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1.2.2.1 函数的表示法


1.掌握函数的三种表示法,体会三种表示方法的优点
2.通过实例体会分段函数的概念 3.了解映射的概念并会判断一个对应关系是否是映射 重点:函数的三种表示法,分段函数的概念

难点:映射的概念

一 函数的表示法 1. 解析法: 把两个变量的关系, 用一个等式 表示, 这个等式就叫做函数的解析式.

如: S ? ? r ,
2

y ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

优点: 1.函数关系清楚。 2.容易从自变量的值求出其对应的函数值。 3.便于研究函数性质。 解析法是中学研究函数的主要表达方法.

2. 图象法: 用函数图象来表示两个变量之 间的关系.
如: 一次函数的图象是一条直线; 如函数 y=kx+b (k<0、b>0)
y
优点:直观形象, 反映函数的变化趋势。 是利用数形结合思想解题的基础.

O

x

3. 列表法:
列出表格来表示两个变量的关系. 如:平方表,平方根表,汽车、火车站 的里程价目表、银行里的“利率表”等 等. 优点:不需要计算就可以直接看出与自变 量的值所对应的函数值。 当自变量的值的个数较少时使用

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想一想
1)所有的函数都能用解析法表示吗?

2)所有的函数都能用列表法表示吗?
3)所有的函数都能用图象法表示吗?

例3

某种笔记本的单价是5元,买 x x ? ?1, 2,3, 4,5?

?

?

个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数. 解:这个函数的定义域是{1,2,3,4,5}

用解析法表示为 y ? 5x, x ? ?1, 2,3, 4,5? 列表法表示如下:
x 1 2 3 4 5

y

5

10

15

20

25

用图象法可将函数表示为右图:

(1)用解析法表示函数是否一定要写出 自变量的取值范围?
函数的定义域是函数存在的前提,写函数解析式 的时候,一般要写出函数的定义域.

(2)用描点法画函数图象的一般步骤是什么?本 题中的图象为什么不是一条直线? 列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线)
函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、 折线、离散的点等。

例4. 下表是某校高一(1)班三名同学在高一 学年六次数学测试的成绩及班级平均分表.

请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况 做一个分析.

0

王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情 况比较稳定而且成绩优秀. 张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水 平上下波动,而且波动幅度较大. 赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平,但他的 成绩曲线呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.

针对练习(课本23页 1) 如图,把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料, 如果矩形的一边长为xcm,面积为ycm2,把y表示为x的 函数.
A D

B

x

C

y ? x 2500 ? x , (0 ? x ? 50)
2

针对练习(课本23页 2)

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下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下 的那个图象写出一件事. (1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是返回家 里找到了作业本再上学;D (2)我骑着车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽 搁了一些时间; A (3)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加 速.B
离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离

时间

时间

时间

时间

(A)

(B)

(C)

(D)

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1. 画出下列函数图象: (1) (2)

f (x) ? 2x, x ? R, 且 x ? 2;

f (x) ? x ? 2,(x ? N, 且 x ? 3);
y 4

解:(1)

?

(2)

2

?2

?1 O ?2

1

2

x

?

?4

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自学导引(二):
自学课本P21例5 –23页 (8分钟) 思考:1. 如何画出函数 y ? x 的图象? 2.什么叫分段函数? 3.映射是如何定义的?映射与函数有何不同?

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你能画出函数 y ? x 的图象吗?
解:由绝对值的概念, 我们有 ? x, x ? 0, y?? ?? x, x ? 0.
图象如下: 在它的定义域中, 对于自变量的不同 取值范围,对应关 系不同。

y 5 4 3 2 1

-3 -2 -1 O 1 2 3

x

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二 分段函数
有些函数在它的定义域中,对于自变量的 不同取值范围,对应关系不同,这种函数 通常称为分段函数。
注意

(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数; (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各 段值域的并集.

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例6. 某市“招手即停”公共汽车的票价按 下列规则指定: (1)5公里以内(含5公里),票价2元; (2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1 元(不足5公里的按5公里计算). 如果某条线路的总里程为20公里,请根据 题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并 画出函数的图象.

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解:设票价为y元,里程为x公里,由题意可知,自变量x 的取值范围是(0,20] 由“招手即停”公共汽车票价的制定规定,可得到以下 y 函数解析式: 5 ○ 2, 0<x ≤ 5 4 3, 5 < x ≤ 10 ○ y= 4, 10 < x ≤ 15 3 ○ 5, 15 < x≤20 2○ 根据这个函数解析式, 1 可画出函数图象, 如右图: 0 5

10 15 20

x

1.求分段函数的函数值:
x+2, (x≤-1); 例1 已知函数f(x)= x2, (-1<x<2); 2x, (x≥2).

?1? (1)求 f ? 3? ,f ? ? ,f ? ?5 ? 的值; ?2?
解:(1) (2)

(2)若f(x)=3,求x的值.

?1? 1 f ? 3? ? 6,f ? ? ? ,f ? ?5? ? ?3 ?2? 4

x? 3

2. 作出

y ? x ?1 ? x ? 2 (?3 ? x ? 3)

的图像并求值域。

观察下列对应: ①开平方 1
9 4 1 3 -3 2 -2 1 -1

②求平方
1 4 9

-1 2 -2 3 -3

③求正弦
30? 45? 60? 90?

1 2 2 2 3 2 1

④乘以2 1
1 2 3

2 3 4 5 6



映射的概念

设A,B是两个非空集合,如果按某一个确定的 对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集 合B中都有惟一确定的元素y与之对应,那么就称对 应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射,记作 f:A→ B . 其中x叫做原象,与x对应的y叫做象.
注意

若对应是映射,必须满足两个条件:

①A中任何一个元素在B中都有元素与之对应。

②A在B中所对应的元素是唯一的。

思 考 你能说出函数与映射之间的异同吗? 1)函数是一个特殊的映射; 2)函数是非空数集A到非空数集B的映射, 而对于映射,A和B不一定是数集.

映射f:A→B,可理解为以下4点: 1、A中每个元素在B中必有唯一的象

2、对A中不同的元素,在B中可以有相同的象
3、允许B中元素没有原象

4、A中元素与B中元素的对应关系,可以 是:一对一,多对一,但不能一对多

一一映射

判断下列对应是否为映射? 如果是映射,是否为一一映射?

a b c

e f g

a b c d

e f g

a b c 是

e f g d


一一映射

不是

小结:
1、函数的三种表示法及其各种的优点

2、分段函数
3、映射的概念


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