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高中数学 第二章2.22.2.1条件概率课件 新人教B版选修2-3



理解教材新知 2.2

第 二 章

2.2.1 条件 概率

把握热点 考向

考点一 考点二

应用创新演练

2.2.1

条件概率

100件产品中有93件产品的长度合格,90件产品的质
量合格,85件产品的长度、质量都合格. 令A={产品的长度合格},B={产品的质量合格}, A∩B={产品的长度、质量都合格}. 问题1:试求P(A)、P(B)、P(A∩B). 93 90 85 提示: P(A)= , P(B)= , P(A∩B)= . 100 100 100

问题2:任取一件产品,已知其质量合格(即B发生),求 它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率. 提示:事件 A|B 发生,相当于从 90 件质量合格的产品
85 中任取 1 件长度合格,其概率为 P(A|B)= . 90 问题3:试探求P(B)、P(A∩B)、P(A|B)间的关系.

P?A∩B? 提示:P(A|B)= . P?B?

条件概率的概念 (1)事件的交 事件A和B 同时发生 所构成的事件D,称为事件A与B

的交(或积)记做D=A∩B(或D=AB).
(2)条件概率 对于两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事 件B发生的概率叫做条件概率.用符号 “P(B|A)” 表示.即 P?A∩B? 条件概率公式P(B|A)= ,P(A)>0 . P?A?

(1)由条件概率的定义可知,P(B|A)与 P(A|B)是不 同的.另外,在事件 A 发生的前提下,事件 B 发生的 概率不一定是 P(B),即 P(B|A)与 P(B)不一定相等. (2)在条件概率的定义中,要强调 P(A)>0.当 P(A) =0 时,P(B|A)=0. P?A∩B? (3)P(B|A) = 可 变 形 为 P(A∩B) = P?A? P(B|A)· P(A),即只要知道其中的两个值就可以求得第 三个值.

[例1]

在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不

放回地依次抽取2道题,求: (1)第1次抽到理科题的概率; (2)第1次和第2次都抽到理科题的概率; (3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的

概率.
[思路点拨] 根据分步乘法计数原理先计算出事件总

数,然后计算出各种情况下的事件数后即可求解.

[精解详析]

设第 1 次抽到理科题为事件 A, 第 2 次抽

到理科题为事件 B,则第 1 次和第 2 次都抽到理科题为事 件 A∩B. (1)从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道题的基本事件总 数为 A2 5=20.
1 事件 A 所含基本事件的总数为 A1 3×A4=12.

12 3 故 P(A)= = . 20 5 (2)因为事件 A∩B 含 A2 3=6 个基本事件. 6 3 所以 P(A∩B)= = . 20 10

(3)法一

由(1)、(2)可得,在第 1 次抽到理科题的

P?A∩B? 条件下,第 2 次抽到理科题的概率为 P(B|A)= P?A? 3 10 1 = = . 3 2 5 法二 因为事件 A∩B 含 6 个基本事件, 事件 A 含

6 1 12 个基本事件,所以 P(B|A)= = . 12 2

[一点通]

计算条件概率的两种方法:

(1)在缩小后的样本空间 ΩA 中计算事件 B 发生的概率, 事件A∩B所含基本事件的个数 即 P(B|A)= ; 事件A所含基本事件的个数 (2)在原样本空间 Ω 中,先计算 P(A∩B),P(A),再按 P?A∩B? 公式 P(B|A)= 计算求得 P(B|A). P?A?

1.把一枚硬币投掷两次,事件 A={第一次出现正面},B ={第二次出现正面},则 P(B|A)= 1 A. 4 1 C. 6 1 B. 2 1 D. 8 ( )

1 1 1 解析:P(A∩B)= ,P(A)= ,∴P(B|A)= . 4 2 2

答案: B

2.某人一周晚上值2次班,在已知他周日一定值班的条件 下,他在周六晚上值班的概率为________.
解析:设事件 A 为“周日值班”,事件 B 为“周六 C1 1 6 值班”,则 P(A)= 2,P(A∩B)= 2,故 P(B|A)= C7 C7 P?A∩B? 1 = . 6 P?A?
1 答案: 6

3.一个盒子中有6只正品晶体管,4只次品晶体管,任取两

次,每次取一只,第一次取后不放回,若已知第一只是
正品,求第二只也是正品的概率.
解:令 Ai={第 i 只是正品},i=1,2. 6×9 3 P(A1)= = , 10×9 5 6×5 1 P(A1∩A2)= = , 10×9 3 1 P?A1∩A2? 3 5 P(A2|A1)= = = . 3 9 P?A1? 5

[例2]

(10分)将外形相同的球分装三个盒子,每盒10

个.其中,第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字 母B;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中有 红球8个,白球2个.试验按如下规则进行:先在第一个盒 子中任取一个球,若取得标有字母A的球,则在第二个盒

子中任取一个球;若第一次取得标有字母B的球,则在第
三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球,则试 验成功.求试验成功的概率.

[思路点拨]

设出基本事件,求出相应的概率,再用基

本事件表示出“试验成功”这件事,求出其概率. [精解详析] 设 A={从第一个盒子中取得标有字母 A
的球}, B={从第一个盒子中取得标有字母 B 的球}, R={第二次取出的球是红球}, W={第二次取出的球是白球}, 7 3 则容易求得 P(A)= ,P(B)= , 10 10 1 1 P(R|A)= ,P(W|A)= , 2 2 (2 分)

4 1 P(R|B)= ,P(W|B)= 5 5

(5 分)

事件“试验成功”表示为 (R∩A) ∪ (R∩B) ,又事件 R∩A 与事件 R∩B 互斥, 所以由概率的加法公式得 P((R∩A)∪(R∩B)) =P(R∩A)+P(R∩B) =P(R|A)· P(A)+P(R|B)· P(B) 1 7 4 3 59 = × + × = 2 10 5 10 100 (10 分) (7 分)

[一点通]

对于比较复杂的事件,可以先分解为两个

(或若干个)较简单的互斥事件的并,求出这些简单事件的 概率,再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率.

4.一批产品中有4%的次品,而合格品中一等品占45%,
从这批产品中任取一件,求该产品是一等品的概率.
解:设 A 表示“取出的产品为合格品”,B 表示“取 出的产品为一等品”,则 P(B|A)=45%. 因为 P( A )=4%, P(A)=1-P( A )=1-4%=96%. 所 以 P(B) = P(A∩B) = P(A)· P(B|A) = 96%×45% = 43.2%.

5.1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3 个红球.现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然 后从2号箱中随机取出一球,问从2号箱取出红球的概

率是多少?
解:记A={从2号箱中取出的是红球}, B={从1号箱中取出的是红球}, 4 2 则P(B)= = , 2+4 3 1 P( B )=1-P(B)= , 3 3+1 4 P(A|B)= = , 8+1 9

P(A| B )=

3 1 = , 8+1 3

P(A)=P(A∩B)∪(A∩ B ) =P(A∩B)+P(A∩ B ) =P(A|B)P(B)+P(A| B )P( B ) 4 2 1 1 = × + × 9 3 3 3 11 = . 27

掌握好条件概率应注意以下几点

(1)事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率
与没有这个附加条件的概率是不同的. (2)所谓的条件概率,是试验结果的一部分信息已 知(即在原随机试验的条件上,再加上一定的条件),求 另一事件在此条件下发生的概率.

(3)已知 A 发生,在此条件下 B 发生,相当于 A∩B 发生,求 P(B|A)时,可把 A 看成新的基本事件空间来计 算 B 发生的概率,即 n?A∩B? n?A∩B? P?A∩B? n?Ω? P(B|A)= = = . n?A? n?A? P?A? n?Ω?

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