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椭圆及其标准方程课件



椭圆及其标准方程

引例:
若取一条长度一定且没有弹性的细绳,把它 的两端都固定在图板的同一点处,套上铅笔,拉 紧绳子,移动笔尖,这时笔尖画出的轨迹是什么 图形?

圆的定义:平面内到
定点的距离等于定长的 点的轨迹是圆

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2


2

探究:
若将细绳的两端拉开一段距离,分别固定在 图板上不同的两点F1、F2处,并用笔尖拉 紧绳子,再移动笔尖一周,这时笔尖画出的 轨迹是什么图形呢?
y p

思考:如
F2 x

F1

0

何定义椭 圆?

椭圆的概念:平面内与两个定点

的距离的和等 于定长的点的轨迹叫做椭圆,其中两定点 F1 , F2 叫椭圆的焦 点,定点间的距离叫椭圆的焦距。(定长大于两定点间的距离)

F1 , F2

讨论:若把绳长记为2a,两定点间
的距离记为2c(c≠0). (1)当2a>2c时,轨迹是 椭圆 (2)当2a=2c时,轨迹 是 以F1,F2为端点的直线段 ; (3)当2a<2c时, 无轨迹 ;


椭圆标准方程:
如图所示:取过焦点 F1 , F2 的直线 为x轴,线段 F1 , F2 的垂直平分线为 y轴,设P(x,y)为椭圆上的任意 一点,则椭圆的焦距是2c(c>0) 则F1(-c,0),F2(c,0) 又设P与 F1,F2的距离之和等于2a(a为常数)

y

a ?c ? b
2 2

2

P(x,y)

F1(-c,0)

0

F2(-c,0)

即:


PF 1 ? PF 2 ? 2a

PF1 ? ( x ? c) 2 ? ( y ? 0) 2 ; PF2 ? ( x ? c) 2 ? ( y ? 0) 2
2 2 2 2

? ( x ? c) ? ( y ? 0) ? ( x ? c) ? ( y ? 0) ? 2a

移项,再平方

( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 a ? cx ? a
2

( x ? c) ? y
2

2

两边再平方,得
整理得 (a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 )

能否在图中找 到a,b,c分别表 示什么呢?

a 4 ? 2a 2cx ? c 2 x 2 ? a 2 x 2 ? 2a 2cx ? a 2c 2 ? a 2 y 2
由椭圆定义可知 a ? c, a 2 ? c 2 ? 0, a 2 ? c 2 ? b2 (b ? 0),

b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b2
两边除以 a b 得
2 2

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

焦点在X轴上 椭圆的标准 方程

概念:a的长叫做椭圆的半长轴长;b的长叫做椭圆的半短
轴长;c叫椭圆的半焦距。

若F1,F2在y轴上,如图所示,则该 椭圆的标准方程是什么呢?

y

则F1(0,c),F2(0,-c),对任意的P(x,y)有

PF1 ? x 2 ? ( y ? c) 2 ; PF2 ? x 2 ? ( y ? c) 2


F1 P

PF 1 ? PF 2 ? 2a
F2

0

x

∴ 同理可得

焦点在y轴上的椭圆标准方程 为: 2 2

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

比较x轴与y轴上 的椭圆标准方程 有什么区别?

椭圆的两种标准方程:
定 义 y

PF 1 ? PF 2 ? 2a
y
P F1

图 形
F1

o F2

x X与y交

F2

0

P x

焦点及位置 焦点F1 (?c,0), F2 (c,0) 判定

换了位 置

焦点F1 (0,?c ), F2 (0, c )

标准方程
a,b,c之间
的关系

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

a ?c ? b
2 2

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 2

随堂练习
例:椭圆
A.(±5,0)
x2 y2 ? ? 1的焦点坐标是( 25 169

) C
D(±12,0)

B(0, ±5)

C(0, ±12)

x2 y2 例2. 椭圆上 25 ? 9 ? 1 一点P到一个焦点的距离为5,

则P到另一个焦点的距离为(A ) A.5 B.6 C.4 D.10

例1 已知椭圆的两个焦点坐 标分别是?? 2,0 ?, ?5 3? ?2,0 ?, 并且经过点? ,? ?, 求椭圆的标准方程 . ? 2 2? 解 因为椭圆的焦点在x轴上, 所以它的标准方 2 2 x y 程为 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0 ?. 由椭圆定义知 2a a b 2 2 2 2 ?5 ? ? 3? ?5 ? ? 3? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 10 , ?2 ? ? 2? ?2 ? ? 2?

则a ? 10 .又c ? 2, 故b 2 ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6. x2 y 2 因此, 所求椭圆的标准方程为 ? ?1. 10 6

例 3 如图2.1 ? 6, 设点A, B 的坐标分别为?? 5,0 ? , ?5,0 ?. 直线 AM , BM 相交于点M , 4 且它们的斜率之积是? , 9 求点 M的轨迹方程 .

y
M

A

B

O

x

图2.1 ? 6

解 设点 M的坐标为 ? x, y ?, y M 因为点 A 的坐标是 ?? 5,0 ? , 所以 , 直线 AM 的斜率 A y O ? x ? ?5 ? ; k AM ? x?5 同理 , 直线 BM 的斜率 图2.1 ? 6 y ? x ? 5 ?. k BM ? x?5 y y 4 ? ? ? ? x ? ?5 ?, 由已知中有 x?5 x?5 9

B

x

x2 y2 化简, 得点 M的轨迹方程为 ? ? 1? x ? ?5 ?. 25 100/ 9



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