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高中数学完整讲义——数列3.等比数列2-等比数列的性质


高中数学讲义

等比数列的性质

典例分析
【例1】 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 1 .若 am ? a1a2 a3 a4 a5 ,则 m ? A.9 B.10 C.11 D.12

【例2】 设 ?an ? 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2 n 项和与前 3n 项和分别为 X , Y , Z ,则下

列等式中恒成立的是 A. X ? Z ? 2Y
C. Y ? XZ
2

B. Y (Y ? X ) ? Z (Z ? X ) D. Y (Y ? X ) ? X (Z ? X )

【例3】 已知 ?an ? 是等比数列, a2 ? 2 , a5 ? a)
16 ?1 ? 4?n ?

1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? an an ?1 ? ( 4 32 B. 16(1 ? 2? n ) C. ?1 ? 4? n ? 3

)
D.

32 ?1 ? 2?n ? 3

? 0的 两 根 , 则 【例4】 设 ?an ? 为 公 比 q ? 1 的 等 比 数 列 , 若 a2006 和 a2007 是 方 程 4 x 2 ? 8x ? 3

a2 0 0 ? 8 a

2009

?



【例5】 等比数列 {an } 的各项均为正数,且 a5 a6 ? a4 a7 ? 18 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? A.12 B.10 C.8

log3 a10 ? (

)

D. 2 ? log3 5

【例6】 等比数列 ?an ? 的公比为 2 ,则

2a1 ? a2 的值为 2a3 ? a4



思维的发掘

能力的飞跃

1

高中数学讲义

【例7】 已知等比数列 ?an ? 满足 a1 ? a6 ? 11 ,且 a3 a4 ?

⑴求数列 ?an ? 的通项 a n ;

32 . 9

2 4 ⑵如果至少存在一个自然数 m ,恰使 am ?1 , (am )2 , am?1 ? 这三个数依次成等差数列,问 3 9 这样的等比数列 ?an ? 是否存在?若存在,求出通项公式;若不存在,请说明理由.

2 , ) ,若数列 ?bn ? 有连续四项 【例8】 设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, | q |? 1 ,令 bn ? an ? 1(n ? 1,

? 23 , 19 , 37 , 82? 中,则 6q ? 在集合 ??53 ,



【例9】 已知各项均为正数的等比数列 ?an ? , a1a2 a3 ? 5 , a7 a8 a9 ? 10 ,则 a4 a5 a6 ? A. 5 2 B .7 C .6 D. 4 2

【例10】 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 1 .若 am ? a1a2 a3 a4 a5 ,则 m ? A.9 B.10 C.11 D.12

【例11】 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N* ⑴ 证明: ?an ? 1? 是等比数列; ⑵ 求数列 ?Sn ? 的通项公式,并求出 n 为何值时, Sn 取得最小值,并说明理由.

【例12】 已知数列 ?an ? 为等差数列,若 a1 ? a , an ? b ? n ≥ 2, n ? N? ? ,则 an?1 ? 类比等差数列的上述结论,对等比数列 ?bn ??bn ? 0, n ? N? ? , 若 b1 ? c , bn ? d ? n ≥ 3, n ? N? ? ,则可以得到 bn ?1 ? .

nb ? a . n ?1

2

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【例13】 已知数列 ?an ? 为等差数列,若 am ? a , an ? b ? n ? m ≥1, m , n ? N? ? .则 am? n ? 类 比 等 差 数 列

?an ?

的 上 述 结 论 , 对 于 等 比 数 列 , 则可以得到 bm? n ?

?bn ? ?bn ? 0, n ? N? ?


nb ? ma . n?m



bm ? c , bn ? d ? n ? m ≥ 2, m , n ? N? ?

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