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高一2.1.2指数函数及其性质



2.1.2 指数函数及其性质
一、知识点 1、指数函数定义 一般地,函数 义域是 R。 的含义: ”如果不这样规定会出现 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定

问题: 指数函数定义中, 为什么规定“ 什么情况?分析如下:

(1)若 a<0(如 (2)若 a=0(对于

, ,

则在实数范围内相应的函数值不存在) 都无意义)

(3)若 a=1(1x 无论 x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.) 为了避免上述各种情况的发生,所以规定 a>0且 .

练习一: 1:指出下列函数那些是指数函数:

2:若函数

是指数函数,则 a=___________

3:已知 y=f(x)是指数函数,且 f(2)=4,求函数 y=f(x)的解析式。

1

2、指数函数的图像及性质 例.在同一坐标系中画 出下列函数的图象:
1 (1) y ? ( ) x 3 1 (2) y ? ( ) x 2

(3) y ? 2 x (4) y ? 3x (5) y ? 5 x

图象特征
a ?1 0 ? a ?1 a ?1

函数性质
0 ? a ?1

向 x、y 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右看, 图象逐渐上升 自左向右看, 图象逐渐下降

函数的定义域为 R 非奇非偶函数 函数的值域为 R+
a0 ? 1

增函数

减函数

在第一象限内的 在第一象限内的 图象纵坐标都大 图象纵坐标都小 于1 于1

x ? 0, a x ? 1

x ? 0, a x ? 1

在第二象限内的 在第二象限内的 图象纵坐标都小 图象纵坐标都大 于1 于1 函数值开始增长 函数值开始减小 图象上升趋势是 图象上升趋势是 较慢,到了某一 极快,到了某一 越来越陡 越来越缓 值后增长速度极 值后减小速度较 快; 慢;
2

x ? 0, a x ? 1

x ? 0, a x ? 1

1.利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上,f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a)] ; (2)若 x ? 0 ,则 f (x) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; (4)当 a ? 1 时,若 x1 ? x 2 ,则 f (x1 ) ? f (x 2 ) ;

y=ax(a>1)

y=ax(0<a<1=

图 象

(1)定义域:R (2)值域: (0,+∞) 性 质 (3)过定点(0,1)即 x=0 时,y=1 (4)当 x>0 时,ax>1; (4)当 x>0 时,0<ax<1; 当 x<0 时,0<ax<1. 当 x<0 时,ax>1. (5)在(-∞,+∞)上是增函 (5) 在 (-∞,+∞) 上是减函数. 数. 练习二: 1、求下列函数的定义域和值域:

1 x?2 y?( ) . 3

y ?5

3 x ?2

3

2、比较下列各题中两值的大小

教师引导学生观察这些指数值的特征,思考比较大小的方法。 (1) (2)两题底相同,指数不同, (3) (4)两题可化为同底的,可以利用函 数的单调性比较大小。 (5)题底不同,指数相同,可以利用函数的图像比较大小。 (6)题底不同,指数也不同,可以借助中介值比较大小。 3、已知下列不等式 ,比较 m,n 的大小 :

4、观察指数函数

的图象,比较 a,b,c,d,的大小。

4

三、家庭作业 1、计算
? 1 1 ( )?1 ? 4 ? (?2)?3 ? ( )0 ? 9 2 4 (1) 2 =_________ 1

2

a3 b
(2) a
? 1 23

?(

b
1

a ?1 b ?1 ? 3 ) b a
1 1

2

=__________
1 5

1 (a 3 b 2 )(?3a 2 b 3 ) ? ( a 6 b 6 ) 3 (3) =__________
16 ? 1 0 ( 2 ? 3) ? ( 2 2) ? ( 4 )2 ? 4 2 ? 80.25 ? (? 2005) 49 (4) =__________
3 6 4 3

2

2、求下列函数的定义域和值域 (1)
y? 1 2 ?1
x

1 2 y ? ( ) 2 x ?2 3 (2)

?1?x y?? ? ?2? (3)

1

?1? y?? ? ?2? (4)

? x2 ? x?2

? 1 ? x ?1 y?? ? ?2? (5)

x ?1

(6)

y?

2x 1? 2x

3、不等式 6

x 2 ? x ?2
2

? 1 的解集是________________
的定义域、值域和单调区间.

4、求函数 y=3

? x ? 2 x ?3

5



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