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2016高考数学二轮复习微专题强化练习题:21排列、组合与二项式定理(理)



第一部分



21

一、选择题 1.(2014· 甘肃省三诊)我校要从 4 名男生和 2 名女生中选出 2 人担任 H7N9 禽流感防御 宣传工作,则在选出的宣传者中男、女都有的概率为( A. 8 15 1 B. 2 D. 4 15 )

2 C. 5 [答案] A

[解析] 从 4 名男生和 2 名女生选出 2 人共有 C2 6=15 种不同选法,男、女都有的选法 8 有 4×2=8 种,故所求概率 P= . 15 [方法点拨] 用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始计算之前对问题进行 仔细分析,确定需要分类还是分步. ①分类要做到“不重不漏”, 分类后再分别对每一类进行计数, 最后用分类加法计数原 理求和,得到总数. ②分步要做到“步骤完整”,只有完成所有步骤,才算完成任务,当然步与步之间要相 互独立. 分步后再计算每一步的方法数, 最后根据分步乘法计数原理把完成每一步的方法数 相乘,得到总数. ③对于复杂的问题,有时可依据题目特点列出示意图或表格以助分析. 2.(2015· 湖北理,3)已知(1+x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇 数项的二项式系数和为( A.2
9

) B.210 D.212

C.211 [答案] A

r 3 7 [解析] 由题意可得,二项式的展开式满足 Tr+1=Cr nx ,且有 Cn=Cn,因此 n=10.令 x

=1,则(1+x)n=210,即展开式中所有项的二项式系数和为 210;令 x=-1,则(1+x)n=0, 即展开式中奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数之差为 0,因此奇数项的二项式系数 1 和为 (210+0)=29.故本题正确答案为 A. 2
n r r [方法点拨] 解决二项式定理问题时,一要熟记通项公式 Tr+1=Cr b ,它是第 r+1 na


项,且不要颠倒 a、b 的顺序,二要明确求某些特定项或其系数时用通项公式,与二项式系 数有关的命题或各项系数和的问题用赋值法结合二项式系数的性质求解, 不等式问题主要用

放缩法求解. 3.(2014· 唐山市二模)将 6 名男生,4 名女生分成两组,每组 5 人,参加两项不同的活 动,每组 3 名男生和 2 名女生,则不同的分配方法有( A.240 种 C.60 种 [答案] B
2 [解析] 不同的分配方法有 C3 6C4=120.

)

B.120 种 D. 180 种

4.12 名同学合影,站成了前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到 前排,其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是(
2 A.C2 8A3 2 C.C2 8A6 6 B.C2 8A6 2 D.C2 8A5

)

[答案] C [解析] 要完成这件事,可分两步走:第一步可先从后排 8 人中选 2 人共有 C2 8种;第二 步可认为前排放 6 个座位,先选出 2 个座位让后排的 2 人坐,由于其他人的顺序不变,所以
2 2 有 A2 6种坐法.综上,由分步乘法计数原理知不同调整方法种数为 C8A6种.

[方法点拨] 1.熟记两个记数原理、排列组合数公式及性质. n! (1)排列数公式 Am Am , An=n! , 0! =1(n∈N*, n =n(n-1)(n-2)?(n-m+1), n= ?n-m?! n m∈N*,m≤n). (2)组合数公式及性质 Cm n= n?n-1??n-2???n-m+1? n! Am n = = , Am m! m!?n-m?! m
-m

0 n Cn =1,Cm n =Cn

m m 1 ,Cm . n+1=Cn +Cn


2.区分某一问题是排列还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是否有关,若交换某 两个元素的位置对结果产生影响, 则是排列问题; 若交换任意两个元素的位置对结果没有影 响,则是组合问题,也就是说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺序 无关. 3.①解排列组合问题常用方法有特殊元素优先考虑与特殊位置优先考虑两种.②遵循 基本原则:先选后排,即先组合后排列.③注意做到不重复不遗漏. 5.(2015· 河南省高考适应性测试)3 对夫妇去看电影,6 个人坐成一排,若女性的邻座只 能是其丈夫或其他女性,则坐法的种数为( A.54 C.66 [答案] B [解析] 记 3 位女性为 a、b、c,其丈夫依次为 A、B、C,当 3 位女性都相邻时可能情 ) B.60 D.72

形有两类:第一类男性在两端,如 XAabcC 有 2A3 3种,第二类男性在一端,如 XXAabc,有
3 3 2 2A2 2A3种,共有 A3(2A2+2)=36 种,当仅有两位女性相邻时也有两类,第一类这两人在一端

如 abBACc,第二类这两人两端都有其他人,如 AabBCc,共有 4A2 3=24 种,故满足题意的 坐法共有 36+24=60 种. 1 2 ?3 6.(2015· 河北唐山市一模)? ?x +x2-2? 展开式中的常数项为( A.-8 C.-20 [答案] C 1 1?r 2 r 6-r ? r r 6-2r ?3 ? 1?6 [解析] ∵? ?x +x2-2? =?x-x? ,∴Tr+1=C6x · ?-x? =C6(-1) x ,令 6-2r=0,
3 得 r=3,∴常数项为 C3 6(-1) =-20.

)

B.-12 D.20

7.由数字 0、1、2、3、4、5 组成且没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数 字的共有( ) B.300 个 D.600 个

A.210 个 C.464 个 [答案] B

[解析] 由于组成没有重复数字的六位数,个位小于十位的与个位大于十位的一样多,
5 C1 5A5 故有 =300(个). 2

[方法点拨] 解决数字问题时,要特别注意“奇数”、“偶数”、“被某数整除”,有 无“重复数字”、“大于”或“等于”某数等字眼. 8.(2015· 湖南理,6)已知? x-

?

a ?5 3 的展开式中含 x 的项的系数为 30,则 a=( 2 x? B.- 3 D.-6

)

A. 3 C.6 [答案] D

5 3 r r 5 [解析] Tr+1=Cr 5(-1) a x -r,令 -r= 得 r=1,可得-5a=30?a=-6,故选 D. 2 2 2 9.

如图,M、N、P、Q 为海上四个小岛,现要建造三座桥,将这四个小岛连接起来,则 不同的建桥方法有( A.8 种 ) B.12 种

C.16 种 [答案] C

D.20 种

[解析] 把四个小岛看作四个点,可以两两之间连成 6 条线段,任选 3 条,共有 C3 6种情 形,但有 4 种情形不满足题意,∴不同的建桥方法有 C3 6-4=16 种,故选 C. 10.研究性学习小组有 4 名同学要在同一天的上、下午到实验室做 A、B、C、D、E 五 个操作实验,每位同学上、下午各做一个实验,且不重复,若上午不能做 D 实验,下午不 能做 E 实验,则不同的安排方式共有( A.144 种 C.216 种 [答案] D [解析] 根据题意得,上午要做的实验是 A,B,C,E,下午要做的实验是 A,B,C, D,且上午做了 A,B,C 实验的同学下午不再做相同的实验.先安排上午,从 4 位同学中
3 任选一人做 E 实验,其余三人分别做 A、B、C 实验,有 C1 A3 =24 种安排方式.再安排下 4·

) B.192 种 D.264 种

午,分两类:①上午选 E 实验的同学下午选 D 实验,另三位同学对 A、B、C 实验错位排列, 有 2 种方法,则不同的安排方式有 N1=1×2=2 种;②上午选 E 实验的同学下午选 A、B、 C 实验之一,另外三位从剩下的两项和 D 一共三项中选,但必须与上午的实验项目错开, 有 3 种方法,则不同的安排方式有 N2=C1 3=9 种.于是,不同的安排方式共有 N=24×(2 3· +9)=264 种.故选 D. [方法点拨] “分类”与“分步”的区别:关键是看事情完成情况,如果每种方法都能 将事件完成则是分类; 如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步. 分类要用分类加法 计数原理;分步要用分步乘计数原理.
6 b?4 3 11.(2015· 河北衡水中学三调)在? ?ax +x? 的二项展开式中,如果 x 的系数为 20,那么

ab3=(

) B.15 D.5

A.20 C.10 [答案] D
4 r r 24 [解析] Tr+1=Cr bx 4a
- -7r

,令 24-7r=3,得 r=3,则 4ab3=20,∴ab3=5.

12.有 5 名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛,每项比赛至少有一人参加,其中甲同 学不能参加跳舞比赛,则参赛方案的种数为( A.112 C.92 [答案] B [解析] 甲同学有 2 种参赛方案,其余四名同学,若只参加甲参赛后剩余的两项比赛, ) B.100 D.76

3 则将四名同学先分为两组,分组方案有 C1 C3 + 4·

2 C2 4C2 2 =7,再将其分到两项比赛中去,共有 A2

分配方案数为 7×A2 2=14;若剩下的四名同学参加三项比赛,则将其分成三组,分组方法数
3 2 3 是 C2 4,分到三项比赛上去的分配方法数是 A3,故共有方案数 C4A3=36.根据两个基本原理

共有方法数 2×(14+36)=100(种). [方法点拨] 1.把握求解排列组合问题及应用题的基本策略 ①解排列组合问题应遵循的原则:先特殊后一般,先选后排,先分类后分步. ②常用策略:(a)相邻问题捆绑法;(b)不相邻问题插空法;(c)定序问题属组合;(d)至少 或至多问题间接法;(e)选排问题先取后排法;(f)局部与整体问题排除法;(g)复杂问题转化 法. 2.区分排列与组合的关键是看元素是否与顺序有关,“定序”为组合,“有序”为排 列,“分堆”为组合,“分配”为排列. 二、填空题 13.(2014· 北京理,13)把 5 件不同产品摆成一排,若产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与产品 C 不相邻,则不同的摆法有________种. [答案] 36 [解析] 本题考查了计数原理与排列组合知识. 先只考虑 A 与产品 B 相邻,此时用捆绑法,将 A 和 B 作为一个元素考虑,共有 A4 4=24 种方法,而 A 和 B 有 2 种摆放顺序,故总计 24×2=48 种方法,再排除既满足 A 和 B 相邻, 又满足 A 与 C 相邻的情况,此时用捆绑法,将 A、B、C 作为一个元素考虑,共有 A3 3=6 种 方法,而 A、B、C 有 2 种可能的摆放顺序,故总计 6×2=12 种方法. 综上,符合题意的摆放共有 48-12=36 种. 14 .若对于任意实数 x ,有 x5 = a0 + a1(x - 2) +?+ a5(x - 2)5 ,则 a1 + a3 + a5 - a0 = ________. [答案] 89 [解析] 令 x=3 得 a0+a1+?+a5=35,令 x=1 得 a0-a1+?-a5=1,两式相减得 a1 35-1 +a3+a5= =121,令 x=2 得 a0=25=32,故 a1+a3+a5-a0=121-32=89. 2 15.有四种不同的颜色,现用这些颜色给棱长分别为 3、4、5 的四棱柱的表面涂色,要 求相邻的面涂不同的颜色,共有不同涂色方案________个. [答案] 96 [解析] 由于相邻两面不同色,故可以涂相同颜色的只有对面,四棱柱有 3 对对面,故 至少要用 3 色来涂,因此分两类:
3 第一类:用三种颜色涂,有 C3 4A3种;

第二类:用四种颜色涂,四棱柱有六个面,则必有两个面与对面同色,故有一对面不同

色.先从 3 对对面中选取 2 对,有 C2 3处选法,再从 4 种颜色中选取 2 种涂这 2 对对面,有
2 2 2 2 A2 4种涂法,然后用剩下的 2 色涂剩下的一对对面有 A2种涂法,因此共有 C3A4A2种,综上共 3 2 2 2 有 C3 4A3+C3A4A2=96 种.

16. (2015· 沈阳质量监测)将 7 支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中, 每个笔筒中至少 放两支笔,有________种放法(用数字作答). [答案] 112 [解析] 设有 A,B 两个笔筒,放入 A 笔筒有四种情况,分别为 2 支,3 支,4 支,5 支, 一旦 A 笔筒的放法确定,B 笔筒的放法随之确定,且对同一笔筒内的笔没有顺序要求,故为
3 4 5 组合问题,总的放法为 C2 7+C7+C7+C7=112.

[易错分析] 本题是分配问题,考生不能按照正确的顺序,即先分组再分配导致错误, 同时要注意均匀分配与不均匀分配是不同的.



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