系讲义



1.1.2 一、子集

集合间的基本关系

(一)子集:对于两个集合 A、B,如果集合 A 中任意一个元素 都是集合 B 中的元素, ......
我们就说这两个集合有包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集,记作

A ? B(或 B ? A) ,

读作 “A 含于 B” (或 “B 包含 A” )
数学语言表示形式为:若对任意的 x∈A 有 x∈B,则 A ? B 子集关系用文氏图表示为:A ? B(或

B ? A)

B

A

根据子集的定义,我们可以知道 A ? A,也就是说任何集合都是它本身的一个子 集.对于空集 ? ,我们规定 ? ? A , 即空集是任何集合的子集 。 . . ..........
例 1:用适当的符号填空 0____{0}

? ____{0}

2____{2}

2____N

{2}____N

变式练习 1:已知 A={x|x2-3x+2=0 },B={1,2},C={ x|x<8,x∈N },
用适当的符号填空 A___________B A___________C {2}__________C 2_________C

例 2:写出集合 {a, b, c, d} 的所有子集。 【解析】集合 {a, b, c, d} 的所有子集可以分为五类,即: (1)含有 0 个元素的子集,即空集 ? ; (2)含有一个元素的子集: {a},{b},{c},{d} ; (3)含有二个元素的子集: {a, b},{a, c},{a, d},{b, c},{b, d},{c, d} ; (4)含有三个元素的子集: {a, b, c},{a, b, d},{a, c, d},{b, c, d} ; (5)含有四个元素的子集: {a, b, c, d} .

结论:如果集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 共有 2n 个子集 变式练习 1:已知集合 A={x∈N+︱-1≤x<4},则集合 A 的子集有_________个。
【解析】 :8 个
1

(二) 、集合相等:如果集合 A 是集合 B 的子集(A ? B) ,且集
合 B 是集合 A 的子集(B ? A) ,则集合 A 与集合 B 相等,记作集合 A =集合 B。即:A ? B 且 B ? A 则 A=B。

A( B )

(上节两个集合相等:两个集合的元素完全相同)
例 3 :已知集合 A 和集合 B 都是含三个元素的集合,且集合 A={a,a+b,a+2b},B={a, 2 ac, ac },若 A ? B 且 B ? A,求 c 的值。 【解析】 (1)若 ?

?a ? b ? ac ?a ? 2b ? ac
2

消去 b 得:ac +a-2ac=0,

2

a=0 时,集合 B 中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故 a≠0. ∴c -2c+1=0,即 c=1,但 c=1 时,B 中的三元素又相同,此时无解.
2

?a ? b ? ac 2 2 (2)若 ? 消去 b 得:2ac -ac-a=0, ?a ? 2b ? ac
∵a≠0,∴2c -c-1=0,即 (c-1) (2c+1) =0,又 c≠1,故 c=-
2

1 。 2

变式练习:已知集合 A 和集合 B 都含有三个元素,A={x,xy,x-y},B={0,|x|, y},若 A ? B 且 B ? A,求 2x+y 的值。
【解析】 :∴由集合的互异性,∴x-y=0,则 x=y,此时 A={x,x ,0},B={0,|x|, 2 2 x},则 x =|x|且 x≠x ,故 x=y=-1,此时 A={-1,1,0},B={0,1,-1},符合 题意,综上所述,2x+y=-3。
2

(三) 、真子集:如果集合 A ? B,但存在元素 x∈B,且 x? A,我们称集合 A 是集合
B 的真子集。记:A B A 真含于 B (或 B A) B 真包含 A

注意:即如果 A ? B 且 A≠B,那么集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A) 。例
如{1, 2} N、 {a, b} {a, b, c}等。 子集与真子集的区别在于 “ A ” 允许 A = B 或 , ?B . . . ... . . . .A . B . . 而 是不允许 “A = B ” 的, 所以如果 A 成立, 则一定有 A 成立; 但如果有 A ?B ?B .A . B . ..... . . . ....... . B . ....... . . ....... . . 成立, A 不一定成立 。 ... . B . ..... .

空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
例 4:分别写出集合{a},{a,b}和{a,b,c}的所有子集和真子集。 集合{a}的子集有 ? ,{a},共有 2 个子集; 真子集有{a},共 1 个真子集。
2

集合{a,b}的子集有 ? ,{a},{b},{a,b},共有 4 个子集; 真子集有 ? ,{a},{b},共 3 个真子集。 集合{a,b,c}的子集有: ? ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},共有 8 个即个子集;真子集有 ? ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},共 7 个真子集。
n n . . 结论 : 如果集合 个 元素,则集合 ; 2 1 个真子集。 .. . ....A .中有 ..n . . ......A .共有 ..2 .个子集 ... . .- . . .....

例 5:有适当的符号填空。 (1)A={2,3,6} B={x︱x 是 12 的约数} (2)A={0,1} B={x︱x +y =1,y∈N} (3)A={x︱-1<x<2} B={x︱-2<x<2} (4)A={(x,y)︱x×y<0} B={(x,y)︱x>0,y>0} 2 2 (5)A={x︱x =1} B={y︱y -2y+4=0} 【解析】 : (1) (2) (3) (4) (5) A:8 个 B:2 个 C:4 个 D:7 个 【解析】 :集合 B 中有 3 个元素,子集有 8 个。
2 2

A_____B A_____B A_____B A_____B A_____B

变式练习 1:已知集合 A={0,1},B={z︱z=x+y,x∈A,y∈B },则 B 的子集有( )
A

变式练习 2:已知集合 A={x∈Z︱

x ?1 ? 0 },B={y︱y=x2+1,x∈A},则集合 B 的 x?3

含有元素 1 的子集个数为( ) A:5 B:4 C:3 D :2 【解析】 :A={ x∈Z︱-1≤x<3}={-1,0,1,2},则 B={1,2,5},则集合 B 的含有 元素 1 的子集有{1},{1,2},{1,5},{1,2,5} 共四个, B

1 b 1 变式练习 3:已知 A={x︱x= a + , a ∈Z},B={x︱x= - , b ∈Z},C={x︱x 6 2 3 c 1 = + , c ∈Z},则集合 A、B、C 满足的关系是( ) 2 6
A:A=B C B:A B=C C:A B C D:B C A 【解析】 :A={6x︱6x=6 a +1, a ∈Z},B={6x︱x=3 a - 2 =3( a -1)+1, b ∈Z},C ={6x︱x= 3c +1, c ∈Z}。则 A B=C B

变式练习 4 : 已知 A = {x ︱ y = x 2 ? 2 x ? 1 } , B = {y ︱ y = x 2 ? 2 x ? 1 } , C = {x ︱
x 2 ? 2 x ? 1 =0},D={x︱ x 2 ? 2 x ? 1 <0},E={(x,y)︱y= x 2 ? 2 x ? 1 },则下列结论
正确的是( ) A:A ? B ? C ? D 【解析】 :B B:D C B A C:B=E D:A=B

变式练习 5: 若集合 A 满足{1, 2} ? A ? {1, 2, 3, 4}, 则满足条件的集合 A 的个数为_____
3

个。 【解析】 :4 个

二、子集的有关性质
1、空集 ? :我们把不含有任何元素的集合叫做空集,记为 ? ,并规定:空集是任何集合
的子集,任何非空集合的真子集,即空集 。 ? 只有一个子集就是它本身,而空集没有真子集 .. ....................

2、子集与真子集的性质
(1)任何集合是它本身的子集,即 A ? A; (2)对于集合 A、B、C,如果 A ? B 且 B ? C,那么 A ? C; (3)对于集合 A、B、C,如果 A B,且 B C,那么 A C; (4)空集 ? 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 例 5:下列集合只有一个子集 的是( ...... A:{x|x ≤0} B:{ x|x ≤0} 【解析】 :C 例 6:下列表述正确的是( ) A: ? ={0} 【解析】 :B 例 7:设 A={x|2m-1<x<m+3},B={ x∈R|x +1=0}问 m 为何值时能使得 A=B。 【解析】 (1)显然 B= ? ,欲使 A=B,必须且只需 A= ? 即可。 由于 2m-1≥m+3 可得 m≥4,此时 A={x|2m-1<x<m+3}= ? . 综上可知,当 m≥4 时,A=B 例 8 :已知集 合 A = {x | x + x - 2 = 0} , B = { x | x - a = 0} , 若 B ? A , 则 a = _______________。 【解析】易求 A={-2, 1},B={1}或{-2} 当 B={1},a=1;B={-2},a=-2 综上:a=1 或 a=-2
2 2 2 3

) C:{ x|x <0}
2

D:{ x|x >0}

3

B: ? ? {0}

C: ? ? {0}

D: ? ∈{0}

变式练习 1:已知集合 A={x|x2-8x+15=0},B={ x| a x-1=0},若 B ? A,则 a =
_______________。 【解析】 :0 或

1 1 或 3 5

例 9:设集合 A={x| ( x ? 1)(x ? 4) ≤0},B={x|x≤ a },若 A ? B ,则 a 的取值范围是 __________。 【解析】 : a ≥4
4

变式练习 1:已知集合 A={x|-3≤x≤5},若集合 B={ x|-2m-1≤x≤m+1},若 A ? B ,则求 m 的取值范围。
【解析】-2m-1≤-3<5≤m+1,即 ?

?m ? 1 ? 5 m≥4 ?? 2m ? 1 ? ?3

变式练习 2:集合 A={ x|-2≤x≤5},B={ x|m+1≤x≤2m-1},若 B ? A,则求 m
的取值范围。

?m ? 1 ? 2 m ? 1 ? 【解析】 (1) : 若 B= ? , 即 m+1>2m-1 时, 即 m<2; (2) 若 B≠ ? , 则 m 满足 ?m ? 1 ? ?2 ?2 m ? 1 ? 5 ?
解之得 2≤m≤3,综上所述,m≤3

变式练习 2:已知函数 f(x)= x 2 ? ax ? b ( a 、 b ∈R) ,且集合 A={x|x=f(x) },B=
{x|x=f [ f (x) ] }, (1)求证:A ? B ; (2)当 A={-1,3}时,用列举法表示 B。 【解析】 : (1)任取 x∈A,则有 x=f(x),则 f [ f (x) ] =f [ x] =x,故 x∈B,故 A ? B; (2)∵ A={-1,3},故 ?

?? 1 ? 1 ? a ? b ?a ? ?1 2 得? ,故 f(x)= x ? x ? 3 , ?3 ? 9 ? 3a ? b ?b ? ?3

∴f[f(x)]= ( x 2 ? x ? 3) 2 ? ( x 2 ? x ? 3) ? 3 ,故 ( x 2 ? x ? 3) 2 ? ( x 2 ? x ? 3) ? 3 =x

( x 2 ? x ? 3) 2 ? x 2 ? 0 ,∴x=3,x=-1,x= ? 3 ,故 B={-1,3, 3 , ? 3 }

课 后 综 合 练 习
1、下列关系中正确的个数为 ①0∈{0},② ? {0},③{0,1} ? {(0,1)},④{( a , b )}={( b , a )} D:4 ( )

A:1 B:2 C:3 【解析】 :B 2、下列图形中,表示 M ? N 的是( )

M A

N

N B

M

M C

N

M

N D

【解析】 :C 3、设 a 、 b ∈R,集合{1, a + b , a }={0, A:1 【解析】 :C B:-1

b , b },则 b - a =( a
C:2



D:-2

5

4、设集合 A={x︱x=

A:x ? A B: x∈A 【解析】 :A 5、用适当的符号填空:
2

1 1 9 k + , k ∈Z},若 x= ,则下列关系正确的是( 2 4 2
C. {x}∈A D. {x} ? A



(1) ? ______ {x|x -1=0}; (2){1,2,3}________N; (3){1}_________{x|x -x=0}; (4)0________{x|x -2x=0} 【解析】 : ∈ 6、已知集合 A={x|1≤x<4},B={x|x< a },若 A? B,求实数 a 的取值范围________。 【解析】 : a ≥4 2 7、已知 A={x|x -3x+2=0},B={x| a x-2=0}且 B ? A,则实数 a 组成的集合 C 是 ________。 【解析】 :{0,2,1} 8、写出集合 A={x|0≤x<3,x∈N+}的真子集。 【解析】 :3 个 9、已知 M={x|-2≤x≤5}, N={x| a +1≤x≤2 a -1}。 (1)若 M ? N,求实数 a 的取值范围。 (2)若 M ? N,求实数 a 的取值范围。 【解析】 : (1) ? (2) a ≤3
2 2

10、若集合 A={x| a ≤x≤ a +2},B={x|x≤1},若 A ? B,则 a 的取值范围为_____。 【解析】 : a ≤-1 11、已知集合 A={x| y 为_____。 【解析】 :-1≤ a ≤2 12、 已知集合 A={y| y

? 4 ? x2

},B={x| a ≤x≤ a +1}, B ? A,则 a 的取值范围

? 3 ? 2x , x∈[-

13 3 , ]}, B={x|1-m≤x≤m+1}, 若 B ? A, 2 2
m≤1

则 m 的取值范围为_____。 【解析】 :A={y| y

? 3 ? 2x ,x∈[-

13 3 , ]}=[0,4] 2 2

6



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