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重要不等式2



一些著名不等式及应用
一、平均值不等式及应用 一、相关定义 设 a1,a2,…,an 是 n 个正实数,记 H n ?

? 2.设 x, y, z ? R ,且 x+y+z=1,试求: f ?

x4 y4 z4 ? ? 的最小值 y (1 ? y 2 ) z (1 ? z 2 ) x(1 ? x 2 )

n 1 1 1 ? ??? a1 a 2 an
2 2

, Gn ?

n

a1 a 2 ? an ,

二、柯西不等式及应用 一、相关定理 柯西不等式是指下面的定理 定理 设 ai , bi ? R(i ? 1,2,?, n), 则 (

?a b )
i ?1 i i

n

2

? (? ai )( ? bi )
i ?1 i ?1

n

2

n

2

a ? a2 ? ? ? an , Qn ? An ? 1 n

a1 ? a 2 ? ? ? a n ,分别称 Hn,Gn,An,Qn 为这 n 个 n
2

当数组 a1, 2, an ,b1, 2, bn 不全为 0 时, a …, b …, 等号成立当且仅当 bi ? ?ai (1 ? i ? n) . 柯西不等式有两个很好的变式: 变式 1 设 ai ? R, bi ? 0(i ? 1,2,?, n), 等号成立当且仅当 bi ? ?ai (1 ? i ? n)
2 (? a i ) 2 ai ? , ?b i ?1 ? bi i n

正数的调和平均、几何平均、算术平均数、平方平均. 二、相关定理 定理 Hn ? Gn ? An ? Qn, ,等号成立当且仅当 a1=a2=…=an 引理
n

若 xk ? 0且xk ? xk ?1 (k ? 2,3,?, n), 则 ,等号成立当且仅当 x1=x2=…=xn .

xn ? x1 (2 x2 ? x1 )(3x3 ? 2 x 2 ) ??nxn ? (n ? 1) xn ?1 ?
三、例题 例 1.设 x, y, z ? R ,求证:
?

2 a i (? a i ) ? 变式 2 设 ai,bi 同号且不为 0(i=1,2,…,n)则 ? , i ?1 bi ? ai bi n

xyz( x ? y ? z ? x ? y ? z )
2 2 2

等号成立当且仅当 b1 ? b2 ? ? ? bn

( x ? y ? z )( yz ? zx ? xy)
2 2 2

?

3? 3 9
3 3 3 2 2 2 2 3

二、例题
n

例 2.设 x+y+z=0, x, y, z ? R , (1)求证: 6( x ? y ? z ) ? ( x ? y ? z ) (2)试求出最佳的常数 ? , ? ,使不等式

例 1.设 x1,x2,…,xn >0, 则

?
i ?1

xi 1 ? xi
n

?

?
i ?1

n

xi

n ?1

?(x 6 ? y 6 ? z 6 ) ? (x 2 ? y 2 ? z 2 )3 ? ?(x 6 ? y 6 ? z 6 )
例 3.设复数满足 z ? i ? 1 ,求 A ? Re( z )( z ? i ? 1) 的最大值与最小值.
2

例 2.设 x i ? R (i=1,2,…,n)且

?

?1? x
i ?1

xi

? 1 求证:
i

?x
i ?1

n

i

?2

1?i ? j ? n

?x x
i

j



例 3.设 a 为实常数,试求函数 f ( x) ? sin x(a ? cos x) 例 4.求函数 f ( x) ? a ? sin x ? b cos x 在 (0,

(x∈R)的最大值.

四、练习题 1.设 ? , ? ,? 为锐角,且 cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1 ,求证:对任意实数 x,y,z 有
2 2 2

?
2

) 上的最大值,其中 a,b 为正常数.

三. 练习 1. 1)设三个正实数 a,b,c 满足 (a ? b ? c ) ? 2(a ?b ?c )
2 2 2 2 4 4 4

1 2 ( x ? y 2 ? z 2 ) ? cot ? cot? ? yz ? cot? cot? ? zx ? cot? cot ? ? xy 2

第(1)共 3 页

求证: a,b,c 一定是某三角形的三边长; 2)设 n(n ? 3) 个正实数 a1,a2,…,an 满足 (a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? (n ? 1)( a1 ? a 2 ? ? ? a n )
2 2 2 2 4 4 4

排序不等式 3 设 A 为 m*n 同序非负实数矩阵,A'为 A 的乱序阵,则有 (1) A) S A', S ( ? ( )即 T (A) (B)即 ?? aij ? ?? a' ;2) ? T , ?? aij ? ?? a' . ij ij (
j ?1 i ?1 j ?1 i ?1
j ?1 i ?1 j ?1 i ?1

m

n

m

n

m

n

m

n

x2 y2 z2 x ? ? ?1 2.已知 x, y, z ? R ,且 ? ? 1 ??求证: 2? x 2? y 2? z 2? x
?

二、例题 例 1、 在△ABC 中, , hb ,hc 为边长 a,b,c 上的高, ha 求证: asinA+bsinB+csinC ? ha + hb +hc . 例 2、A—G 不等式:ai>0 (i=1,2,…,n),则 A ?
2 2

3.设 x, y, z ? R ,?求证:

?

x y z ? 2 ? 2 ?1 2 2 y ? z ? yz z ? x ? zx x ? y 2 ? xy
2

2

2

2

1 n ? ai ? n a1a2 ? an ? G . n i ?1

4.设 x, y, z ? R ,且 x+2y+3z=36,求

?

1 2 3 ? ? 的最小值. x y z

例 3、柯西不等式: ( 三、练习题 1.若 a>0,b>0,则

?a b )
i ?1 i i

n

2

? (? ai )( ? bi ) .
i ?1 i ?1

n

n

三、排序不等式及应用 一、相关定义及定理 1)考虑如下 2*(n+1)个实数摆成的矩阵:

a 6 ? b6 a ? b a 2 ? b 2 a3 ? b3 . ? ? ? 2 2 2 2
2 2 2

? a ? a1 ? ? ? a n ? ? a ? a1 ? ? ? a n ? ? a 0 ? a1 ? ? ? a n ? ? ,C ? ? 0 ?,B ?? 0 A?? ?b ? b ? ? ? b ? ?b ? b ? ? ? b ? ? ?b b ? ? ? b ? in ? n?1 0? 1 n ? ? 0 ? n ? i 0 i1
其中 i0 , i1 ,?, in 是 0,1,2,…,n 的一个排列.矩阵 A 称为同序矩阵,矩阵 B 称为矩阵 A 的乱序矩阵, 矩阵 C 称为矩阵 A 的反序矩阵. 若矩阵 A 的乱序 M 可经列列交换变出 A,则称矩阵 M 为 A 的可同序矩阵.显然,A 的列积 和或列和积均与 A 的列交换无关. 记 S(A) T(A)分别表示矩阵 A 的列积和与列和积,则 S(M)=S(A) (M)=T(A) , ,T 2)排序不等式 排序不等式 1 设 A 为 2*(n+1)同序实数矩阵,B 为 A 的乱序阵,C 为 A 的反序阵, 则 S ( A) ? S ( B) ? S (C ) ,即

2.在△ABC 中,求证: a (b ? c ? a) ? b (c ? a ? b) ? c (a ? b ? c) ? 3abc . (IMO) 3.若 a1,a2,…,an 为两两不等的正整数,求证:

?k
k ?1

n

ak
2

n 1 ?? . k ?1 k

4.若 x1,x2,…,xn≥0,x1+x2+…+xn≤

1 1 ,则 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ?(1 ? xn ) ? . 2 2

四、复数模不等式及应用 一、相关概念 关于复数模不等式,它包括两方面的内容: 定理 设 z1,z2,…,zn 为任意复数,则(1) Z 1 ? Z 2 ? Z 1 ? Z 2 ? Z 1 ? Z 2

? a b ?? a b ?? a b
k ?0 k k k ?0 k ik k ?0 k

n

n

n

n?k

,左边等号成立当且仅当 B 中

当 Z1 ? Z 2 ? 0 时,左边(右边)等号成立当且仅当 Z1 ? ?Z 2 , ? ? 0(? ? 0) ; (2)

任意两列同序,右边等号成立当且仅当 B 中任意两列反序. 排序不等式 2 设 A 为 2*(n+1)同序非负实数矩阵,B 为 A 的乱序阵,C 为 A 的反序阵, 则 T ( A) ? T ( B) ? T (C ) ,即

? Z k ? ? Z k ,式中等号成立当且仅当 arg Z1 ? arg Z 2 ? ? ? arg Z n .
k ?1 k ?1

n

n

? (a
k ?0

n

k

? bk ) ? ? (a k ? bik ) ? ? (a k ? bn ? k ) ,左(右)边等
k ?0 k ?0

n

n

二、例题 例 1、设 ai ,bi ? C (i=1,2,…,n),则 (

? ai bi ) 2 ? (? ai )(? bi )
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

2

n

2

号成立当且仅当 B 中任意两列同(反)序.
第(2)共 3 页

例 2、 x1 ,x2 ,z 是复数, 设 则不等式 x1 ? x2 ? Z ? x1 ? x2 成立的充要条件是 z=c1x1 +c2x2, 这里 c1 ? c2 ? 1 . 三、练习题 1、设 ? , ? ,? 是模均大于 1 的复数,求使不等式:

1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ( ? ? ? ? ? ) ,恒成立的 ? 的最大值.
2、设 A,B,C,D 为平面上任意四点,求证: AB ? CD ? AD ? BC ? AC ? BD .

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