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天津市耀华中学2015届高三数学下学期第一次校模拟考试试题 文



天津市耀华中学 2015 届高三第一次校模拟考试 文科数学试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟. 第 I 卷(选择题 共 4 0 分) 一.选择题:共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题的 4 个选项中,只有一项是符合 题目要求的,将答案 涂在答题卡上 . ... ...... 1.复

数 ? i ?

2 ? 1? i
(B) 1 ?

(A) 1 ? 2i

1 i 2

(C)1

(D) 1 ? 2i

?x ? ?1 ? 3 , x ? 0, 2.函数 f ( x ) ? ? x ,则该函数为 ? ?3 ? 1, x ? 0.

(A)单调递减函数,奇函数 (C)单调递增函数,奇函数

(B)单调递增函数,偶函数 (D)单调递减函数,偶函数

开始 k =0 S =0 S <100? 否

3.下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分而不必要的条件是
3 3 2 2 (A) a ? b (B) a ? b ? 1 (C) a ? b (D) a ? b ? 1

4.某程序框图如图所示,运行相应该程序,那么输出的 k 的值是 (A) 4 (C) 6 (B) 5 (D) 7

是 S=S+2S k =k+1 输出 k 结束

5. 若 sin 2? ? (A)

5 10 ? 3? ,sin( ? ? ? ) ? , 且 ? ? [ , ? ] ,? ? [? , 则 ? ? ? 的值是 ( ], 5 10 4 2
(B)



7? 4

5 ? 4

(C)

5? 7? 或 4 4

(D)

7? 9? 或 4 4

6.已知 {an } 是首项为 1 的等比数列, Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,且 9S3 ? S6 ,则数列 { 前 5 项和为 (A)

1 }的 an

85 32

(B)

31 16

(C)

15 8

(D)

85 2

7.当直线 y ? kx 与曲线 y ? e (A) ?1, ?? ? (B) ?1, ?? ?

ln x

? x ? 2 有 3 个公共点时,实数 k 的取值范围是
(C) ? 0,1? (D) ? 0,1?

8.在 ?ABC 中, E 、 F 分别为 AB 、 AC 的中点. P 为 EF 上任一点,实数 x 、 y 满足

??? ? ??? ? ??? ? ? PA ? xPB ? yPC ? 0 .设 ?ABC 、?PBC 、?PCA 、?PAB 的面积分别为 S 、S1 、 S2 、S3 ,


S S1 S ? ?1 , 2 ? ?2 , 3 ? ?3 ,则当 ?2 ? ?3 取最大值时, 2 x ? y 的值为 S S S 3 3 (A) 1 (B) (C) ?1 (D) ? 2 2

第 II 卷(非选择题 共 110 分) 二.填空题:共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分,将答案 填 写在 后 面 的 答题 卡 上 . ... . .. . . . .. . . 9.已知集合 M ? x |

?

x ? 1 ? 0 ,集合 N ? ? x | x 2 ? x ? 2 ? 0? ,则 M ? N ?

?

▲ .

10.右图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ▲ .

?21? x , x ? 1, 11.设函数 f ( x) ? ? ,则满足 f ( x) ? 2 的 x 的 ?1 ? log 2 x, x ? 1.
取值范围是 ▲ . 12.如图所示,已知 PA 与⊙O 相切, A 为切点,过点 P 的割线
A

交圆于 B 、 C 两点,弦 CD ∥ AP , AD 、 BC 相交于点 E ,

P

F 为 CE 上一点,且 DE 2 ? EF ? CE ,若 CE : BE ? 3: 2 , DE ? 3 , EF ? 2 ,则 PA 的长为
▲ .
C

O F

E D

B

x2 y2 y 2 x2 13. 已知 a>b>0 , 椭圆 C1 的方程为 2 ? 2 =1 , 双曲线 C2 的方程为 2 ? 2 ? 1 , 且 C1 与 C2 a b a b
的离心率之积为

3 ,则双曲线 C2 的渐近线方程为 ▲ . 2

2 2 14.已知集合 A ? ( x, y ) | (1 ? a ) x ? 2 xy ? ay ? 0 , B ? {( x, y) | 3x ? 5 y ? 0, x, y ? 0} ,

?

?

且 B ? A ,则实数 a 的最小值为 ▲



三.解答题:共 6 个小题,总计 80 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ?

?

3 sin ? x ? cos ? x cos ? x ?

?

1 ?? ? 0 ? 的最小正周期为 4? . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)已知 a 、 b 、 c 分别 ? ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边,满足 (2a ? c) cos B ? b cos C , 求角 B 的值,并求函数 f ( x ) 的值域.

16.(本小题满分 13 分) 已知一个科研小组有 4 位男组员和 2 位女组员,其中一位男组员和一位女组员不会英语, 其他组员都会英语,现在要用抽签的方法从中选出两名组员组成一个科研攻关小组. (Ⅰ)求组成攻关小组的成员是同性的概率; (Ⅱ)求组成攻关小组的成员中有会英语的概率; (Ⅲ)求组成攻关小组的成员中有会英语并且是异性的概率.

17. (本小题满分 13 分) 如图所示, PD ? 平面 ABCD, AD ? CD, AD // BC, PD : DC : BC ? 1:1: 2 . (Ⅰ)求 PB 与平面 PDC 所成角的大小; (Ⅱ)求二面角 D ? PB ? C 的正切值; (Ⅲ)若 AD ?

1 BC ,求证:平面 PAB ? 平面 PBC . 2

18.(本小题满分 13 分)

设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 S n ? (Ⅰ)求数列 {an } 的通项 an ; (Ⅱ)设 T (n) ?

4 1 2 an ? ? 2n ?1 ? , n ? N * . 3 3 3

n 3 2n , n ? N * ,证明: ? T (i ) ? ; 2 Sn i ?1

(Ⅲ)设 R(n) ?

? i , n ? 2 ,证明: 2 ? R( 2
i ?1

n

1

n

an
n

) ? n.

19.(本小题满分 14 分) 设椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的一个顶点与抛物线 x ? 4 3 y 的焦点重合, F1 与 F2 分 2 a b

别是该椭圆的左右焦点,离心率 e ? 点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

1 ,且过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两 2

(Ⅱ)若 OM ? ON ? ?2 ,其中 O 为坐标原点,求直线 l 的方程; (Ⅲ)若 AB 是椭圆 C 经过原 点 O 的弦,且 MN ∥ AB ,判断 值,请求出,若不是定值,请说明理由.

???? ? ????

| AB |2 是否为定值?若是定 | MN |

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? mx ? a ln x ? m , g ( x ) ? (Ⅰ)求函数 g ( x) 的极值; (Ⅱ)设 m ? 1 , a ? 0 ,若对任意的 x1 , x2 ?[3, 4] ( x1 ? x2 ) ,

ex ,其中 m, a 均为实数. ex

| f ( x2 ) ? f ( x1 ) |?

1 1 ? 恒成立,求 a 的最小值; g ( x2 ) g ? x1 ?

(Ⅲ)设 a ? 2 ,若对任意给定的 x0 ? (0, e] ,在区间 (0, e] 上总存在 t1 , t 2 (t1 ? t2 ) , 使得 f (t1 ) ? f ?t2 ? ? g ( x0 ) 成立,求实数 m 的取值范围.

天津市耀华中学 2015 届高三年级第一次校模拟考试 文科数学参考答案 一.选择题: 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 A 10. 5 A 6 B 7 C 8 B

二.填空题:9. ?x | ?1 ? x ? 1? ; 12. 三.解答题:

4 ? ; 3

11. [0, ??) ; 14.

15 3; 4

13B . . 2x ? y ? 0 ;

55 . 34

15.解: (Ⅰ) f ( x) ? ( 3 sin ? x ? cos ? x) cos ? x ?

1 ? ? sin(2? x ? ) , 2 6

∵ T ? 4? ,∴ ?

?

1 4



1 ? f ( x) ? sin( x ? ) , 2 6
4? 2? , 4 k? ? ](k ? Z ) ; 3 3

∴ f ( x ) 的单调递增区间 [4k? ? (Ⅱ)? (2a ? c) cos B

? b cosC ,∴ 2sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cos C ,

2 sin A cos B ? sin(B ? C ) ? sin A ,
∴ cos B ?

? 1 ? 1 , B ? ,? f ( A) ? sin( A ? ) , 3 2 6 2

∵0 ? A ?

? A ? ? 2? ,∴ ? ? ? , 6 2 6 2 3
1 2

∴函数 f ( x ) 的值域为 f ( A) ? ( ,1) . 16.解:4 位男组员记为 A, B, C , D, 2 位女组员记为 a, b, 则从 6 人中任选 2 人的所有可能有:

( A, B),( A, C),( A, D),( B, C),( B, D),(C, D),( A, a),( A, b),(C, a),( A, b), (B, b),(C , b) (C, a),(C, b),(C, a) 共 15 种,
(Ⅰ) 所选的 2 人是同性的基本事件为 ( A, B),( A, C ),( A, D),( B, C),( B, D),(C, D),(a, b), 共 7 种,∴组成攻关小组的成员是同性的概率为

7 ; 15

(Ⅱ)假设不会英语的是男组员 A 和女组员 a, 则所选的 2 人中不会英语的基本事件为 ( A, a) , ∴组成攻关小组的成员中有会英语的概率为 1 ?

1 14 ? ; 15 15

(Ⅲ)所选的 2 人中有会英语并且是异性的基本事件为:

( B, a),(C, a),( D, a),( A, b),( B, b),(C, b),( D, b) 共 7 个,
∴组成攻关小组的成员中有会英语并且是异性的概率为

7 . 15

17.解: (Ⅰ) (1)∵ PD ? 平面 ABCD, ∴ PD ? BC , 由 AD ? DC , AD // BC , 得 BC ? DC , 又 PD ? DC ? D, 则 BC ? 平面 PDC ,∴ ?BPC 为直线 PB 与平面 PDC 所成的角, 令 PD ? 1, 则 DC ? 1, BC ? 2, 得 PC ? 2 , 由 BC ? 平面 PDC , ∴ BC ? PC ,
? 在 RT ?PBC 中,由 PC ? BC 得 ?BPC ? 45 , 即直线 PB 和面 PDC 所成的角为 45? ;

(Ⅱ)由 PD ? 平面 ABCD, PD ? 平面 PDB, 得平面 PDB ? 平面 ABCD , 作 CH ? BD 于 H , 则 CH ? 平面 PDB. 作 HF ? PB 于 F , 连 CF , ∴ CF ? PB. 则 ?CFH 为二面角 D ? PB ? C 的平面角, 在 RT ?DBC 中, DB ?

BC 2 ? CD2 ? 3 ,
6 , 3

∴ CH ? BD ? CD ? BC, 得 CH ?

在 RT ?FHC 中,得 HF ?

HC 3 ? 2, , ∴ tan ?HFC ? HF 3

即二面角 D ? PB ? C 的正切值为 2 ; (Ⅲ)取 PB 中点 G, PC 中点 E , 连结 AG, GE, DE, ∴ GE // BC , GE ?

1 1 BC. 由已知∴ AD // BC , AD ? BC , 2 2

∴ AD ? GE, AD // GE ,则四边形 AGED 是平行四边形, ∴ AG // DE ,可知 DE ? 平面 PBC, ∴ AG ? 平面 PBC , 又 AG ? 平面 PAB, ∴平面 PAB ? 平面 PBC .

18.解: (Ⅰ) an ? 4n ? 2n ; (Ⅱ) S n ?

1 n ?1 2 (2 ? 1)(2n ?1 ? 2) ? (2n ?1 ? 1)(2n ? 1), 3 3

2n 3 2n 3 1 1 T (n) ? ? ? n?1 ? ( n ? n?1 ), n Sn 2 (2 ? 1)(2 ?1) 2 2 ?1 2 ?1

?T (i) ? 2 ( 2 ?1 ? 2
i ?1

n

3

1

1
n ?1

3 )? ; ?1 2

(Ⅲ) R (

an 1 1 1 ) ? 1 ? ? ? ??? ? n n 2 2 3 2 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? n ) = 1 ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ??? ? ( n ?1 ? n ?1 2 3 4 5 6 7 2 2 ?1 2 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ??? ? ( n ?1 ? n ?1 ? ??? ? n ?1 ) = n 2 2 4 4 4 4 2 2 2 a 1 1 1 R( n ) ? 1 ? ? ? ??? ? n , n 2 2 3 2 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? n ) = 1 ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ??? ? ( n ?1 ? n ?1 2 3 4 5 6 7 2 2 ?1 2 ?1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ??? ? ( n ? n ? ??? ? n ) ? . 2 2 4 4 8 8 8 8 2 2 2

19.解: (Ⅰ)∵ x2 ? 4 3 y 的焦点为 (0, 3) ,∴椭圆 C 的一个顶点为 (0, 3) , ∴ b ? 3,

c 1 x2 y 2 ? ? a ? 2 ,∴椭圆 C 的方程为 ? ? 1; a 2 4 3

(Ⅱ)当直线 l 的斜率存在时, 设直 线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,

? y ? k ( x ? 1) ? 2 ? (4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 , ?x y2 ?1 ? ? ?4 3
则 ? ? 144(k 2 ? 1) ? 0 , x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? , 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

???? ? ???? OM ? ON ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? k 2[ x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1]
?
2 4k 2 ? 12 8k 2 ?5k 2 ? 12 2 4k ? 12 , ? k ( ? ? 1) ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

∵ OM ? ON ? ?2 ,∴

???? ? ????

?5k 2 ? 12 ? ?2 ? k ? ? 2 , 4k 2 ? 3

∴直线 l 的方程为 y ? ? 2( x ?1) ,即 2x ? y ? 2 ? 0 ,或 2x ? y ? 2 ? 0 , 当直线 l 的斜率不存在时, M (1, ), N (1, ? ) , OM ? ON ? ?2 , 综上,直线 l 的方程为 2x ? y ? 2 ? 0 ,或 2x ? y ? 2 ? 0 ; (Ⅲ)当直线 l 的斜率存在时,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , A( x3 , y3 ), B( x4 , y4 ) ,

3 2

3 2

???? ? ????

| MN |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2

144(k 2 ? 1) 12(k 2 ? 1) , ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

? y ? kx 48(1 ? k 2 ) 12 ? 2 2 2 2 2 2 | AB | ? (1 ? k )( x ? x ) ? , , ? x ? ?x y 3 4 2 2 4 k ? 3 4 k ? 3 ? ? 1 ? 3 ?4

48(1 ? k 2 ) 2 | AB |2 ? 4k 2? 3 ? 4 ,是定值; | MN | 12(k ? 1) 4k 2 ? 3
2 当直线 l 的斜率不存在时, | MN |? 3 , | AB | ? 12 ,

| AB |2 ? 4 是定值, | MN |

综上所述:

| AB |2 为定值. | MN |

20. (Ⅰ) g '( x ) ?

e(1 ? x) ,令 g '( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,列表如下: ex

x
g '( x ) g ( x)

(??,1)
? ↗

1

(1, ??)
? ↘

0
极大值

∴当 x ? 1 时, g ( x) 取得极大值 g (1) ? 1 ,无极小值; (Ⅱ)当 m ? 1 时, a ? 0 时, f ( x) ? x ? a ln x ? 1 , x ? (0, ??) , ∵ f '( x) ? 设 h( x ) ?

x?a ? 0 在 [3, 4] 恒成立,∴ f ( x) 在 [3, 4] 上为增函数, x

e x ?1 ( x ? 1) 1 ex ? 0 在 [3, 4] 上恒成立, ? ,∵ h '( x) ? x2 g ( x) ex

∴ g ( x) 在 [3, 4] 上 为增函数, 设 x2 ? x1 ,则 | f ( x2 ) ? f ( x1 ) |?

1 等价于: g ( x2 ) ? g ? x1 ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? h( x2 ) ? h( x1 ) ,即 f ( x2 ) ? h( x2 ) ? f ( x1 ) ? h( x1 ) ,
设 u( x) ? f ( x) ? h( x) ? x ? a ln x ? 1 ? ? ∴ u '( x) ? 1 ? ∴a ? x?e

1 ex ,则 u ( x) 在 [3, 4] 上为减函数, e x

a 1 e x ( x ? 1) ? ? ? 0 在 [3, 4] 上恒成立, x e x2 ? e x ?1 e x ?1 x ?1 恒成立,设 v( x) ? x ? e ? , x x ? e x ?1 ( x ? 1) 1 1 3 ? 1 ? e x ?1[( ? )2 ? ] , x ? [3, 4] , 2 x x 2 4

x ?1

∵ v '( x) ? 1 ? e ∴e
x ?1

x ?1

1 1 3 3 [( ? ) 2 ? ] ? e 2 ? 1 ,∴ v '( x) ? 0 , v( x) 为减函数, x 2 4 4 2 2 e , 3

∴ v( x) 在 [3, 4] 上的最大值 v (3) ? 3 ? ∴a ? 3?

2 2 2 e ,∴ a 的最小值为 3 ? e2 ; 3 3

(Ⅲ)由(1)知 g ( x) 在 (0, e] 上的值域为 (0,1] , ∵ f ( x) ? mx ? 2ln x ? m , x ? (0, ??) , 当 m ? 0 时, f ( x) ? ?2ln x 在 (0, e] 上为减函数,不合题意,

当 m ? 0 时, f '( x) ? 所以 0 ?

m( x ? x

2 ) m ,由题意知 f ( x) 在 (0, e] 上不单调,


2 2 ? e ,即 m ? , m e

此时 f ( x ) 在 (0,

2 2 ) 上递减,在 ( , e] 上递增, m m 3 , e ?1


∴ f (e) ? 1 ,即 f (e) ? me ? 2 ? m ? 1,解得 m ? 由①②,得 m ?

3 , e ?1 2 ) ? f (1) ? 0 成立, m

∵ 1? (0, e] ,∴ f ( 下证存在 t ? (0, 取t ? e
?m

2 ] ,使得 f (t ) ? 1 , m
?m

,先证 e

?

2 m ,即证 2e ? m ? 0 , m



设 w( x) ? 2e x ? x ,则 w '( x) ? 2e x ?1 ? 0 在 [ ∴ w( x) 在 [ 再证 f (e ∵ f (e
?m

3 , ?? ) 时恒成立, e ?1

3 3 , ?? ) 时为增函数,∴ w( x) ? w( ) ? 0 ,∴③成立, e ?1 e ?1

?m

) ? 1,
3 3 ? 1 ,∴ m ? 时,命题成立, e ?1 e ?1 3 , ?? ) . e ?1

) ? me ? m ? m ?

综上所述, m 的取值范围为 [



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