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2014届高三数学总复习 5.4数列的求和教案 新人教A版


2014 届高三数学总复习 5.4 数列的求和教案 新人教 A 版
考情分析 理解数列的通项公式;会由数列的前 n 项和 求数列通项公式,及化为等差数列、等比数 列求数列的通项公式.掌握等差数列、等比 数列前 n 项和的公式;数列求和的常用方法: 分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒 序相加法等. 考点新知

① 掌握求数列通项公式的常用方法. ② 掌握数列求和的常用方法.

1. 在数列{an}中,若 a1=1,an+1=an+2(n≥1),则该数列的通项 an=________. 答案:an=2n-1 解析:由已知{an}为等差数列,d=an+1-an=2, ∴ an=2n-1. * 2. 已知数列{an}中, a1=1, (n+1)an+1=nan(n∈N ), 则该数列的通项公式 an=________. 1 答案:an= n an an an-1 a2 1 解析: = × ×…× = . a1 an-1 an-2 a1 n 3. (必修 5P44 习题 2(2)改编) 答案:441 解析:

?

20

(1+2 n)=________.

n= 0

?

20

(1 + 2n) = 1 + (1 + 2×1) + (1 + 2×2) + … + (1 + 2×20) = 21 +

n= 0

20(1+20) 2× =441. 2 4. (必修 5P60 复习题 8(1)改编)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an= ________. 4 答案: 5 解析:an= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 = - ,∴ S4=1- + - + - + - = . n(n+1) n n+1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 ,则 S4= n(n+1)

1 1 1 1 5. (必修 5P51 例 3 改编) 数列 1 ,2 ,3 ,4 ,…的前 n 项和是 __________. 2 4 8 16 n(n+1) 1 答案:Sn= +1- n 2 2

1

1? ?1?n? ?1-?2? ? 2 1 1 1 ? ? ? ? n(n+1) n ( n + 1 ) ? ? 解析:Sn=(1+2+3+…+n)+? + 2+…+ n?= + = 2? 2 1 2 ?2 2 1- 2 1 +1- n. 2

1. 当已知数列{an}中,满足 an+1-an=f(n),且 f(1)+f(2)+…+f(n)可求,则可用 累加法求数列的通项 an. 2. 当已知数列{an}中,满足 法求数列的通项 an.
?S1,n=1, ? 3. (1) an=? ?Sn-Sn-1,n≥2. ?

an+1 =f(n),且 f(1)·f(2)·…·f(n)可求,则可用迭乘 an

(2) 等差数列前 n 项和 Sn=

n(a1+an) ,推导方法:倒序相加法. 2

na1,q=1, ? ? (3) 等比数列前 n 项和 Sn=?a1-anq a1(1-qn) = ,q≠1. ? 1-q ? 1-q 推导方法:错位相减法. 4. 常见数列的前 n 项和: n(n+1) (1) 1+2+3+…+n= ; 2 (2) 2+4+6+…+2n=n(n+1); 2 (3) 1+3+5+…+(2n-1)=n ; n(n+1)(2n+1) 2 2 2 2 (4) 1 +2 +3 +…+n = . 6 5. (1) 分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列. (2) 拆项相消:有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式,相加过程消去中间项, 只剩有限项再求和. (3) 错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. (4) 倒序相加:例如,等差数列前 n 项和公式的推导方法. 6. 常见的拆项公式有: (1) (2) (3) 1 1 1 = - ; n(n+1) n n+1 1 ? 1 1? 1 - = ? ?; (2n-1)(2n+1) 2?2n-1 2n+1? 1 1 1 1? ?; - = ? ? n(n+1)(n+2) 2?n(n+1) (n+1)(n+2)? (4) 1 a+ b = 1 ( a- b). a-b

2

题型 1 求简单数列的通项公式 例 1 求下列数列{an}的通项公式: (1) a1=1,an+1=an+2n+1; n (2) a1=1,an+1=2 an. 解:(1) an=n
2

(2) an=2

n(n-1) 2

变式训练 求下列数列{an}的通项公式: (1) a1=1,an+1=2an+1; 2an (2) a1=1,an+1= ; 2+an (3) a1=2,an+1=an. 2 n n-1 解:(1) an=2 -1 (2) an= (3) an=22 n+1 题型 2 分组转化求和 例 2 求下面数列的前 n 项和: 1 1 1 1 1 ,3 ,5 ,7 , … 2 4 8 16 1? 1 1 1 1 ? 解:Sn=1 +3 +5 +7 +…+?(2n-1)+ n? 2? 2 4 8 16 ? 1? ?1 1 1 =[1+3+5+…+(2n-1)]+? + + +…+ n? 2 4 8 2 ? ? 1 1? 1- n? ? ? 2 ? 2 1 n[1+(2n-1)] 2? = + =n - n+1. 2 1 2 1- 2 备选变式(教师专享) ?5n+1,n为奇数, 已知 an=? n ? ?22,n为偶数. (1) 求数列{an}的前 10 项和 S10; (2) 求数列{an}的前 2k 项和 S2k. 2 3 4 5 解:(1) S10=(6+16+26+36+46)+(2+2 +2 +2 +2 ) 5(6+46) 2(1-2 ) = + =192. 2 1-2 (2) 由题意知数列{an}的前 2k 项中,k 个奇数项组成首项为 6,公差为 10 的等差数列, 2 k 个偶数项组成首项为 2,公比为 2 的等比数列.∴ S2k=[6+16+…+(10k-4)]+(2+2 k[6+(10k-4)] 2(1-2 ) k 2 k+1 +…+2 )= + =5k +k+2 -2. 2 1-2
k 5 2

?

3

题型 3 裂项相消求和 例 3 求下面各数列的前 n 项和: (1) (2) 1 1 1 1 , , , ,… 1×5 3×7 5×9 7×11 2 4 6 8 , 2 , 2 , 2 ,… 2 -1 4 -1 6 -1 8 -1
2 2 2 2 2

1 1 1 1 解:(1) ∵ an= = ( - ), (2n-1)(2n+3) 4 2n-1 2n+3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ Sn= (1- + - + - +…+ - + - )= (1+ - - 4 5 3 7 5 9 2n-3 2n+1 2n-1 2n+3 4 3 2n+1 1 n(4n+5) )= . 2n+3 3(2n+1)(2n+3) (2n) 1 (2) ∵ an= = 1+ (2n-1)(2n+1) (2n-1)(2n+1) 1 ? 1? 1 - =1+ ? ?, 2?2n-1 2n+1? 1 ? 2n(n+1) 1? ∴ Sn=n+ ?1- ?= 2n+1 . 2n+1? 2? 备选变式(教师专享) 求 1+ 1 1 1 + +…+ . 1+2 1+2+3 1+2+3+…+n
2

1 ? 2n ?1 解:∵ak=2? - ?,∴Sn=n+1. ?k k+1? 题型 4 倒序相加求和 1 例 4 设 f(x)= x , 求 f(-12)+f(-11)+f(-10)+…+f(0)+…+f(11)+f(12) 3+ 3 +f(13)的值. 解:∵ f(x)+f(1-x)= 3 13 ,∴ 原式= 3. 3 3

备选变式(教师专享) 一个等差数列前 4 项之和为 26,最末 4 项之和为 110,所有项之和为 187,则它的项数 为________. 答案:11 26+110 解析:∵a1+a2+a3+a4=26,an+an-1+an-2+an-3=110,∴a1+an= =34. 4 n(a1+an) 又 Sn= =187,∴n=11. 2 题型 5 错位相减求和 例 5 在各项均为正数的等比数列{an}中, 已知 a2=2a1+3, 且 3a2, a4, 5a3 成等差数列. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 设 bn=log3an,求数列{anbn}的前 n 项和 Sn. 解:(1) 设{an}公比为 q,由题意得 q>0,
?a2=2a1+3, ?a1(q-2)=3, ? ? 且? 即? 2 ? ?3a2+5a3=2a4, ? ?2q -5q-3=0, 4

6 a =- , ? 5 ?a =3, ? ? 解得? 或? (舍), ? 1 ?q=3 ? ?q=-2
1 1

所以数列{an}的通项公式为 an=3·3 =3 ,n∈N n (2) 由(1)可得 bn=log3an=n,所以 anbn=n·3 . 2 3 n 所以 Sn=1·3+2·3 +3·3 +…+n·3 , 2 3 4 n+1 所以 3Sn=1·3 +2·3 +3·3 +…+n·3 , 2 3 n n+ 1 2 3 n n+1 两式相减得,2Sn=-3-(3 +3 +…+3 )+n·3 =-(3+3 +3 +…+3 )+n·3 3(1-3 ) 3+(2n-1)·3 n+1 =- +n·3 = 1-3 2
n n+1

n-1

n


n+1

3+(2n-1)·3 所以数列{anbn}的前 n 项和 Sn= 4

.

备选变式(教师专享) n 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3 -1. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 若 bn=log1(Sn+1),求数列{bnan}的前 n 项和 Tn. 3 解:(1) 当 n=1 时,a1=S1=2, n n-1 n-1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3 -1)-(3 -1)=2×3 , n-1 综上所述,an=2×3 . n (2) bn=log1(Sn+1)=log13 =-n, 3 3 所以 bnan=-2n×3 , 1 2 n-1 Tn=-2×1-4×3 -6×3 -…-2n×3 , 1 2 n-1 n 3Tn=-2×3 -4×3 -…-2(n-1)×3 -2n×3 , 相减,得 1 2 n-1 n -2Tn=-2×1-2×3 -2×3 -…-2×3 +2n×3 1 2 n-1 n =-2×(1+3 +3 +…+3 )+2n×3 , 所以 Tn=(1+3 +3 +…+3
n 1 2 n-1 n-1

1-3 n )-n×3 = -n×3 1-3
n

n

(2n-1)×3 +1 * =- ,n∈N . 2

1. 数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N ).若 b3=-2,b10=12, 则 a8=________. 答案:3 解析:已知 bn=2n-8,an+1-an=2n-8,由叠加法(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7) =-6-4-2+0+2+4+6=0 a8=a1=3. 2. (2013·大纲)等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9. (1) 求{an}的通项公式;

5

(2) 设 bn=

1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. nan

解:(1) 设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d,
?a7=4, ?a1+6d=4, ? ? 因为? 所以? ?a19=2a9, ?a1+18d=2(a1+8d). ? ?

1 解得 a1=1,d= . 2 所以{an}的通项公式为 an= n+1 . 2

1 2 2 2 (2) bn= = = - , nan n(n+1) n n+1 2 ? ?2 2? ?2 2? ?2 所以 Sn=? - ?+? - ?+…+? - ? ?1 2? ?2 3? ?n n+1? = 2n . n+1

3. (2013·湖南)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 a1≠0,2an-a1=S1·Sn,n∈N (1) 求 a1,a2,并求数列{an}的通项公式; (2) 求数列{nan}的前 n 项和. 解:(1) ∵ S1=a1.∴ 当 n=1 时,2a1-a1=S1·S1 a1≠0,a1=1. 2an-a1 2an-1-a1 当 n>1 时,an=Sn-Sn-1= - =2an-2an-1 S1 S1 {an}是首项为 a1=1 公比为 q=2 的等比数列,an=2 (2) 设 Tn=1·a1+2·a2+3·a3+…+n·an qTn=1·qa1+2·qa2+3·qa3+…+n·qan qTn=1·a2+2·a3+3·a4+…+n·an+1, 上式左右错位相减:
n n-1

an=2an-1 ,n∈N .
*

1-q n n (1-q)Tn=a1+a2+a3+…+an-nan+1=a1 -nan+1=2 -1-n·2 1-q Tn=(n-1)·2 +1,n∈N . 4. 已知等差数列{an}前三项之和为-3,前三项积为 8. (1) 求等差数列{an}的通项公式; (2) 若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和.
?3a1+3d=-3, ? 解:(1) 设公差为 d,则? ?a1(a1+d)(a1+2d)=8, ? ? ?a1=2, ? ?a1=-4, 解得? 或? ?d=-3 ? ?d=3. ?
n *

∴ an=-3n+5 或 an=3n-7. (2) 当 an=-3n+5 时,a2,a3,a1 分别为-1,-4,2 不成等比数列; 当 an=3n-7 时,a2,a3,a1 分别为-1,2,-4 成等比数列,满足条件.
?-3n+7,n=1,2, ? 当|an|=|3n-7|=? ? ?3n-7,n≥3. 6

n=1,S1=4;n=2 时,S2=5; 3 2 11 当 n≥3 时,Sn=|a1|+…+|an|= n - n+10. 2 2 又 n=2 满足此式, ?4(n=1), ∴ Sn=?3 2 11 n - n+10(n>1). ? 2 ?2

?

?n-1,n为奇数, ? 1. 已知数列 an=? 求 a1+a2+a3+a4+…+a99+a100 的值. ? ?n,n为偶数,

解:由题意得 a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=0+2+2+4+4+…+98+98+100=2(2 +4+6+…+98)+100=2× 49×(2+98) +100=5 000. 2 n -6n * (n∈N ),bn=log2 an,
2

?1? 2. 已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项的乘积 Tn=? ? ?4?
则数列{bn}的前 n 项和 Sn 取最大时,n=________. 答案:3

解 析 : 当 n = 1 时 , a1 = T1 = 4 = 2 , 当 n≥2 时 , an =
2 2

5

10

Tn ?1? =? ? Tn-1 ?4?

n -6n-(n-1) +6(n-1) 1 2n-7 ? ? 14-4n 14-4n =? ? =2 ,此式对 n=1 也成立,所以 an=2 , ?4? 从而 bn=log2an=14-4n,可以判断数列{bn}是首项为 10,公差为-4 的等差数列,因此 Sn 2 =-2n +12n,故当 n=3 时,Sn 有最大值. 2 3. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对一切正整数 n,点 Pn(n,Sn)都在函数 f(x)=x + 2x 的图象上,且在点 Pn(n,Sn)处的切线的斜率为 kn. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 若 bn=2knan,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 2 解: (1) ∵ 点 Pn(n,Sn)在函数 f(x)=x +2x 的图象上, 2 * ∴ Sn=n +2n(n∈N ),当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+1,当 n=1 时,a1=S1=3 满足 上式,所以数列{an}的通项公式为 an=2n+1. 2 (2) 由 f(x)=x +2x,求导得 f′(x)=2x+2. ∵ 在点 Pn(n,Sn)处的切线的斜率为 kn, n ∴ kn=2n+2,∴ bn=2knan=4·(2n+1)·4 , 2 3 n ∴ Tn=4×3×4+4×5×4 +4×7×4 +…+4×(2n+1)×4 ,用错位相减法可求得 Tn 6n+1 n+2 16 = ·4 - . 9 9 4. 已知等差数列{an}是递增数列,且满足 a4·a7=15,a3+a8=8. (1) 求数列{an}的通项公式;

7

(2) 令 bn=

1 1 (n≥2),b1= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 9an-1an 3
2

解:(1) 根据题意:a3+a8=8=a4+a7,a4·a7=15,知:a4,a7 是方程 x -8x+15=0 的两根,且 a4<a7,解得 a4=3,a7= 2 5,设数列{an}的公差为 d,由 a7=a4+(7-4)·d,得 d= .故等差数列{an}的通项公式 3 2 2n+1 为 an=a4+(n-4)·d=3+ (n-4)= . 3 3 1 1 (2) 当 n≥2 时,bn= = 9an-1an ?2 1??2 1? 9? n- ?? n+ ? ?3 3??3 3? = 1 ? 1 1? 1 - = ? ?. (2n-1)(2n+1) 2?2n-1 2n+1?

1 1? 1? 又 b1= = ?1- ?, 3 2? 3? ∴ Sn=b1+b2+…+bn 1 1 ? 1? 1 1 1 - = ?1- + - +…+ ? 3 3 5 2n-1 2n+1? 2? 1 ? 1? n = ? 1- . ?= 2n+1? 2n+1 2? 1. an 的两种常见变形 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)(累加法) a2 a3 an an=a1· · ·… (累乘法) a1 a2 an-1 2. 数列求和的方法技能 ① 倒序相加 ② 错位相减 ③ 分组求和 ④ 拆项相消 3. 方程思想、函数思想、化归思想、整体思想、分类讨论等数学思想在数列中均得到 广泛应用, 尤其是运用化归的思想将问题转化为等差、 等比数列问题来研究是解决数列综合 问题的最基本思维方法.

请使用课时训练(B)第4课时(见活页).

[备课札记]

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